【七年級數(shù)學】用尺規(guī)作三角形及三角形全等的應用-教師講義

1、中正教育教師輔導講義 年 級：7 課 時 數(shù)：3 輔導科目：數(shù)學 學員姓名：王統(tǒng)一 學科教師：王夢珠授課類型T立足課本，知道基本作圖的常用工具，并會用尺規(guī)作常見的幾種圖形C 理解運用三角形全等解決實際問題T 根據(jù)三角形全等判定定理，掌握用尺規(guī)作三角形及作一個三角形與已知三角形全等授課內(nèi)容用尺規(guī)作三角形及三角形全等的應用學習目標1知道基本作圖的常用工具，并會用尺規(guī)作常見的幾種基本圖形；2根據(jù)三角形全等判定定理，掌握用尺規(guī)作三角形及作一個三角形與已知三角形全等； 3能利用三角形全等解決實際生活問題，體會數(shù)學與實際生活的練習，并初步培養(yǎng)將實際問題抽象成數(shù)學問題的能力.教學內(nèi)容【學習目標】1知道基本作

2、圖的常用工具，并會用尺規(guī)作常見的幾種基本圖形；2根據(jù)三角形全等判定定理，掌握用尺規(guī)作三角形及作一個三角形與已知三角形全等； 3能利用三角形全等解決實際生活問題，體會數(shù)學與實際生活的練習，并初步培養(yǎng)將實際問題抽象成數(shù)學問題的能力.【要點梳理】要點一、基本作圖1.尺規(guī)作圖的定義利用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)完成基本作圖，稱之為尺規(guī)作圖.要點詮釋：尺規(guī)作圖時使用的直尺是不能用來進行測量長度的操作，它一般用來將兩個點連在一起.圓規(guī)可以開至無限寬，但上面也不能有刻度.它只可以拉開成之前構造過的長度或一個任意的長度.2.常見基本作圖常見并經(jīng)常使用的基本作圖有：1.作一條線段等于已知線段；2.作一個角等于已知角

3、；3.作角的平分線；4.作線段的垂直平分線；5.作三角形.要點詮釋：1.要熟練掌握直尺和圓規(guī)在作圖中的正確應用，對于作圖要用正確語言來進行表達；2.第3、4條基本作圖，在第5章再詳細敘述，本節(jié)重點敘述其他三個基本作圖.要點二、三角形全等的實際應用在現(xiàn)實生活中，有很多問題需要用全等三角形的知識來解決.【典型例題】類型一、基本作圖1、作圖：已知線段a、b，畫一條線段使它等于2ab（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作、結論，保留作圖痕跡，不寫作法）已知：求作：結論：【思路點撥】可先畫出一條線段等于2a，然后再在這條線段上截去b，剩余線段即為所求線段【答案與解析】解：已知：線段a、b，求作：線段AC，

4、使線段AC=2ab【總結升華】本題考查有關線段的基本作圖，相加在原來線段的延長線上畫出另一條線段，相減在較長的線段上截去舉一反三：【變式】作圖：把AOB四等分（不寫作法，保留作圖痕跡） 類型二、作三角形2、已知和線段a和b，作一個三角形，使其中一個角等于，且這個角的兩邊長分別為a和b（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作、保留作圖痕跡）已知：求作：【思路點撥】先作ACB=，然后以點C為圓心，以a長為半徑畫弧，與邊BC相交于點B，再以點C為圓心，以b的長為半徑畫弧與CA相交于點A，連接AB即可得解【解析】解：已知：，線段a，b，求作：ABC，是C=，BC=a，AC=b，如圖所示，ABC即為所求作的

