文科-經(jīng)管類-微積分-第四章課件

1、高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 微積分 大 學 數(shù) 學（一）第二十講 中值定理腳本編寫教案制作第一節(jié) 中值定理第四章 中值定理與導數(shù)的應用一. 費爾馬定理二. 羅爾中值定理三. 拉格朗日中值定理四. 柯西中值定理極 值 的 定 義設函數(shù) y = f (x) 在 x0 的某一鄰域內(nèi)有定義, 定義如果對于鄰域內(nèi)任意的 x x0, 恒有則稱 f (x0)為 f (x) 的一個極大(小)值.f (x) f (x0) x0 x0函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值, 函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點.oxyy= (x)Mmab2.極值與最值 由極值定義知:極值是函數(shù) 的局部形態(tài).即只是函數(shù)在一個鄰域內(nèi)的比較, 故

2、它只可能在(a, b)的內(nèi)部取得.而函數(shù)的最大值與最小值則是指整個定義域內(nèi)區(qū)間a,b的整體形態(tài), 不僅可在a,b的內(nèi)部取得(此時最值也是極值)，也可在a,b的端點取得.一個函數(shù)可能有若干個極小值或極大值.而且可以 處的極小值卻比 處的極大值還大.但在定義區(qū)間內(nèi)一般卻最多只有一個最大最小值.一. 費爾馬(Fermat)定理 可微函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值的必要條件是函數(shù)在該點的導數(shù)值為零.定理設 在區(qū)間 上有定義,且在區(qū)間內(nèi)部某點則必有費爾馬定理的幾何解釋 如何證明？設在區(qū)間上有定義，且在區(qū)間內(nèi)部某點則必有定理則有于是（極小值類似可證）證如何保證函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部取極值？設在區(qū)間上有定義，定理設在區(qū)間上有

3、定義，且在區(qū)間內(nèi)部某點則必有可保證在內(nèi)部一點取到極值切線是水平的二. 羅爾(Rolle)中值定理則至少存在一點定理設函數(shù) (x) 滿足下列條件: (1) 在閉區(qū)間a , b上連續(xù); (2) 在開區(qū)間(a, b)上可導; (3) (a) = (b);是中間的一個值,幾何意義：證由費爾馬引理,注意： f(x)僅不滿足條件(1) f(x)僅不滿足條件(3) f(x)僅不滿足條件(2)BxO yAabxO yABabcxO yABab 如果定理的三個條件有一個不滿足，則定理的結論就可能不成立。如果函數(shù)yf(x)滿足條件：(1)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，(2)在開區(qū)間(a, b)內(nèi)可導，(3) f(a)f

4、(b)，則至少存在一點x(a, b)，使得f (x) 0。例1. 驗證函數(shù) 在區(qū)間-1,2上滿足羅爾定理的條件, 并求出滿足此結論中的值.注3.羅爾定理是定性的結果, 它只肯定了至少存在一個 ,而不能肯定 的個數(shù), 也沒有指出實際計算 的值的方法. 但對某些簡單情形, 可從方程中解出 .解： 因 (x)是一初等函數(shù),其定義域為 則 (x)在 1, 2 上連續(xù), 在(1, 2)內(nèi)存在,即(x)在(1, 2)可導. 則滿足題意的點為而(1) = (2) 即(x)在 1, 2上滿足羅爾定理的條件.由= 0. 例1證其中,綜上所述,其中,連續(xù)可微端點函數(shù)值相等例2分析例2證由羅爾定理, 至少存在一點

5、分析問題的條件, 作出輔助函數(shù)是證明的關鍵 .例3. 設(x)在a , b上連續(xù), 在(a , b)內(nèi)可導, 且 (a) = (b) = 0. 試證: 在(a , b)內(nèi)至少存在一點 , 使得證: 由于F(x)在a , b上連續(xù),在(a , b)內(nèi)可導,且F(a) = F(b) = 0, 即F(x)滿足羅爾定理的條件,.因此在(a , b)內(nèi)至少存在一點 , 使得如何構造輔助函數(shù)？要證存在 ,使使要證存在 ,要證存在 ,使要證存在 ,使要證存在 ,使要證存在 ,使例4分析：證明： 由于F(x)在a , b上連續(xù),在(a , b)內(nèi)可導,且F(a) = F(b) = 0,即F(x)滿足羅爾定理的

