文科-經(jīng)管類-微積分-第四章課件

1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十講 中值定理腳本編寫教案制作第一節(jié) 中值定理第四章 中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一. 費(fèi)爾馬定理二. 羅爾中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理極 值 的 定 義設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的某一鄰域內(nèi)有定義, 定義如果對(duì)于鄰域內(nèi)任意的 x x0, 恒有則稱 f (x0)為 f (x) 的一個(gè)極大(小)值.f (x) f (x0) x0 x0函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值, 函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn).oxyy= (x)Mmab2.極值與最值 由極值定義知:極值是函數(shù) 的局部形態(tài).即只是函數(shù)在一個(gè)鄰域內(nèi)的比較, 故

2、它只可能在(a, b)的內(nèi)部取得.而函數(shù)的最大值與最小值則是指整個(gè)定義域內(nèi)區(qū)間a,b的整體形態(tài), 不僅可在a,b的內(nèi)部取得(此時(shí)最值也是極值)，也可在a,b的端點(diǎn)取得.一個(gè)函數(shù)可能有若干個(gè)極小值或極大值.而且可以 處的極小值卻比 處的極大值還大.但在定義區(qū)間內(nèi)一般卻最多只有一個(gè)最大最小值.一. 費(fèi)爾馬(Fermat)定理 可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值為零.定理設(shè) 在區(qū)間 上有定義,且在區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)則必有費(fèi)爾馬定理的幾何解釋 如何證明？設(shè)在區(qū)間上有定義，且在區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)則必有定理則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？設(shè)在區(qū)間上有定義，定理設(shè)在區(qū)間上有

3、定義，且在區(qū)間內(nèi)部某點(diǎn)則必有可保證在內(nèi)部一點(diǎn)取到極值切線是水平的二. 羅爾(Rolle)中值定理則至少存在一點(diǎn)定理設(shè)函數(shù) (x) 滿足下列條件: (1) 在閉區(qū)間a , b上連續(xù); (2) 在開區(qū)間(a, b)上可導(dǎo); (3) (a) = (b);是中間的一個(gè)值,幾何意義：證由費(fèi)爾馬引理,注意： f(x)僅不滿足條件(1) f(x)僅不滿足條件(3) f(x)僅不滿足條件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三個(gè)條件有一個(gè)不滿足，則定理的結(jié)論就可能不成立。如果函數(shù)yf(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo)，(3) f(a)f

4、(b)，則至少存在一點(diǎn)x(a, b)，使得f (x) 0。例1. 驗(yàn)證函數(shù) 在區(qū)間-1,2上滿足羅爾定理的條件, 并求出滿足此結(jié)論中的值.注3.羅爾定理是定性的結(jié)果, 它只肯定了至少存在一個(gè) ,而不能肯定 的個(gè)數(shù), 也沒有指出實(shí)際計(jì)算 的值的方法. 但對(duì)某些簡(jiǎn)單情形, 可從方程中解出 .解： 因 (x)是一初等函數(shù),其定義域?yàn)?則 (x)在 1, 2 上連續(xù), 在(1, 2)內(nèi)存在,即(x)在(1, 2)可導(dǎo). 則滿足題意的點(diǎn)為而(1) = (2) 即(x)在 1, 2上滿足羅爾定理的條件.由= 0. 例1證其中,綜上所述,其中,連續(xù)可微端點(diǎn)函數(shù)值相等例2分析例2證由羅爾定理, 至少存在一點(diǎn)

5、分析問題的條件, 作出輔助函數(shù)是證明的關(guān)鍵 .例3. 設(shè)(x)在a , b上連續(xù), 在(a , b)內(nèi)可導(dǎo), 且 (a) = (b) = 0. 試證: 在(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得證: 由于F(x)在a , b上連續(xù),在(a , b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a) = F(b) = 0, 即F(x)滿足羅爾定理的條件,.因此在(a , b)內(nèi)至少存在一點(diǎn) , 使得如何構(gòu)造輔助函數(shù)？要證存在 ,使使要證存在 ,要證存在 ,使要證存在 ,使要證存在 ,使要證存在 ,使例4分析：證明： 由于F(x)在a , b上連續(xù),在(a , b)內(nèi)可導(dǎo),且F(a) = F(b) = 0,即F(x)滿足羅爾定理的