5、三角形【總結升華】本題考查了復雜作圖，主要利用了作一個角等于已知角，作一條線段等于已知線段，都是基本作圖，需熟練掌握舉一反三：【變式】已知及線段b，作一個三角形，使得它的兩內(nèi)角分別為和，且兩角的夾邊為b（要求：用尺規(guī)作圖，并寫出已知、求作和結論，保留作圖痕跡，不寫作法）已知：求作：結論：【答案】解：已知：，線段b；求作：ABC，使得B=，C=，BC=b結論：如圖，ABC為所求類型三、三角形全等的實際應用、如圖所示，公園里有一條“Z”字形道路ABCD，其中ABCD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好為BC的中點，且E、F、M在同一直線上，在BE道路上停放著一排小汽車，從而

6、無法直接測量B、E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請說明其中的道理【思路點撥】先根據(jù)SAS判定BEMCFM，從而得出CF=BE，即測量BE之間的距離相當于測量CF之間的距離【答案與解析】解：能證明：連接EFABCD，（已知）B=C（兩線平行內(nèi)錯角相等）M是BC中點 BM=CM，在BEM和CFM中，BEMCFM（SAS）CF=BE（對應邊相等）【總結升華】本題考查了全等三角形的應用；關鍵是要把題目的問題轉(zhuǎn)化為證明對應邊相等舉一反三【變式】要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，先在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD=BC，再定出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上（如圖所示），可以說明EDC

7、ABC，得ED=AB，因此測得ED的長就是AB的長，判定EDCABC最恰當?shù)睦碛墒牵ǎ〢邊角邊B角邊角C邊邊邊D邊邊角【答案】B；4、如圖，要測量池塘兩岸相對的兩點A，B的距離，可以再AB的垂直線BF上取兩點C，D使BC=CD，再畫出BF的垂直線DE，使E與A，C在一條直線上，這時測得DE的長就是AB的長它的理論依據(jù)是（）A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【思路點撥】根據(jù)全等三角形的判定進行判斷，注意看題目中提供了哪些證明全等的要素，要根據(jù)已知選擇判斷方法【答案與解析】解：在RtABC和RtEDC中，RtABCRtEDC（ASA），AB=ED故選C【總結升華】此題主要考查了全等三角

8、形的應用，解答本題的關鍵是設計三角形全等，巧妙地借助兩個三角形全等，尋找所求線段與已知線段之間的等量關系，做題時要認真觀察圖形，根據(jù)已知選擇方法舉一反三【變式】小明不慎將一塊三角形的玻璃摔碎成如右圖所示的四塊（即圖中標有1、2、3、4的四塊），你認為將其中的哪一塊帶去玻璃店，就能配一塊與原來一樣大小的三角形玻璃應該帶（）A.第4塊 B. 第3塊 C. 第2塊 D.第1塊【答案】C；一.選擇題1尺規(guī)作圖是指（）A用量角器和刻度尺作圖 B用圓規(guī)和有刻度的直尺作圖C用圓規(guī)和無刻度的直尺作圖 D用量角器和無刻度的直尺作圖2如圖，兩鋼條中點連在一起做成一個測量工件，AB的長等于內(nèi)槽寬AB，那么判定OAB

9、OAB的理由是（） ASSS BSAS CASA DAAS3如圖，點C落在AOB邊上，用尺規(guī)作CNOA，其中弧FG的（）A. 圓心是C，半徑是OD B圓心是C，半徑是DM C圓心是E，半徑是OD D圓心是E，半徑是DM4. 如圖，12，34，下面結論中錯誤的是（ ） AADCBCDBABDBACCABOCDODAODBOC5如圖所示，亮亮書上的三角形被墨跡污染了一部分，很快他就根據(jù)所學知識畫出一個與書上完全一樣的三角形，那么這兩個三角形完全一樣的依據(jù)是（） ASSS BSAS CASA DAAS6角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等，其理論依據(jù)是全等三角形判定定理（）ASAS