6、條件.如果使用一次羅爾定理后, 能否再一次使用羅爾定理?如果需要, 當然可以使用.書P153 例4-4設在上二階可導,證明:至少存在一點使得分析:設但是如果有不一定等于 .使得由利用羅爾定理知:對存在使得是否存在使得由想到設一般結論出現(xiàn)兩階導數(shù)，證明時要用兩次中值定理如何描述這一現(xiàn)象 實際上, 切線與弦線 AB 平行.三. 拉格朗日(Lagrange)中值定理則至少存在一點定理設函數(shù) (x) 滿足下列條件: (1) 在閉區(qū)間 a , b上連續(xù); (2) 在開區(qū)間 (a, b)上可導; 羅爾定理的端點條件要求太強了,將它去掉后就有拉格朗日中值公式另外的表達方式：3. 拉格朗日定理 定理的敘述及其

7、證明 i ) 在 閉區(qū)間 a , b 內(nèi) 連續(xù) ，ii ) 在 開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi) 可導 ，設函數(shù) f ( x )推論 1證不妨設則在上應用拉格朗日定理有，故由此得由的任意性可知， 在內(nèi)是一個常數(shù)例4證由推論1知,推論 2( C 為常數(shù) )則證則設由推論即得故由于證只要證從而利用拉格朗日定理可證明不等式 例8例9 證明證利用拉格朗日定理可證明不等式 拉格朗日中值公式另外的表達方式：四. 柯西(Cauchy)中值定理則至少存在一點在閉區(qū)間a, b上連續(xù) ；(2)在開區(qū)間(a, b)上可導 ；若函數(shù)(x), g(x)滿足下列條件：定理有人想：分子分母分別用拉格朗日中值定理, 就可證明柯

8、西中值定理了.請同學們看書或課后自己完成。故 由羅爾中值定理至少存在一點使得亦即證例設在上連續(xù), 在內(nèi)可導,證明至少存在一點使得證相當于要證只需設則在上滿足柯西中值定理的條件,因此由即分開將例證明至少存在一點使得分析要證首先嘗試拉格朗日中值定理則為了消去，想到設設例證明至少存在一點使得證設則在上滿足柯西中值定理的條件,因此即所以嘗試拉格朗日中值定理后,用 (cauchy定理)乘以或除去一個因子.書P153 例7設在上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明：存在、使得分析相當于要證想到設則把有的項分別放一邊，嘗試用某一中值定理證取,則在上滿足柯西定理的條件,故存在使即而 在 上也滿足拉格朗日定理的條件,故有 使(

9、*)代入(*)式即得有 兩個中間值,一般在證明過程中要用兩次中值定理.要證作業(yè) P1571.3. 4.(1) 5.8. 補充題1： 1. 設 在 內(nèi)連續(xù)可導,處處有證明在內(nèi)至多一個零點.補充題2： 設 在 內(nèi)連續(xù) ,在 可導,求證:在存在兩點使得提示:反證法,并設高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 微積分 大 學 數(shù) 學（一）第二十一講 洛必達法則腳本編寫教案制作洛必達(LHospital)法則 在第二章中我們已經(jīng)知道, 型的極限也可能存在. 例: 通常稱不能直接使用極限的四則運算法則來計算的極限, 為未定式的極限. 下面利用柯西中值定理來推出一種求未定式極限的簡便而有效的法則 洛必達法則.定理(洛

10、必達法則) 某去心鄰域內(nèi)有定義且可導,且滿足下列條件： 簡要說明：因求 與(a)及g(a)無關, 則可定義(a) = g(a) = 0 .例1解:設函數(shù)(x), g(x)滿足條件，則有分子分母分別求導 轉(zhuǎn)化洛必達法則例1 解：設函數(shù)(x), g(x)滿足條件，則有說明：4. 應用洛必達法則時要分別求分子及分母的導數(shù),切忌不要把函數(shù)當做整個分式來求導.洛必達法則僅限于除法的形式。例3解:例4解:例4解:因此當 時，說明 趨向 的速度要比 快很多.例5.解:由此亦可知當 時，例2第二章時的方法太繁：( 為非零實常數(shù)).由此亦可知當 時，注3.在求未定式極限時可多次連續(xù)使用洛必達法則;如果在使用洛必