6、條件.如果使用一次羅爾定理后, 能否再一次使用羅爾定理?如果需要, 當(dāng)然可以使用.書P153 例4-4設(shè)在上二階可導(dǎo),證明:至少存在一點(diǎn)使得分析:設(shè)但是如果有不一定等于 .使得由利用羅爾定理知:對(duì)存在使得是否存在使得由想到設(shè)一般結(jié)論出現(xiàn)兩階導(dǎo)數(shù)，證明時(shí)要用兩次中值定理如何描述這一現(xiàn)象 實(shí)際上, 切線與弦線 AB 平行.三. 拉格朗日(Lagrange)中值定理則至少存在一點(diǎn)定理設(shè)函數(shù) (x) 滿足下列條件: (1) 在閉區(qū)間 a , b上連續(xù); (2) 在開區(qū)間 (a, b)上可導(dǎo); 羅爾定理的端點(diǎn)條件要求太強(qiáng)了,將它去掉后就有拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：3. 拉格朗日定理 定理的敘述及其

7、證明 i ) 在 閉區(qū)間 a , b 內(nèi) 連續(xù) ，ii ) 在 開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi) 可導(dǎo) ，設(shè)函數(shù) f ( x )推論 1證不妨設(shè)則在上應(yīng)用拉格朗日定理有，故由此得由的任意性可知， 在內(nèi)是一個(gè)常數(shù)例4證由推論1知,推論 2( C 為常數(shù) )則證則設(shè)由推論即得故由于證只要證從而利用拉格朗日定理可證明不等式 例8例9 證明證利用拉格朗日定理可證明不等式 拉格朗日中值公式另外的表達(dá)方式：四. 柯西(Cauchy)中值定理則至少存在一點(diǎn)在閉區(qū)間a, b上連續(xù) ；(2)在開區(qū)間(a, b)上可導(dǎo) ；若函數(shù)(x), g(x)滿足下列條件：定理有人想：分子分母分別用拉格朗日中值定理, 就可證明柯

8、西中值定理了.請(qǐng)同學(xué)們看書或課后自己完成。故 由羅爾中值定理至少存在一點(diǎn)使得亦即證例設(shè)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),證明至少存在一點(diǎn)使得證相當(dāng)于要證只需設(shè)則在上滿足柯西中值定理的條件,因此由即分開將例證明至少存在一點(diǎn)使得分析要證首先嘗試?yán)窭嗜罩兄刀ɡ韯t為了消去，想到設(shè)設(shè)例證明至少存在一點(diǎn)使得證設(shè)則在上滿足柯西中值定理的條件,因此即所以嘗試?yán)窭嗜罩兄刀ɡ砗?用 (cauchy定理)乘以或除去一個(gè)因子.書P153 例7設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，證明：存在、使得分析相當(dāng)于要證想到設(shè)則把有的項(xiàng)分別放一邊，嘗試用某一中值定理證取,則在上滿足柯西定理的條件,故存在使即而 在 上也滿足拉格朗日定理的條件,故有 使(

9、*)代入(*)式即得有 兩個(gè)中間值,一般在證明過程中要用兩次中值定理.要證作業(yè) P1571.3. 4.(1) 5.8. 補(bǔ)充題1： 1. 設(shè) 在 內(nèi)連續(xù)可導(dǎo),處處有證明在內(nèi)至多一個(gè)零點(diǎn).補(bǔ)充題2： 設(shè) 在 內(nèi)連續(xù) ,在 可導(dǎo),求證:在存在兩點(diǎn)使得提示:反證法,并設(shè)高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十一講 洛必達(dá)法則腳本編寫教案制作洛必達(dá)(LHospital)法則 在第二章中我們已經(jīng)知道, 型的極限也可能存在. 例: 通常稱不能直接使用極限的四則運(yùn)算法則來計(jì)算的極限, 為未定式的極限. 下面利用柯西中值定理來推出一種求未定式極限的簡(jiǎn)便而有效的法則 洛必達(dá)法則.定理(洛