10、BHL CAAS DASA二.填空題7如圖，ABCD，ACDB，ABD25，AOB82，則DCB_. （第7題） (第8題)8小明做了一個如圖所示的風箏，其中EDH=FDH，ED=FD=a，EH=b，則四邊形風箏的周長是 9.用尺規(guī)作一個直角三角形，使其兩直角邊分別等于已知線段，則作圖的依據(jù)是 .10如圖所示，已知線段a，用尺規(guī)作出ABC，使AB=a，BC=AC=2a作法：（1）作一條線段AB= ；（2）分別以 、 為圓心，以 為半徑畫弧，兩弧交于C點；（3）連接 、 ，則ABC就是所求作的三角形 （第10題） （第12題）11作圖題的書寫步驟是 、 、 ， 而且要畫出 和結論，保留 12如圖

11、，在ABC中，B與C的平分線交于點E，過點E作MNBC，分別交AB、AC于點M、N若AB=5，AC=4，則AMN的周長是 三.解答題： 13如圖已知ABC，請你用直尺和圓規(guī)作圖，作一個角，使它等于2ABC（要求用尺規(guī)作圖，不必寫作法，但是要保留作圖時留下的作圖痕跡）14如圖所示，要測量河兩岸相對的兩點A，B的距離，因無法直接量出A，B兩點的距離，請你設計一種方案，求出A，B的距離，并說明理由15如圖，已知ABDC，ACDB，BECE求證：AEDE.【答案與解析】一.選擇題1【答案】C；【解析】尺規(guī)作圖所用的作圖工具是指不帶刻度的直尺和圓規(guī)故選：C2【答案】B； 【解析】兩鋼條中點連在一起做成一

12、個測量工件，OA=OB，OB=OA，AOB=AOB，AOBAOB所以AB的長等于內(nèi)槽寬AB，用的是SAS的判定定理3【答案】D；【解析】圖中要作CNOA，就是作NCB=AOD，根據(jù)作一個角等于已知角的方法可得弧FG是以圓心是E，半徑是DM所畫的弧4【答案】C；【解析】根據(jù)已知所給條件，結合圖形中隱含的公共邊條件，可以得到A、B、D中的三角形是可以全等，唯有C答案中的兩個三角形不能全等，所以答案為C.5【答案】D； 【解析】根據(jù)題意，三角形的兩角和它們的夾邊是完整的，所以可以利用“角角邊”定理作出完全一樣的三角形故選D6【答案】C ； 【解析】作出圖形，利用“角角邊”證明全等三角形的判定即可二.

13、填空題7【答案】66；【解析】可由SSS證明ABCDCB，OBCOCB， 所以DCBABC254166.8【答案】2a+2b；【解析】DEH和DFH中ED=FD，EDH=FDH，DH=DHDEHDFHEH=FH=b又ED=FD=a，EH=b該風箏的周長=2a+2b.9【答案】SAS； 【解析】 用尺規(guī)做直角三角形，已知兩直角邊可以先畫出兩條已知線段和確定一個直角，作圖的依據(jù)為SAS10【答案】a；A；B；2a；AC，BC； 【解析】作法：（1）作一條線段AB=a；（2）分別以A、B為圓心，以 2a為半徑畫弧，兩弧交于C點；（3）連接AC、BC，則ABC就是所求作的三角形11【答案】已知、求作、

14、作法，圖形，作圖痕跡； 【解析】作圖題的書寫步驟是 已知、求作、作法，而且要畫出 圖形和 結論，保留 作圖痕跡 12【答案】9； 【解析】由在ABC中，B與C的平分線交于點E，過點E作MNBC，易證得MBE與NCE是等腰三角形，即ME=MB，NE=NC，繼而可得AMN的周長等于AB+AC=9三.解答題13. 【解析】解：作MEF=ABC，在以EF為一邊在外側(cè)再作FEN=ABC，即MEN=2ABC14.【解析】解：在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上，這時測得的DE的長就是AB的長15. 【解析】證明：在ABC和DCB中 ABCDCB（SS

