6.4.3 正余弦定理的實(shí)際運(yùn)用（精講）（解析版）

1、 16/166.4.3 正余弦定理的實(shí)際運(yùn)用（精講）思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖常見考法常見考法考法一 正余弦定理的綜合運(yùn)用【例1-1】（2020內(nèi)蒙古赤峰市）在的中，角，的對(duì)邊分別為，且（1）求角；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由，及正弦定理得，由余弦定理得，又，所以；（2）由及，得，即，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，又，所以，所以的取值范圍為.【例1-2】（2020全國(guó)高一）在，.這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中：在中，它的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知， .求，的值.【答案】答案見解析.【解析】選擇條件，選擇條件，由正弦定理得：，.【一隅三反】1（2020江蘇南京

2、市南京師大附中高一期末）在中，設(shè)角的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求周長(zhǎng)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意知，即，由正弦定理得由余弦定理得，又.（2），則的周長(zhǎng).，周長(zhǎng)的取值范圍是.2（2020吉林白城市白城一中高一期末（文）的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，已知.（1）求角的大??；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），由正弦定理可得：，可得，為三角形內(nèi)角，可得，（2），由余弦定理可得，3（2020沙坪壩區(qū)重慶南開中學(xué)高一期末）在中，角，所對(duì)的邊分別為，滿足.（1）求的大??；（2）若，求面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），（2

3、），當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，面積的最大值.考法二 正余弦定理與三角函數(shù)綜合運(yùn)用【例2】（2020湖北荊門市高一期末）已知（1）求函數(shù)取最大值時(shí)的取值集合；（2）設(shè)銳角的角，所對(duì)的邊分別為，求的面積的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）. 令，即時(shí)，取最大值;所以，此時(shí)的取值集合是；（2）由，得，因?yàn)?，所以，所以，則； 在中，由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的面積因此的面積的最大值為.【一隅三反】1（2020黃梅）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在上的最小值；（2）已知，分別為內(nèi)角，的對(duì)邊，且，求邊的長(zhǎng).【答案】（1）；（2）8.【解析】（1），又，所以，所以當(dāng)即時(shí)，取得最小值，所以，（2）因?yàn)?/p>

4、，所以，又，所以，所以由正弦定理有，所以.2（2020甘肅省民樂縣第一中學(xué)高三期中（理）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求的值域；（2）若的內(nèi)角，的對(duì)邊分別為，且滿足，求的值.【答案】(1)；(2)1.【解析】（1） ，.（2）由題意可得 有， ，化簡(jiǎn)可得：，由正弦定理可得：，余弦定理可得： ，所以.3（2020江蘇）已知函數(shù)，（1）求函數(shù)的最小值和最小正周期；（2）設(shè)的內(nèi)角、的對(duì)邊分別為，且，若，求，的值【答案】（1）的最小值是，最小正周期是；（2），【解析】（1），則的最小值是，最小正周期是；（2），則，由正弦定理，得，由余弦定理，得，即，由解得，考法三 正余弦定理在幾何中的運(yùn)用【例3】（2020河

5、北邢臺(tái)市高一期中）如圖，在中，AD平分，且.（1）求的值；（2）若，求的面積.【答案】（1）3；（2）.【解析】（1）在中，在中，. 因?yàn)锳D平分，且，所以. （2）由正弦定理及（1）可知. 因?yàn)?，所以?因?yàn)?， 所以.【一隅三反】1（2020北京朝陽(yáng)區(qū)人大附中朝陽(yáng)學(xué)校高一期末）如圖，中，已知點(diǎn)D在BC邊上，則的面積為_；AB的長(zhǎng)是_.【答案】 【解析】因?yàn)?，所以，又，則的面積為，又，所以在中由正弦定理得：，則.故答案為：；.2（2020成都市第十八中學(xué)校高一期中）在中，點(diǎn)在邊上，（1）若，求（2）若，求的值【答案】（1）；（2）.【解析】（1）在中，由余弦定理得，即，解得，(負(fù)值舍去).（