11、達法則后 , 則可繼續(xù)使用洛必達法則 .注1. 不是未定式, 使用洛必達法則, 導致錯誤.使用洛必達法則要注意觀察條件是否滿足, 不然會出錯.實際上小 心 ！例9解求導后極限不存在？洛必達法則失效。在運用洛必達法則時 , 但也不是無窮大 , 則不能說明在 . 此時應重新另找其它方法進行計算 .洛必達 法則則 (化簡，不用再繼續(xù)求導)在使用洛必達法則時 , 要注意進行化簡工作 , 它會使問題變得簡單 . 連續(xù)使用洛必達法則例4解例7. 求解:在運用洛必達法則求極限過程中, 極限并不等于零的因子可以提出來, 這樣可使問題簡化.運用洛必達法則時, 定式因子如有非零極限應單獨分出計算，這樣可以簡化計算

12、過程.例5解, 其中a為常數(shù). 利用洛必達法則求極限時注意與原有求極限方法（共軛因子法、變量替換等）的綜合運用： 例6解在運用洛必達法則求極限過程中, 可以運用等價無窮小替代方法, 可使問題得到簡化.請記住以下幾個常用的等價無窮小量:1.sin x x, 2.tan x x,3.ln(1+x) x, 4.arcsin x x,5.arctan x x,以下各類極限稱為不定型的極限：其中 ,不定型的極限洛必達法則只限于求其它類型的不定型應首先化成除法的形式才能用洛必達法則 .下面的介紹的是利用倒數(shù)法或取對數(shù)法將其它的不定型轉(zhuǎn)化為可以運用洛必達法則計算的 .三、其他不定式 型：乘法除法利用倒數(shù)法

13、,將乘法轉(zhuǎn)換成除法,用另一種形式顛倒行不行 ?行 , 但繁些 .存在一個選擇問題.例9解步驟:例7步驟:將乘法轉(zhuǎn)換成除法,解例8.= 0步驟:通分，將減法轉(zhuǎn)換成除法這種形式可以直接通分,將減法換成除法，例10解步驟:例4-22 求解:取對數(shù)法最后只需用洛必達法則討論這兩種極限冪指函數(shù)變?yōu)槌ㄗ優(yōu)槌朔ɡ?.=0冪指函數(shù)例12求解:而冪指函數(shù)例9這是數(shù)列的極限這是數(shù)列的極限洛必達例13解此題也可用重要極限的方法來求解.此題也可用重要極限的方法來求解.抽象函數(shù)利用洛必達法則求極限：例11設f(x)有導數(shù),并且解利用洛必達法則有作業(yè) P1641. (1)(3)(5)(7)(11)(13)(15)(17

14、)(18)(19)(21)(22) 高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 微積分大 學 數(shù) 學（一） 第二十二講 函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)曲線的凹向腳本編寫：教案制作： 主要內(nèi)容: 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹凸性與拐點 工具: 一階導數(shù) 工具: 二階導數(shù)引言由導數(shù)的幾何意義知，曲線在其上一點的切線斜率為觀察上升曲線上每一點的切線，有什么共同點？觀察下降曲線上每一點的切線，有什么共同點？ 函數(shù)y=f(x)的圖象有時上升, 有時下降. 如何判斷函數(shù)的圖象在什么范圍內(nèi)是上升的, 在什么范圍內(nèi)是下降的呢？上頁下頁結束返回首頁一、函數(shù)的單調(diào)性動畫演示 f (x)0 f (x) 0, x (a, b), 則 f (x) 在

