【數(shù)學講義】第2課時 分解素因數(shù)（老師）

1、源于名校,成就所托第2課時 分解素因數(shù)知識精要一、公因數(shù)與最大公因數(shù)1、幾個數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公因數(shù)，其中最大的一個叫做這幾個數(shù)的最大公因數(shù)。2、如果2個整數(shù)只有公因數(shù)1，那么這兩個數(shù)互素。兩數(shù)互素是指兩個數(shù)的最大公因數(shù)是1這樣一種關系。它和素數(shù)、素因數(shù)是不同的概念，不要混淆。判斷：只有2個數(shù)都是素數(shù)才能互素，對嗎？ 錯。比如：4和9。兩數(shù)互素，這兩個數(shù)一般有以下四種情況；（1）素數(shù)和素數(shù)（19和23）； （2）素數(shù)和合數(shù)（13和14）；（3）合數(shù)和合數(shù)（21和22）； （4）1和任何正整數(shù)（1和100）3、求兩個數(shù)最大公因數(shù)的常用方法有：列舉法、分解素因數(shù)法、短除法。運用規(guī)律法：規(guī)

2、律：兩個整數(shù)中，如果某個數(shù)是另一個數(shù)的因數(shù)，那么這個數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)；如果這兩個數(shù)互素，那么他們的最大公因數(shù)就是1.如果兩個數(shù)滿足上面的規(guī)律，便可直接運用規(guī)律求出它們的最大公因數(shù)。輾轉相除法：求36和84的最大公因數(shù)3 36 84 2 36 72 0 12上面式子的意思是：84除以36，商是2（寫在右邊），362=72（寫在被除數(shù)84下方），余數(shù)是12，再用36除以12，商是3（寫在左邊），123=36（寫在被除數(shù)36下方），余數(shù)是0，這樣，最后的除數(shù)12就是36和84的最大公因數(shù)。像上面這種求兩個數(shù)的最大公因數(shù)的方法就是輾轉相除法。求：280和160的最大公因數(shù)。1 280 160

3、 1 160 120 3 120 40 120 0 所以，280和160的最大公因數(shù)是40.求三個數(shù)的最大公因數(shù)：用一個數(shù)去除18、24、60都能整除，這個數(shù)最大是多少？你能用幾種方法求解？你覺得哪種方法更快捷呢？用短除法求解可得：18、24、60的最大公因數(shù)是23=6，所以這個數(shù)最大是6.4、求幾個正整數(shù)的最大公因數(shù)，只要把它們所有的公有素因數(shù)連乘，所得的積就是它們的最大公因數(shù)。上題還有分解素因數(shù)法：大家試試求解一下。二、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)10、幾個整數(shù)公有的倍數(shù)叫做它們的公倍數(shù)，其中最小的一個叫做它們的最小公倍數(shù)。判斷下列說法是否正確：（1）兩個數(shù)的公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。（ ）（

4、2）兩個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是有限的。（ ）（3）如果較大數(shù)能被較小數(shù)整除，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。（ ）（4）不相同的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定比它們的最大公因數(shù)大。（ ）如果將“不相同的”去掉，這句話還對嘛？11、求兩個整數(shù)最小公倍數(shù)的方法有：列舉法、分解素因數(shù)法、短除法。運用規(guī)律法運用規(guī)律法13、如果兩個數(shù)互素，那么它們的乘積就是它們的最小公倍數(shù)。14、大數(shù)倍數(shù)法：將兩個數(shù)中的較大數(shù)依次乘以、，所得的積最先是較小這個數(shù)的倍數(shù)時，那么這個積就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。注：兩個數(shù)之間的關系有三種情況：（1）互素關系；（2）倍數(shù)關系；（3）一般關系；如果兩個數(shù)