6、2）在中，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由得，即，即，.3（2020株洲市九方中學(xué)高一月考）如圖，在圓內(nèi)接中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足.（1）求B；（2）若點(diǎn)D是劣弧AC上一點(diǎn)，AB=2，BC=3，AD=1，求四邊形ABCD的面積【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理得，得.因?yàn)?，所以，?（2）在中AB=2，BC=3，解得.在中，A，B，C，D在圓上，因?yàn)?，所以，所以，解得或（舍去），所以四邊形ABCD的面積.4（2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí)）在四邊形ABCD中，AD/BC，AB，A120，BD3（1）求AD的長(zhǎng)；（2）若BCD105，求四邊形ABCD的面

7、積【答案】（1）；（2）【解析】（1）在ABD中，AB，A120，BD3，由余弦定理得cos 120，解得AD (AD2舍去)，AD的長(zhǎng)為（2）ADBC，A120，BD3，ABAD，BCD105，DBC30，BDC45，由正弦定理得，解得BC33，DC如圖過(guò)點(diǎn)A作AEBD，交BD于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)C作CFBD，交BD于點(diǎn)F，則AEAB，CFBC，四邊形ABCD的面積SSABDSBDCBD(AECF)3()考法四 正余弦定理在實(shí)際生活中的運(yùn)用【例4】（1）（2020江蘇高一課時(shí)練習(xí)）如圖，設(shè)、兩點(diǎn)在水庫(kù)的兩岸，測(cè)量者在的同側(cè)的庫(kù)邊選定一點(diǎn)，測(cè)出的距離為m，就可以計(jì)算出、兩點(diǎn)的距離為（）AmBmCmDm

8、（2）（2020安徽亳州市渦陽(yáng)四中高一月考（理）如圖，無(wú)人機(jī)在離地面高200m的處，觀測(cè)到山頂處的仰角為15、山腳處的俯角為45，已知，則山的高度為（ ）ABCD【答案】（1）A（2）D【解析】（1）中，.又中，m，由正弦定理可得：，則m.故選：A.（2），又，在中，.故選：D【一隅三反】1（2020江蘇高一課時(shí)練習(xí)）某快遞公司在我市的三個(gè)門店A，B，C分別位于一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，其中門店A，B與門店C都相距akm，而門店A位于門店C的北偏東50方向上，門店B位于門店C的北偏西70方向上，則門店A，B間的距離為（）AakmBCD2akm【答案】C【解析】由題意知ACBCakm，ACB50+

9、70120，由余弦定理得，所以，即門店A，B間的距離為.故選：C.2（2020北京二十中高一期末）2020年5月1日起，新版北京市生活垃圾管理?xiàng)l例實(shí)施，根據(jù)該條例：小區(qū)內(nèi)需設(shè)置可回收物圾桶和有害垃圾桶.已知李華要去投放這兩類垃圾，他從自家樓下出發(fā)，向正北方向走了80米，到達(dá)有害垃圾桶，隨后向南偏東60方向走了30米，到達(dá)可回收物垃圾桶，則他回到自家樓下至少還需走（ ）A50米B57米C64米D70米【答案】D【解析】由題意，設(shè)李華家為，有害垃圾點(diǎn)為，可回收垃圾點(diǎn)為，則李華的行走路線，如圖所示，在中，因?yàn)?，由余弦定理可得：米，即李華回到自家樓下至少還需走70米.故選：D.3（2020浙江杭州市高一期末）如圖，地面四個(gè)5G中繼站A、B、C、D，已知，則A、B兩個(gè)中繼站的距離是（ ）ABCD【答案】C【解析】由題意可得，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，在中，由余弦定理得，所以.故選：C.4（2020四川綿陽(yáng)市高一期末）如圖，輪船A和輪船B同時(shí)離開海港勻速直線航行，其中輪船A的航行速度是v(nmile/h)，輪船B的航行速度比輪船A