10、必達(dá)法則) 某去心鄰域內(nèi)有定義且可導(dǎo),且滿足下列條件： 簡(jiǎn)要說明：因求 與(a)及g(a)無關(guān), 則可定義(a) = g(a) = 0 .例1解:設(shè)函數(shù)(x), g(x)滿足條件，則有分子分母分別求導(dǎo) 轉(zhuǎn)化洛必達(dá)法則例1 解：設(shè)函數(shù)(x), g(x)滿足條件，則有說明：4. 應(yīng)用洛必達(dá)法則時(shí)要分別求分子及分母的導(dǎo)數(shù),切忌不要把函數(shù)當(dāng)做整個(gè)分式來求導(dǎo).洛必達(dá)法則僅限于除法的形式。例3解:例4解:例4解:因此當(dāng) 時(shí)，說明 趨向 的速度要比 快很多.例5.解:由此亦可知當(dāng) 時(shí)，例2第二章時(shí)的方法太繁：( 為非零實(shí)常數(shù)).由此亦可知當(dāng) 時(shí)，注3.在求未定式極限時(shí)可多次連續(xù)使用洛必達(dá)法則;如果在使用洛必

11、達(dá)法則后 , 則可繼續(xù)使用洛必達(dá)法則 .注1. 不是未定式, 使用洛必達(dá)法則, 導(dǎo)致錯(cuò)誤.使用洛必達(dá)法則要注意觀察條件是否滿足, 不然會(huì)出錯(cuò).實(shí)際上小 心 ！例9解求導(dǎo)后極限不存在？洛必達(dá)法則失效。在運(yùn)用洛必達(dá)法則時(shí) , 但也不是無窮大 , 則不能說明在 . 此時(shí)應(yīng)重新另找其它方法進(jìn)行計(jì)算 .洛必達(dá) 法則則 (化簡(jiǎn)，不用再繼續(xù)求導(dǎo))在使用洛必達(dá)法則時(shí) , 要注意進(jìn)行化簡(jiǎn)工作 , 它會(huì)使問題變得簡(jiǎn)單 . 連續(xù)使用洛必達(dá)法則例4解例7. 求解:在運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限過程中, 極限并不等于零的因子可以提出來, 這樣可使問題簡(jiǎn)化.運(yùn)用洛必達(dá)法則時(shí), 定式因子如有非零極限應(yīng)單獨(dú)分出計(jì)算，這樣可以簡(jiǎn)化計(jì)算

12、過程.例5解, 其中a為常數(shù). 利用洛必達(dá)法則求極限時(shí)注意與原有求極限方法（共軛因子法、變量替換等）的綜合運(yùn)用： 例6解在運(yùn)用洛必達(dá)法則求極限過程中, 可以運(yùn)用等價(jià)無窮小替代方法, 可使問題得到簡(jiǎn)化.請(qǐng)記住以下幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小量:1.sin x x, 2.tan x x,3.ln(1+x) x, 4.arcsin x x,5.arctan x x,以下各類極限稱為不定型的極限：其中 ,不定型的極限洛必達(dá)法則只限于求其它類型的不定型應(yīng)首先化成除法的形式才能用洛必達(dá)法則 .下面的介紹的是利用倒數(shù)法或取對(duì)數(shù)法將其它的不定型轉(zhuǎn)化為可以運(yùn)用洛必達(dá)法則計(jì)算的 .三、其他不定式 型：乘法除法利用倒數(shù)法

13、,將乘法轉(zhuǎn)換成除法,用另一種形式顛倒行不行 ?行 , 但繁些 .存在一個(gè)選擇問題.例9解步驟:例7步驟:將乘法轉(zhuǎn)換成除法,解例8.= 0步驟:通分，將減法轉(zhuǎn)換成除法這種形式可以直接通分,將減法換成除法，例10解步驟:例4-22 求解:取對(duì)數(shù)法最后只需用洛必達(dá)法則討論這兩種極限冪指函數(shù)變?yōu)槌ㄗ優(yōu)槌朔ɡ?.=0冪指函數(shù)例12求解:而冪指函數(shù)例9這是數(shù)列的極限這是數(shù)列的極限洛必達(dá)例13解此題也可用重要極限的方法來求解.此題也可用重要極限的方法來求解.抽象函數(shù)利用洛必達(dá)法則求極限：例11設(shè)f(x)有導(dǎo)數(shù),并且解利用洛必達(dá)法則有作業(yè) P1641. (1)(3)(5)(7)(11)(13)(15)(17