15、 a, b 上 (嚴格)單調(diào)增加;(2) 如果 f (x) 0 xyOy = f (x)f (x) 0 xyO函數(shù)單調(diào)性的判定定理證: (1)任取 x1, x2 (a, b), 滿足 x1 0故 f (x1) 0, x (a, b), 則 f (x) 在 a, b 上 (嚴格)單調(diào)增加;(2) 如果 f (x) 0 所以函數(shù) yx0.5sin x 在0 2p上的嚴格單調(diào)增加 函數(shù)單調(diào)性的判定法 設函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導 (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴格單調(diào)減少 因為在

16、( 0)內(nèi)y0 所以函數(shù) yexx1在0 )上單調(diào)增加 解 函數(shù)yexx1的定義域為( ) yex1 例2 討論函數(shù) yex x1的單調(diào)性 我們已經(jīng)知道:求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間說明: 單調(diào)區(qū)間的分界點也可是導數(shù)不存在的點. 例如,例1解 列表可使問題明朗化單調(diào)增加xf (x)f (x) 例4 確定函數(shù)f(x)2x39x212x3的單調(diào)區(qū)間 解 這個函數(shù)的定義域為( ) f (x)6x218x126(x1)(x2) 導數(shù)為零的點為x11、x22 列表分析 函數(shù)f(x)在區(qū)間( 1和2 )內(nèi)單調(diào)增加 在區(qū)間1 2上單調(diào)減少 ( 1 1 2 2 ) y2x39x212x3例3求函數(shù) y = 的單調(diào)性.解f

17、(x)在 (, 0 上單調(diào)遞減;在 0, +) 上單調(diào)遞增.當 x = 0時, 導數(shù)不存在.xf (x)f (x)( 0) (0 ) 0列表分析導數(shù)等于零的點和不可導點可能是單調(diào)區(qū)間的分界點駐點方法: 用駐點和不可導點來劃分函數(shù)的定義區(qū)間, 然后判斷區(qū)間內(nèi)導數(shù)符號.總結:注意： 如果函數(shù)在某點是 ，但兩邊導數(shù)同號, 則不改變函數(shù)的單調(diào)性 .例如,xf (x)f (x)( 0) (0 ) 0 說明但只在個別點處出如果 f (x) 0, x (a, b), 則 f (x) 在a, b上嚴格單調(diào)增加;舉例由于故從而即利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式：例14證:要證明不等式只需證明f(x)0. 利用函數(shù)的單

18、調(diào)性證明不等式：證明f(x)大于0例5證：綜上所述, 當 x 0 時, 總有 e x 1 + x令 f (x) = e x(1 + x)則 f (x) = e x1當 x 0 時, f (x) 0, f (x) 在 0, +) 為增函數(shù)即 e x 1 + x f (x) f (0) = 0. 當 x 0 時, f (x) 1 + x f (x) f (0) = 0. 例設證明證：設則當時所以在上單調(diào)遞減，因故即亦即 成立要證把有的項分別放一邊證零點利用函數(shù)的單調(diào)性確定方程實根的個數(shù):例2只需證明有且僅有一個實數(shù),使得f ()=sin=0.零點要會畫草圖！利用函數(shù)的單調(diào)性確定方程實根的個數(shù)：例2

19、證即有且僅有一個實數(shù),使得f ()=sin=0.由零點存在定理知，利用函數(shù)的單調(diào)性確定方程實根的個數(shù)：例2零點零點存在定理只需證明有且僅有一個實數(shù),使得f ()=sin=0.函數(shù)的單調(diào)性存在性唯一性解題思路：我們說一個函數(shù)單調(diào)增加, 你能畫出函數(shù)所對應的曲線的圖形嗎? !. 二、曲線的凹向、拐點還需研究曲線的彎曲方向。曲線凹向的定義 如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點的切線的上方, 則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是上凹的; 如果在某區(qū)間內(nèi), 曲線弧位于其上任意一點的切線的下方, 則稱曲線在這個區(qū)間內(nèi)是下凹的.上凹下凹曲線上凹與下凹的分界點稱為曲線的拐點。拐點oxyy =(x)上凹曲線是兩端向上,并