5、是第1、第2種關系，則用“運用規(guī)律法”求他們的最小公倍數(shù)更快捷；如果是第3種關系，通常用短除法更快捷（用短除法求最小公倍數(shù)時，可用較大公因數(shù)去除，使計算更加快捷，除數(shù)不一定非是素數(shù)）。熱身練習 一、填空1、兩個連續(xù)奇數(shù)的和是16，那么這兩個奇數(shù)的最小公倍數(shù)是_63_，最大公因數(shù)是_1_。2、如果整數(shù)m除以整數(shù)n的商是8，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)是_m_，最大公因數(shù)是_n_。3、2、5、8、9四個數(shù)，任選兩個數(shù)組成一對，一共可以組成_5_對互素數(shù)。2，5；2，9；5，8；5，9；8，9。4、一個數(shù)除85余1，除65余2，符合條件的數(shù)中最大的這個數(shù)是_21_。本題求84和63的最大公因數(shù)。5、一張

6、長方形紙片，長96厘米，寬60厘米，把它裁成同樣大小且邊長為整數(shù)厘米的正方形而無剩余，至少可裁成_40_張。本題求96和60的最大公因數(shù)。6、一塊長方形綠地，長120米，寬30米，要在它的四周和四個角種樹，每相鄰兩棵樹的距離相等，最少種_10_棵數(shù)。本題求120和30的最大公因數(shù)及植樹問題。二、選擇7、8是32和48的 (C) A.最大公因數(shù) B. 素因數(shù) C. 公因數(shù) D. 互素數(shù)本題考查這四個概念的區(qū)別。8、既是24的因數(shù)，又是36的因數(shù)有 (C)A.4個 B. 5個 C. 6個 D. 8個本題考查公因數(shù)的概念，它們的公因數(shù)分別是1、2、3、4、6、12。9、如果自然數(shù)a和b的最大公約數(shù)是

7、1，那么a和b的最小公倍數(shù)是(A)A. ab B. a C. b D. 無法確定本題考查互素的概念和互素的兩個數(shù)的最小公倍數(shù)如何求解的問題。10、有一堆桃子，三個三個的數(shù)余2個，四個四個的數(shù)仍余2個，這堆桃子最少有（B）A.12個 B. 14個 C. 16個 D. 18個精解名題例題1三個素數(shù)的和為50，請寫出一組這樣的素數(shù)。2、31、17或2、11、37或2、7、41偶數(shù)+奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，所以一定要有素偶數(shù)2.例題2甲數(shù)=2357，乙數(shù)=2311，它們的最大公約數(shù)是6，最小公倍數(shù)是2310.最大公因數(shù)=公有的素因數(shù)的乘積；最小公倍數(shù)=公有的素因數(shù)的乘積其余各數(shù)的乘積；例題3如果正整數(shù)n能使

8、得也是正整數(shù)，那么這樣的正整數(shù)n有多少個？8個。=1+,也就是求24的因數(shù)，即n=1，2，3，4，6，8，12，24.例題4(1)3和5的最小公倍數(shù)是15，最大公因數(shù)是1；（互素關系）(2)18和36的最小公倍數(shù)是36，最大公因數(shù)是18；（倍數(shù)關系）(3)8和9的最小公倍數(shù)是72，最大公因數(shù)是1；（互素關系）(4)6和15的最小公倍數(shù)是30；最大公因數(shù)是3. （一般關系）備選例題1、有兩個合數(shù)是互質數(shù)，它們的最小公倍數(shù)是210，這樣的數(shù)有(C)對.A.1 B. 2 C. 210=2357，將2、3、5、7兩兩組合相乘，便可以得到10和21，6和35，14和15。2、自然數(shù)a、b，如果數(shù)a除以數(shù)

9、b的商是2，那么兩數(shù)的最大公約數(shù)是(B)A.a B. b C. 1 D. 2a和b是倍數(shù)關系，所以它們的最大公約數(shù)是b。3、三個數(shù)的和是63，甲數(shù)比乙數(shù)少3，丙數(shù)是甲數(shù)的2倍，這三個數(shù)的最大公約數(shù)是3，最小公倍數(shù)是90.先求出甲、乙、丙三個數(shù)分別是15、18、30，然后再求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)。4、求一個最小的自然數(shù)，使它除以3余1，除以4余2，除以5余3，除以6余4，這個數(shù)是58.先求出3、4、5、6的公倍數(shù)是60、120、180，所以符合條件的是60-2=58.這就是我們上次課備選例題第二題215=41的延伸，既是被除數(shù)至少增加4時沒有余數(shù)。本題就是所要求的“最小的自然數(shù)”+2=60.鞏