15、S） ABCDCB， 在ABE和DCE中 ABEDCE（SAS） AEDE. 一.選擇題1下列作圖屬于尺規(guī)作圖的是（）A用量角器畫出AOB的平分線OC B作AOB，使AOB=2C畫線段AB=3厘米 D用三角板過點P作AB的垂線2某人不小心將一塊正五邊形玻璃打碎成四塊，現(xiàn)要到玻璃店配一塊完全一樣的玻璃，那么最省事的方法是（）A帶去 B帶去 C帶去 D都帶去3根據(jù)已知條件作符合條件的三角形，在作圖過程中，主要依據(jù)是（）A. 用尺規(guī)作一條線段等于已知線段 B. 用尺規(guī)作一個角等于已知角C. 用尺規(guī)作一條線段等于已知線段和作一個角等于已知角 D. 不能確定4. 利用三角形全等所測距離敘述正確的是（）A

16、絕對準確 B誤差很大，不可信 C可能有誤差，但誤差不大，結果可信 D如果有誤差的話就想辦法直接測量，不能用三角形全等的方法測距離5下列尺規(guī)作圖的語句正確的是（）A延長射線AB到點C B延長直線AB到點C C延長線段AB到點C，使BC=AB D延長線段AB到點C，使AC=BC6用尺規(guī)作圖，下列條件中可能作出兩個不同的三角形的是（） A. 已知三邊 B. 已知兩角及夾邊 C. 已知兩邊及夾角 D. 已知兩邊及其中一邊的對角二.填空題7如圖所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100m，則A，B兩點間的距離 （第7題） （第8題）8如圖，已知AEAF，ABAC，若用“SAS”證明AECAFB，還需

17、要條件 .9.所謂尺規(guī)作圖中的尺規(guī)是指： 10如圖，A、B兩點分別位于一個池塘的兩端，點C是AD的中點，也是BE的中點，若DE=20米，則AB= 米 （第10題） （第11題）11如圖，AD是ABC的角平分線，B=32，C=70，BAD= . 12如圖所示，已知線段a，b，求作ABC，使BC=a，AC=b，ACB=，根據(jù)作圖在下面空格中填上適當?shù)奈淖只蜃帜?（1）如圖甲所示，作MCN=_； （2）如圖乙所示，在射線CM上截取BC=_，在射線CN上截取AC=_（3）如圖丙所示，連接AB，ABC即為_三.解答題： 13如圖畫一個等腰ABC，使底邊長BC=a，底邊上的高為h（要求：用尺規(guī)作圖，保留作

18、圖痕跡）14在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設計一測量方案（1）畫出測量圖案；（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；（3）計算AB的距離（寫出求解或推理過程，結果用字母表示）（第14題） （第15題）15如圖，已知ABC的兩邊長為m、n，夾角為，求作所有可能滿足下列條件的三角形EFG：含有一個內(nèi)角為；有兩條邊長分別為m、n，且與ABC不全等（要求：尺規(guī)作圖，不寫畫法，保留作圖痕跡在圖中標注m、n、E、F、G）【答案與解析】一.選擇題1【答案】B；【解析】根據(jù)尺規(guī)作圖的定義可得：B屬于尺規(guī)作圖2【答案】A； 【解析】帶

19、去，能夠測量出此正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，以及邊長，所以可以配一塊完全一樣的玻璃，帶去，只能夠測量出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，不能夠量出邊長的長度，所以不可以配一塊完全一樣的玻璃；帶去，既不能測量出正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)，也不能夠量出邊長的長度，所以不可以配一塊完全一樣的玻璃所以最省事的方法是帶去3【答案】C；【解析】已知條件作符合條件的三角形，在作圖過程中，主要依據(jù)是：用尺規(guī)作一條線段等于已知線段和作一個角等于已知角故選C4【答案】C；【解析】利用相似三角形，可以求得實際生活中的長度，但誤差是在所難免的所以選C5【答案】C； 【解析】A、射線一旁是無限延伸的，只能反向延長，錯誤；B、直線是無限延伸的，不用延長，錯誤；C、線段的有具體的長度，可延長，正確；D、延長線段AB到點C