20、且開口向上凹的.oxyy=(x)下凹曲線是兩端向下,并且開口向下凹的. 人們常將曲線所具有的上凹或下凹的性質(zhì)稱為曲線的凹性. 有何體會？能不能根據(jù)函數(shù)的二階導數(shù)的符號來判別函數(shù)所對應的曲線的凹向呢？ 下凹曲線從點 A移到點 B 時,對應的切線斜率 是單調(diào)減少的.AABB顯然用定義來判別曲線的凹性是極不方便的.但是可以看到上凹曲線從點A移到點B時, 對應的切線斜率是單調(diào)增加的.從而當 存在時,則oxyy =(x)oxy從而當 存在時,則y =(x)定理設函數(shù) f (x) 在 a, b 上連續(xù), 在 (a, b) 內(nèi)二階可導.則曲線 y = f (x) 在 a, b 上是上凹的;(1) 如果 (2

21、) 如果 例7解x yO求函數(shù) y = x3 的上凹、下凹區(qū)間及拐點.拐點為 (0, 0). 只是使的點,但不是曲線凹向的拐點.例3解這時 比較前兩個例子, 發(fā)現(xiàn)使得曲線所對我們的興趣 , 因為它可能是拐點應的函數(shù)的二階導數(shù)等于零的點引起了上凹曲線段和下凹曲線段的分界點稱為拐點 (0,0)點是拐點x yO書P169例4-35確定曲線 的凹向.解當 時,故 是 的上凹區(qū)間.當 時,故 是 的下凹區(qū)間.是曲線凹向的分界點，即拐點 .是拐點的橫坐標. 時 (不存在)因為說明都是曲線的拐點可疑點，即都有可能是拐點 .拐點的求法：1.找出二階導數(shù)為零的點或不可導點；2. 若它兩邊的二階導數(shù)值異號, 則為

22、拐點,若同號則不是拐點.連續(xù)曲線上凹弧與下凹弧分界點 , 稱為曲線的拐點.x yO例9解上凹下凹上凹拐點拐點 x ( - , 0 ) 0 ( 0 , 1 ) 1 ( 1 , + ) y + 不存在 - 0 + y 上凹 拐點 下凹 拐點 上凹解例:已知點為曲線上的拐點,因為點為曲線上的拐點,因此在 點,小結 函數(shù)的單調(diào)性 曲線的凹性與拐點 單調(diào)遞增: 一階導數(shù) 0; 單調(diào)遞減: 一階導數(shù) 0； 下凹: 二階導數(shù) 0； 拐點: 通過二階導數(shù) = 0 或不存在的點找潛在的拐點； 通過一階導數(shù) = 0 或不存在的點劃分單調(diào)區(qū)間；作業(yè) P1691.3.(1)(2)(3) 2.(2)(3)4.(1)(4

23、) 7.9.5.高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 微積分 大 學 數(shù) 學（一）第二十三講 函數(shù)的極值與最值問題腳本編寫：教案制作：主要內(nèi)容 函數(shù)的極大值和極小值 函數(shù)的最大值和最小值 最值在經(jīng)濟上的應用極 值 的 定 義設函數(shù) y = f (x) 在 x0 的某一鄰域內(nèi)有定義, 定義如果對于鄰域內(nèi)任意的 x x0, 恒有則稱 f (x0)為 f (x) 的一個極大(小)值.f (x) f (x0) x0 x0函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值, 函數(shù)取得極值的點x0稱為極值點.一、函數(shù)的極值及其求法xyox2x3x5x4x1aby = f (x)x0 x0 x0 x0注1: 如果 f (x) = 0,

24、 那么稱 x0 為 f (x) 的駐點.極值存在的必要條件設函數(shù) y = f (x) 在極值點 x0 可導, 則f (x0) = 0.費爾馬引理注2: 駐點不一定是極值點.x yo y = | x |x yo y = x2注3: 不可導點也可能是極值點.x yO y = x3 這就是說,極值點要么是駐點,要么是不可導點,兩者必居其一. 注1: 如果 f (x) = 0, 那么稱 x0 為 f (x) 的駐點.極值存在的必要條件設函數(shù) y = f (x) 在極值點 x0 可導, 則費爾馬引理f (x0) = 0.極值可疑點不可導點駐點? 這就是說,極值點要么是駐點,要么是不可導點,兩者必居其一.