14、)(18)(19)(21)(22) 高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一） 第二十二講 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)曲線的凹向腳本編寫：教案制作： 主要內(nèi)容: 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹凸性與拐點(diǎn) 工具: 一階導(dǎo)數(shù) 工具: 二階導(dǎo)數(shù)引言由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，曲線在其上一點(diǎn)的切線斜率為觀察上升曲線上每一點(diǎn)的切線，有什么共同點(diǎn)？觀察下降曲線上每一點(diǎn)的切線，有什么共同點(diǎn)？ 函數(shù)y=f(x)的圖象有時(shí)上升, 有時(shí)下降. 如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的, 在什么范圍內(nèi)是下降的呢？上頁下頁結(jié)束返回首頁一、函數(shù)的單調(diào)性動(dòng)畫演示 f (x)0 f (x) 0, x (a, b), 則 f (x) 在

15、 a, b 上 (嚴(yán)格)單調(diào)增加;(2) 如果 f (x) 0 xyOy = f (x)f (x) 0 xyO函數(shù)單調(diào)性的判定定理證: (1)任取 x1, x2 (a, b), 滿足 x1 0故 f (x1) 0, x (a, b), 則 f (x) 在 a, b 上 (嚴(yán)格)單調(diào)增加;(2) 如果 f (x) 0 所以函數(shù) yx0.5sin x 在0 2p上的嚴(yán)格單調(diào)增加 函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)減少 因?yàn)樵?/p>

16、( 0)內(nèi)y0 所以函數(shù) yexx1在0 )上單調(diào)增加 解 函數(shù)yexx1的定義域?yàn)? ) yex1 例2 討論函數(shù) yex x1的單調(diào)性 我們已經(jīng)知道:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)也可是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn). 例如,例1解 列表可使問題明朗化單調(diào)增加xf (x)f (x) 例4 確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間 解 這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)? ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)為x11、x22 列表分析 函數(shù)f(x)在區(qū)間( 1和2 )內(nèi)單調(diào)增加 在區(qū)間1 2上單調(diào)減少 ( 1 1 2 2 ) y2x39x212x3例3求函數(shù) y = 的單調(diào)性.解f

17、(x)在 (, 0 上單調(diào)遞減;在 0, +) 上單調(diào)遞增.當(dāng) x = 0時(shí), 導(dǎo)數(shù)不存在.xf (x)f (x)( 0) (0 ) 0列表分析導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)可能是單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)駐點(diǎn)方法: 用駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)來劃分函數(shù)的定義區(qū)間, 然后判斷區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)符號(hào).總結(jié):注意： 如果函數(shù)在某點(diǎn)是 ，但兩邊導(dǎo)數(shù)同號(hào), 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,xf (x)f (x)( 0) (0 ) 0 說明但只在個(gè)別點(diǎn)處出如果 f (x) 0, x (a, b), 則 f (x) 在a, b上嚴(yán)格單調(diào)增加;舉例由于故從而即利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：例14證:要證明不等式只需證明f(x)0. 利用函數(shù)的單

18、調(diào)性證明不等式：證明f(x)大于0例5證：綜上所述, 當(dāng) x 0 時(shí), 總有 e x 1 + x令 f (x) = e x(1 + x)則 f (x) = e x1當(dāng) x 0 時(shí), f (x) 0, f (x) 在 0, +) 為增函數(shù)即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 當(dāng) x 0 時(shí), f (x) 1 + x f (x) f (0) = 0. 例設(shè)證明證：設(shè)則當(dāng)時(shí)所以在上單調(diào)遞減，因故即亦即 成立要證把有的項(xiàng)分別放一邊證零點(diǎn)利用函數(shù)的單調(diào)性確定方程實(shí)根的個(gè)數(shù):例2只需證明有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得f ()=sin=0.零點(diǎn)要會(huì)畫草圖！利用函數(shù)的單調(diào)性確定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)：例2

19、證即有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得f ()=sin=0.由零點(diǎn)存在定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性確定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)：例2零點(diǎn)零點(diǎn)存在定理只需證明有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得f ()=sin=0.函數(shù)的單調(diào)性存在性唯一性解題思路：我們說一個(gè)函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線的圖形嗎? !. 二、曲線的凹向、拐點(diǎn)還需研究曲線的彎曲方向。曲線凹向的定義 如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方, 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹的; 如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方, 則稱曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹的.上凹下凹曲線上凹與下凹的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)。拐點(diǎn)oxyy =(x)上凹曲線是兩端向上,并