10、固練習一、選擇1、幾個素數(shù)的乘積一定是 (B)A、素數(shù) B、合數(shù) C、偶數(shù) D、奇數(shù)2、一個合數(shù)的因數(shù)的個數(shù)至少為 (C)A、1 B、2 C、3 D、43、甲數(shù)=335，它的因數(shù)的個數(shù)為 (D)A、3 B、4 C、5 D、6本題考查如何通過素因數(shù)求解因數(shù)：將素因數(shù)組合相乘即得到因數(shù)，但是別忘了1和它本身。4、幾個數(shù)的最大公因數(shù)是12，這些數(shù)的全部公因數(shù)是 (D)A、1,2,3,12 B、2,3,4,6 C、2,3,4,6,12 D、1,2,3,4,6,12全部公因數(shù)一定是最大公因數(shù)的因數(shù)，即求12的因數(shù)有哪些。5、下列說法中，正確的有 (D)2是4和16的一個公因數(shù)；12是24和36的最大公因

11、數(shù)；如果兩個數(shù)互素，那么這兩個數(shù)一定都是素數(shù)；1和任何正數(shù)互素。A.0個 B. 1個 C. 2個 D. 3個正確的有：（1）、（2）、（4）。（3）兩個數(shù)互素有四種情況，知識精要講過的。二、填空1、1、2、6、7、9中合數(shù)是 6、9，素數(shù)是2、7，既非合數(shù)又非素數(shù)的是1。2、a是合數(shù)，且1a2)3、分解素因數(shù)二、公因數(shù)與最大公因數(shù)1、概念 2、求法 3、互素三、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)1、概念 2、求法自我測試一、選擇1、100以內的正整數(shù)中，最大的素數(shù)和最小的合數(shù)的和是 (B)A.103 B.101 C.99 D.972、下列說法正確的是 (C)A.所有正整數(shù)至少有兩個因數(shù)B.偶數(shù)一定不是素數(shù)C.

12、奇數(shù)也有可能是合數(shù)（比如9）D.一個奇數(shù)和一個偶數(shù)一定不會有相同的因數(shù)3、下列說法中，錯誤的是 (C)A.4是最小的合數(shù) B.2既是素數(shù)又是偶數(shù)C.能夠整除2的數(shù)是合數(shù) D.能被5整除的整數(shù)個位不是0就是54、36和48的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù)分別是 (B)A、6和196 B、12和144 C、6和144 D、12和965、下列各組數(shù)中，最小公倍數(shù)不是36的是 (C)A、4和9 B、3和12和36 C、2和18 D、6和9和126、100以內，能同時被3和5整除的最大奇數(shù)是 (B)A、35 B、75 C、85 D、907、要使兩位數(shù)1和6互素，方框中的數(shù)字可以是 (D)A、0,2,6 B、0,5,7 C、4,8,9 D、1,3,78、20、70、105這3個數(shù)有一個共同的素因數(shù)，這個數(shù)是 (C)A、10 B、7 C、5 D、39、a和b都是正整數(shù)，并且ab=8，那么a和b的最大公因數(shù)是 (B)A、a B、b C、8 D、1二、判斷：1、兩個互素的整數(shù)一定都是素數(shù)。（ ）2、兩個數(shù)的公因數(shù)分別是兩個數(shù)的素因數(shù)。（ ）3、兩個互素的整數(shù)可能都是合數(shù)。（ ）4、兩個數(shù)的公因數(shù)中，一定含有兩數(shù)的素因數(shù)。（ ）5、兩個互素的整數(shù)不可能有相同的素因數(shù)。（ ）6、兩個互素的整數(shù)不可能都是偶數(shù)。（ ）7、共有的素因數(shù)一