25、 我們把駐點和不可導點統(tǒng)稱為極值嫌疑點. 下面給出兩個充分條件,用來判別這些極值嫌疑點是否為極值點. 首先考察下列函數(shù)的圖形:通過觀察以上的圖形你得到什么結論？判別函數(shù)的極值點, 主要是判別極值可疑點左、右兩側函數(shù)的單調(diào)性.極值可疑點點函數(shù)單調(diào)性的判定法 設函數(shù)f(x)在a b上連續(xù) 在(a, b)內(nèi)可導 (1)如果在(a b)內(nèi)f (x)0 則f(x)在a b上嚴格單調(diào)增加 (2)如果在(a b)內(nèi)f (x) 0, 則 f (x) 在 x0 取極小值;+x0+x0(2) 如果 f (x0) 0, 則 f (x) 在 x0 取極小值;+x0+x0(2) 如果 f (x0) 0, 則 f (x)

26、 在 x0 取極小值;+x0 極值存在的第二充分條件與極值存在的第一充分條件相比，需要求一階、二階導數(shù)，但只需考慮 處的導數(shù)極值存在的第二充分條件定理設函數(shù) y = f (x) 在駐點 x0 二階可導,(1) 如果 f (x0) 0, 則 f (x) 在 x0 取極小值;+x0+x0(2) 如果 f (x0) 0, 則 f (x) 在 x0 取極大值.稱為“二階導數(shù)非零法” 函數(shù)的凹性的判別以及函數(shù)的極值的判別都與函數(shù)的二階導數(shù)有關.你清楚它們之間的區(qū)別嗎?畫畫圖就能搞清楚.例6解(1) 確定函數(shù)的定義域； (4) 用極值的第一或第二充分條件判定.注意 第二充分條件只能判定駐點的情形. 求極值

27、的步驟:(3) 求定義域內(nèi)部的極值嫌疑點(即駐點或 一階導數(shù)不存在的點)； 例3解圖形:例4為何值時，在處取得并求出此極值。解：因為在處取得極值，由可導函數(shù)極值存在的必要條件知必有即又因為故函數(shù)在處取得極大值。極值，在工程技術和生產(chǎn)實踐中, 常常需要考慮在一定條件下, 怎樣才能使用料最少、費用最省, 而效率和效益最高等問題. 這些問題反映到數(shù)學上就是最值問題.二、函 數(shù) 的 最大值、最小值二、函數(shù)的最值極值是局部性的,而最值是全局性的. 當 在 上單調(diào)時,最值必在端點處達到. 怎樣求函數(shù)在一個區(qū)間上 的最大、最小值呢？求函數(shù)的最值oabx1x2x3x4x5y=f (x)xy其中 x1, x2,

28、 , x5(a, b)是 f (x) 的駐點(或?qū)?shù)不存在的點).具體求法： 二、最大值與最小值問題 計算函數(shù)值:( 端點值 )例8解例11證例10利用導數(shù)的性質(zhì)證明不等式是一種常用的方法, 它包含以下幾個部分:利用微分中值定理 ,估計利用函數(shù)的單調(diào)性：利用函數(shù)的極值和最值先找出極值oyxaby=f(x)oyxaby=f(x)在實際問題中,往往用到求函數(shù)最值的下述方法： 在實際問題中 , 有時還可根據(jù)實際意義判別求出的唯一極值可疑點為最大值點或為最小值點 .oo用薄鐵片沖制圓柱形無蓋容器, 要求它的容積一定, 問應如何選擇它的半徑和高度才能使用料最省 ?設容積(體積)為 V , 半徑為 r ,