20、且開口向上凹的.oxyy=(x)下凹曲線是兩端向下,并且開口向下凹的. 人們常將曲線所具有的上凹或下凹的性質(zhì)稱為曲線的凹性. 有何體會(huì)？能不能根據(jù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判別函數(shù)所對(duì)應(yīng)的曲線的凹向呢？ 下凹曲線從點(diǎn) A移到點(diǎn) B 時(shí),對(duì)應(yīng)的切線斜率 是單調(diào)減少的.AABB顯然用定義來判別曲線的凹性是極不方便的.但是可以看到上凹曲線從點(diǎn)A移到點(diǎn)B時(shí), 對(duì)應(yīng)的切線斜率是單調(diào)增加的.從而當(dāng) 存在時(shí),則oxyy =(x)oxy從而當(dāng) 存在時(shí),則y =(x)定理設(shè)函數(shù) f (x) 在 a, b 上連續(xù), 在 (a, b) 內(nèi)二階可導(dǎo).則曲線 y = f (x) 在 a, b 上是上凹的;(1) 如果 (2

21、) 如果 例7解x yO求函數(shù) y = x3 的上凹、下凹區(qū)間及拐點(diǎn).拐點(diǎn)為 (0, 0). 只是使的點(diǎn),但不是曲線凹向的拐點(diǎn).例3解這時(shí) 比較前兩個(gè)例子, 發(fā)現(xiàn)使得曲線所對(duì)我們的興趣 , 因?yàn)樗赡苁枪拯c(diǎn)應(yīng)的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)引起了上凹曲線段和下凹曲線段的分界點(diǎn)稱為拐點(diǎn) (0,0)點(diǎn)是拐點(diǎn)x yO書P169例4-35確定曲線 的凹向.解當(dāng) 時(shí),故 是 的上凹區(qū)間.當(dāng) 時(shí),故 是 的下凹區(qū)間.是曲線凹向的分界點(diǎn)，即拐點(diǎn) .是拐點(diǎn)的橫坐標(biāo). 時(shí) (不存在)因?yàn)檎f明都是曲線的拐點(diǎn)可疑點(diǎn)，即都有可能是拐點(diǎn) .拐點(diǎn)的求法：1.找出二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)或不可導(dǎo)點(diǎn)；2. 若它兩邊的二階導(dǎo)數(shù)值異號(hào), 則為

22、拐點(diǎn),若同號(hào)則不是拐點(diǎn).連續(xù)曲線上凹弧與下凹弧分界點(diǎn) , 稱為曲線的拐點(diǎn).x yO例9解上凹下凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn) x ( - , 0 ) 0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 , + ) y + 不存在 - 0 + y 上凹 拐點(diǎn) 下凹 拐點(diǎn) 上凹解例:已知點(diǎn)為曲線上的拐點(diǎn),因?yàn)辄c(diǎn)為曲線上的拐點(diǎn),因此在 點(diǎn),小結(jié) 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹性與拐點(diǎn) 單調(diào)遞增: 一階導(dǎo)數(shù) 0; 單調(diào)遞減: 一階導(dǎo)數(shù) 0； 下凹: 二階導(dǎo)數(shù) 0； 拐點(diǎn): 通過二階導(dǎo)數(shù) = 0 或不存在的點(diǎn)找潛在的拐點(diǎn)； 通過一階導(dǎo)數(shù) = 0 或不存在的點(diǎn)劃分單調(diào)區(qū)間；作業(yè) P1691.3.(1)(2)(3) 2.(2)(3)4.(1)(4

23、) 7.9.5.高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十三講 函數(shù)的極值與最值問題腳本編寫：教案制作：主要內(nèi)容 函數(shù)的極大值和極小值 函數(shù)的最大值和最小值 最值在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用極 值 的 定 義設(shè)函數(shù) y = f (x) 在 x0 的某一鄰域內(nèi)有定義, 定義如果對(duì)于鄰域內(nèi)任意的 x x0, 恒有則稱 f (x0)為 f (x) 的一個(gè)極大(小)值.f (x) f (x0) x0 x0函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值, 函數(shù)取得極值的點(diǎn)x0稱為極值點(diǎn).一、函數(shù)的極值及其求法xyox2x3x5x4x1aby = f (x)x0 x0 x0 x0注1: 如果 f (x) = 0,

24、 那么稱 x0 為 f (x) 的駐點(diǎn).極值存在的必要條件設(shè)函數(shù) y = f (x) 在極值點(diǎn) x0 可導(dǎo), 則f (x0) = 0.費(fèi)爾馬引理注2: 駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).x yo y = | x |x yo y = x2注3: 不可導(dǎo)點(diǎn)也可能是極值點(diǎn).x yO y = x3 這就是說,極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn),要么是不可導(dǎo)點(diǎn),兩者必居其一. 注1: 如果 f (x) = 0, 那么稱 x0 為 f (x) 的駐點(diǎn).極值存在的必要條件設(shè)函數(shù) y = f (x) 在極值點(diǎn) x0 可導(dǎo), 則費(fèi)爾馬引理f (x0) = 0.極值可疑點(diǎn)不可導(dǎo)點(diǎn)駐點(diǎn)? 這就是說,極值點(diǎn)要么是駐點(diǎn),要么是不可導(dǎo)點(diǎn),兩者必居其一.

