三角形中位線

1、三角形的中位線（一）一、授課目標(biāo)和要求使學(xué)生認(rèn)識(shí)三角形中位線的定義，掌握三角形中位線性質(zhì)定理的證明和應(yīng)用。經(jīng)過(guò)定理的證明進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力。二、授課重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握三角形中位線定義，及性質(zhì)定理的證明。難點(diǎn)：證題中正確增加輔助線。三、授課過(guò)程（一）復(fù)習(xí)、引入提問(wèn)：1、平行線均分線段定理的內(nèi)容2、表達(dá)定理的兩個(gè)推論（畫圖表示）練習(xí)：見圖1AD是ABC中BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE并延長(zhǎng)交AC于F，若AF=2，求AC的長(zhǎng)。AFEMBDC圖1過(guò)D點(diǎn)作BF的平行線交AC于M，由于BD=DC，AE=ED，利用平行線均分線段定理推論2，可得AF=FM=MC，所以AC=6。若是我們將

2、平行線均分線段定理推論2的條件、結(jié)論交換一下，可否成立？已知：D、E是ABC中AB、AC邊的中點(diǎn)，則DE/BC。這就是我們今天將要研究的課題。（二）新課定義：連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。DE叫做ABC的中位線。注意：中位線是線段，它的端點(diǎn)是三角形兩邊的中點(diǎn)。中位線與中線都是三角形的重要線段，它們端點(diǎn)地址不同樣，是兩個(gè)不同樣的看法。每個(gè)三角形有三條中位線。下面我們研究三角形的中位線與第三邊的數(shù)量及地址關(guān)系。三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半。已知：如圖2，ABC中，AD=DB，AE=EC求證：DE/BC,DE1BC2AD1EF2BC圖2解析：證明一條線

3、段是第二條線段的一半，可將第一條線段倍長(zhǎng)，證明等于第二條線段；也可將第二條線段取中點(diǎn)，證明其一半等于第一條線段。這里我們用第一種方法。證明：延長(zhǎng)DE到F使EF=DE，連結(jié)CF在中四邊形DBCF是平行四邊形。DE/BC小結(jié)：到目前為止，在我們學(xué)過(guò)的定理中，結(jié)論存在一條線段等于另一條線段一半的有哪些？1.直角三角形中，角所對(duì)直角邊等于斜邊的一半。直角三角形中，斜邊的中線等于斜邊的一半。三角形中位線定理。例1已知：如圖3，中，D、E、F分別是BC、AB、CA邊的中點(diǎn)，求證：AD=EFCDFAEB圖3解析：要證AD=EF，我們先要結(jié)合圖形認(rèn)識(shí)線段AD、EF在圖形的地址就會(huì)很簡(jiǎn)單找到解決問(wèn)題的方法。AD

4、是斜邊BC的中線，所以，EF是的中位線，所以。明：分是AB、AC的中點(diǎn)例2求：次矩形四中點(diǎn)所得的四形是菱形。已知：矩形ABCD中，H、E、F、G分是四AB、BC、CD、AD的中點(diǎn)，求：四形HEFG是菱形。解析：判斷菱形，可以用一相等的平行四形；四相等的四形。解析目條件中，由于中點(diǎn)條件多，想到三角形中位定理，利用角將矩形切割成三角形，獲取所四形各均等于角的一半，而矩形的角相等。明：AC、BD。此可以用全等三角形明四相等，但不如利用三角形中位便。例3已知：如139，正方形ABCD中，AC、BD交于O點(diǎn)，的均分交AC于E，交DC于F。ADOF34E1G2BC圖5求證：解析：觀察圖形，在那么可得。但是

5、顯然中，DFE不是是底邊，O是BD的中點(diǎn)，若是E也是BF中點(diǎn)，BF中點(diǎn)，所以我們要做出這個(gè)三角形的中位線，再證明OE就等于中位線長(zhǎng)。作OG/DF，那么。只需證OG=OE。證明：過(guò)點(diǎn)O作OG/DC，交BF于在正方形ABCD中，此題還可以把底邊。即過(guò)D點(diǎn)作可。OEAC看作是三角形的中位線，作出三角形的底邊，再證的平行線交BF的延長(zhǎng)線于H，則DF等于三角形的，只需證DF=DH即（三）牢固練習(xí)1.已知按次連結(jié)三角形各邊中點(diǎn)所成三角形的周長(zhǎng)是10cm，求原三角形的周長(zhǎng)。(20cm)求證：任意四邊形一組對(duì)邊中點(diǎn)的線段，小于兩條對(duì)角線和的一半。已知：如圖140，四邊形ABCD中，M，N分別為AD、BC邊的中

6、點(diǎn)。AMDEBNC圖6證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)EM、ENAMEMMD,AE1BD,EN2EB,BN1AC2NC在EMN中EMENMN1BD1ACMN22即MN1(ACBD)2（四）小結(jié)今天所講的三角形中位線定理很重要，它的應(yīng)用廣泛且靈便。增加輔助線要依照?qǐng)D形詳盡解析，可以過(guò)三角形的一邊中點(diǎn)作底邊的平行線；若有兩個(gè)或兩個(gè)以上中點(diǎn)時(shí)，連結(jié)邊的端點(diǎn)構(gòu)造成三角形的中位線的形式。（五）作業(yè)已知三角形三邊之比為3:4:5，且周長(zhǎng)為60cm，連結(jié)三邊中點(diǎn)，求所得三角形各邊長(zhǎng)。2.已知，在四邊形ABCD中，對(duì)邊AD=BC，P是對(duì)角線BD的中點(diǎn)，M、N分別是DC、AB的中點(diǎn)。求證：PMNPNM。在ABC中，ADBC于D，E、F、G分別是