29、 高為 h . 用料最省即指容器的表面積 A 最小.應用問題例8解又實際問題中 A 的最小值一定存在 ,故當要求的容器的容積為V時 , 選擇半徑 如果不放心,可用二階導數(shù)進行判斷.例12解分析 數(shù)列是離散函數(shù),不能求導,應把 n 改為x,轉(zhuǎn)化為連續(xù)函數(shù),再求導. 利用對數(shù)求導法,得 導數(shù)左正右負，二.函數(shù)最值在經(jīng)濟中的應用 獲得利潤最大的一系列價格策略等.這些問題都可歸結為求函數(shù)的最大值和最小值問題.下面舉例說明函數(shù)最值在經(jīng)濟上的應用. 在經(jīng)濟管理中, 需要尋求企業(yè)的最小生產(chǎn)成本或制定三、經(jīng)濟應用舉例1.平均成本(AC)最低問題 例7設成本函數(shù)為 則平均成本為得駐點 2.最大利潤問題 例8利潤

30、函數(shù)為 解得駐點 實際問題,有時根據(jù)題目要求,結果要取整.如何取整: 沒有什么新的東西作業(yè) P1821.(2)(6)3.(2)(6) 2.4.5. 12.14.11.P170高等院校非數(shù)學類本科數(shù)學課程 微積分 大 學 數(shù) 學（一）第二十四講 函數(shù)圖形的描繪腳本編寫：教案制作： 現(xiàn)在我們還不能很好地作出函數(shù)的圖形 , 因為還不知道如何求曲線的漸近線 .我不會求.主要內(nèi)容 曲線的漸近線 函數(shù)的作圖 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線 若動點 P 沿著曲線 y = f ( x ) 的某一方向無限遠離坐標原點時, 動點 P 到一直線 L 的距離趨于零 , 則稱此直線 L 為曲線 y = f ( x )

31、 的一條漸近線 . 一、曲線的漸近線定義一、曲線的漸近線 曲線無限遠離原點時，和某條固定直線的距離趨向于零，稱該直線為曲線的漸近線. 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線畫圖時，用漸進線說明函數(shù) 在無窮遠處的情況.1.水平漸近線例如有水平漸近線:xy(平行于x軸的漸近線)例如有兩條鉛直漸近線:2.垂直(鉛直)漸近線(垂直于x軸的漸近線)x0 為 f (x) 的無窮型間斷點2.垂直(鉛直)漸近線(垂直于x軸的漸近線)x0 為 f (x) 的無窮型間斷點例如是其圖象的水平漸近線.不是其圖象的垂直漸近線.例1求曲線的水平和垂直漸近線 . y = 2為水平漸近線.解 x = 1為垂直漸近線.例2求曲線的水

32、平和垂直漸近線 .想想： 怎么求 a ,b ? 斜漸近線則直線 y = a x + b就是曲線 y = f ( x )在 x 軸正（或負）方向上 的 斜漸 近線 .3.斜漸近線斜漸近線求法:y = a x + b 水平漸近線 垂直漸近線 斜漸近線y = b或或x = x0和y = a x + bx0 為 f (x) 的無窮型間斷點解例2例2(函數(shù)無窮型間斷點)曲線有斜漸近線嗎？例10解繪出此函數(shù)斜漸進線的圖形 .例10解例9解曲線有斜漸近線嗎？洛必達法則b不存在曲線沒有斜漸近線. 現(xiàn)在我們能很好地作出函數(shù)的圖形了.我還是不會求.二、函數(shù)的作圖1.函數(shù) f (x) 的作圖步驟:確定 f (x)

33、的定義域, 討論奇偶性、周期性;求 f (x), f (x) 及其零點和不存在的點;分區(qū)間討論根據(jù) f (x) 和 f (x) 的符號, 確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸性和拐點;2.3.4.討論漸近線;5.適當求些特殊點的坐標(與坐標軸的交點等), 來輔助作圖.例4解非奇非偶函數(shù).列表不存在拐點極小值點間斷點 C(-1, -2)，E(2, 1) ，D(1, 6)，作出函數(shù)的圖形.xO yF(3, -2/9) .B(-2, -3)，D曲線有水平漸近線 y = -2和垂直漸近線 x = 0。ABCDEF不存在拐點極小值點間斷點描點:A(-3, -26/9)，例3解偶函數(shù), 圖形關于y軸對稱.拐點極大值拐點例3 根據(jù)導函數(shù)的圖形可知，一階導數(shù)為