25、 我們把駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為極值嫌疑點(diǎn). 下面給出兩個(gè)充分條件,用來判別這些極值嫌疑點(diǎn)是否為極值點(diǎn). 首先考察下列函數(shù)的圖形:通過觀察以上的圖形你得到什么結(jié)論？判別函數(shù)的極值點(diǎn), 主要是判別極值可疑點(diǎn)左、右兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性.極值可疑點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導(dǎo) (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴(yán)格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x) 0, 則 f (x) 在 x0 取極小值;+x0+x0(2) 如果 f (x0) 0, 則 f (x) 在 x0 取極小值;+x0+x0(2) 如果 f (x0) 0, 則 f (x)

26、 在 x0 取極小值;+x0 極值存在的第二充分條件與極值存在的第一充分條件相比，需要求一階、二階導(dǎo)數(shù)，但只需考慮 處的導(dǎo)數(shù)極值存在的第二充分條件定理設(shè)函數(shù) y = f (x) 在駐點(diǎn) x0 二階可導(dǎo),(1) 如果 f (x0) 0, 則 f (x) 在 x0 取極小值;+x0+x0(2) 如果 f (x0) 0, 則 f (x) 在 x0 取極大值.稱為“二階導(dǎo)數(shù)非零法” 函數(shù)的凹性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)有關(guān).你清楚它們之間的區(qū)別嗎?畫畫圖就能搞清楚.例6解(1) 確定函數(shù)的定義域； (4) 用極值的第一或第二充分條件判定.注意 第二充分條件只能判定駐點(diǎn)的情形. 求極值

27、的步驟:(3) 求定義域內(nèi)部的極值嫌疑點(diǎn)(即駐點(diǎn)或 一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn))； 例3解圖形:例4為何值時(shí)，在處取得并求出此極值。解：因?yàn)樵谔幦〉脴O值，由可導(dǎo)函數(shù)極值存在的必要條件知必有即又因?yàn)楣屎瘮?shù)在處取得極大值。極值，在工程技術(shù)和生產(chǎn)實(shí)踐中, 常常需要考慮在一定條件下, 怎樣才能使用料最少、費(fèi)用最省, 而效率和效益最高等問題. 這些問題反映到數(shù)學(xué)上就是最值問題.二、函 數(shù) 的 最大值、最小值二、函數(shù)的最值極值是局部性的,而最值是全局性的. 當(dāng) 在 上單調(diào)時(shí),最值必在端點(diǎn)處達(dá)到. 怎樣求函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上 的最大、最小值呢？求函數(shù)的最值oabx1x2x3x4x5y=f (x)xy其中 x1, x2,

28、 , x5(a, b)是 f (x) 的駐點(diǎn)(或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)).具體求法： 二、最大值與最小值問題 計(jì)算函數(shù)值:( 端點(diǎn)值 )例8解例11證例10利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)證明不等式是一種常用的方法, 它包含以下幾個(gè)部分:利用微分中值定理 ,估計(jì)利用函數(shù)的單調(diào)性：利用函數(shù)的極值和最值先找出極值oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)在實(shí)際問題中,往往用到求函數(shù)最值的下述方法： 在實(shí)際問題中 , 有時(shí)還可根據(jù)實(shí)際意義判別求出的唯一極值可疑點(diǎn)為最大值點(diǎn)或?yàn)樽钚≈迭c(diǎn) .oo用薄鐵片沖制圓柱形無蓋容器, 要求它的容積一定, 問應(yīng)如何選擇它的半徑和高度才能使用料最省 ?設(shè)容積(體積)為 V , 半徑為 r ,

29、 高為 h . 用料最省即指容器的表面積 A 最小.應(yīng)用問題例8解又實(shí)際問題中 A 的最小值一定存在 ,故當(dāng)要求的容器的容積為V時(shí) , 選擇半徑 如果不放心,可用二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行判斷.例12解分析 數(shù)列是離散函數(shù),不能求導(dǎo),應(yīng)把 n 改為x,轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù),再求導(dǎo). 利用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,得 導(dǎo)數(shù)左正右負(fù)，二.函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用 獲得利潤(rùn)最大的一系列價(jià)格策略等.這些問題都可歸結(jié)為求函數(shù)的最大值和最小值問題.下面舉例說明函數(shù)最值在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用. 在經(jīng)濟(jì)管理中, 需要尋求企業(yè)的最小生產(chǎn)成本或制定三、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用舉例1.平均成本(AC)最低問題 例7設(shè)成本函數(shù)為 則平均成本為得駐點(diǎn) 2.最大利潤(rùn)問題 例8利潤(rùn)

30、函數(shù)為 解得駐點(diǎn) 實(shí)際問題,有時(shí)根據(jù)題目要求,結(jié)果要取整.如何取整: 沒有什么新的東西作業(yè) P1821.(2)(6)3.(2)(6) 2.4.5. 12.14.11.P170高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程 微積分 大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（一）第二十四講 函數(shù)圖形的描繪腳本編寫：教案制作： 現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形 , 因?yàn)檫€不知道如何求曲線的漸近線 .我不會(huì)求.主要內(nèi)容 曲線的漸近線 函數(shù)的作圖 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線 若動(dòng)點(diǎn) P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠(yuǎn)離坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí), 動(dòng)點(diǎn) P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x )

31、 的一條漸近線 . 一、曲線的漸近線定義一、曲線的漸近線 曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，和某條固定直線的距離趨向于零，稱該直線為曲線的漸近線. 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線畫圖時(shí)，用漸進(jìn)線說明函數(shù) 在無窮遠(yuǎn)處的情況.1.水平漸近線例如有水平漸近線:xy(平行于x軸的漸近線)例如有兩條鉛直漸近線:2.垂直(鉛直)漸近線(垂直于x軸的漸近線)x0 為 f (x) 的無窮型間斷點(diǎn)2.垂直(鉛直)漸近線(垂直于x軸的漸近線)x0 為 f (x) 的無窮型間斷點(diǎn)例如是其圖象的水平漸近線.不是其圖象的垂直漸近線.例1求曲線的水平和垂直漸近線 . y = 2為水平漸近線.解 x = 1為垂直漸近線.例2求曲線的水

32、平和垂直漸近線 .想想： 怎么求 a ,b ? 斜漸近線則直線 y = a x + b就是曲線 y = f ( x )在 x 軸正（或負(fù)）方向上 的 斜漸 近線 .3.斜漸近線斜漸近線求法:y = a x + b 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線y = b或或x = x0和y = a x + bx0 為 f (x) 的無窮型間斷點(diǎn)解例2例2(函數(shù)無窮型間斷點(diǎn))曲線有斜漸近線嗎？例10解繪出此函數(shù)斜漸進(jìn)線的圖形 .例10解例9解曲線有斜漸近線嗎？洛必達(dá)法則b不存在曲線沒有斜漸近線. 現(xiàn)在我們能很好地作出函數(shù)的圖形了.我還是不會(huì)求.二、函數(shù)的作圖1.函數(shù) f (x) 的作圖步驟:確定 f (x)

33、的定義域, 討論奇偶性、周期性;求 f (x), f (x) 及其零點(diǎn)和不存在的點(diǎn);分區(qū)間討論根據(jù) f (x) 和 f (x) 的符號(hào), 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸性和拐點(diǎn);2.3.4.討論漸近線;5.適當(dāng)求些特殊點(diǎn)的坐標(biāo)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)等), 來輔助作圖.例4解非奇非偶函數(shù).列表不存在拐點(diǎn)極小值點(diǎn)間斷點(diǎn) C(-1, -2)，E(2, 1) ，D(1, 6)，作出函數(shù)的圖形.xO yF(3, -2/9) .B(-2, -3)，D曲線有水平漸近線 y = -2和垂直漸近線 x = 0。ABCDEF不存在拐點(diǎn)極小值點(diǎn)間斷點(diǎn)描點(diǎn):A(-3, -26/9)，例3解偶函數(shù), 圖形關(guān)于y軸對(duì)稱.拐點(diǎn)極大值拐點(diǎn)例3 根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖形可知，一階導(dǎo)數(shù)為