《中心投影與平行投影》教學(xué)設(shè)計

1、PAGE27中心投影與平行投影教學(xué)設(shè)計（名師：鄒發(fā)明）一、教學(xué)目標（一）核心素養(yǎng)通過觀察幾何體結(jié)構(gòu)特征，掌握棱柱、棱錐、圓柱、圓錐、棱臺、圓臺、球的三視圖，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會觀察、分析、推理、論證的思維方法，培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,感受數(shù)學(xué)就在身邊，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)立體幾何的興趣，培養(yǎng)學(xué)生大膽創(chuàng)新、勇于探索、互相合作的精神，并形成良好的思維習(xí)慣。（二）學(xué)習(xí)目標1了解中心投影和平行投影的概念，理解并掌握三視圖的投影規(guī)律2能畫出簡單空間圖形（如長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合）的三視圖3能根據(jù)三視圖，運用空間想象能力，識別并說出它所表示的空間圖形（三）學(xué)習(xí)重點1中心投影、平行

2、投影、斜投影、正投影的概念、三視圖畫法規(guī)則2畫出簡單組合體的三視圖，掌握好作圖規(guī)則，初步培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力和空間想象能力，進行空間幾何體與其三視圖的相互轉(zhuǎn)化；（四）學(xué)習(xí)難點1畫出空間幾何體的三視圖及掌握幾何體的三視圖的性質(zhì)二、教學(xué)設(shè)計（一）課前設(shè)計1預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第11頁至第14頁，填空知識點一投影的概念及分類1投影的定義由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影面2投影的分類3當圖形中的直線或線段不平行于投影線時，平行投影都具有下述性質(zhì)：直線或線段的平行投影仍是直線或線段；平行直線

3、的平行投影是平行或重合的直線；平行于投影面的線段，它的投影與這條線段平行且等長；與投影面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等；在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比4中心投影的優(yōu)缺點：它能非常逼真的反映原來的物體，主要應(yīng)用于繪畫領(lǐng)域，也常用來概括的描繪一個結(jié)構(gòu)或一個產(chǎn)品的外貌。由于投影中心，投影面和物體的相對位置改變時，直觀圖的大小和形狀亦將改變，因此在另外的一些領(lǐng)域，比如工程制圖或技術(shù)圖樣，一般不采用中心投影。知識點二三視圖的概念及特征1定義：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的正視圖；光線從幾何體的左面向右面正投影，得到投影圖，這種投

4、影圖叫做幾何體的側(cè)視圖；光線從幾何體的上面向下面正投影，得到投影圖，這種投影圖叫做幾何體的俯視圖幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖2基本特征：一個幾何體的側(cè)視圖和正視圖高度一樣，俯視圖與正視圖長度一樣，側(cè)視圖與俯視圖寬度一樣3通過分析主、俯、左三個視圖反映的尺寸，歸納出三視圖投影規(guī)律口訣：長對正，高平齊，寬相等思考：畫三視圖時一定要求光線與投影面垂直嗎答:是由畫三視圖的規(guī)則要求可知光線與投影面垂直2預(yù)習(xí)自測（1）已知ABC，若選定的投影面與ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得三角形與ABCA全等B相似C不相似D以上都不對【答案】B【知識點】中心投影的概念和性質(zhì)【解題過程】如

5、圖示，因為是投影得到，所以與所在的平面平行，所以，所以故選B【思路點撥】本題是一道關(guān)于中心投影的題目，解答本題的關(guān)鍵熟練掌握中心投影的概念和性質(zhì)；由于選定的投影面與ABC所在平面平行，所以，據(jù)此選出正確答案（2）下列命題正確的是A矩形的平行投影一定是矩形B梯形的平行投影一定是梯形C兩條相交直線的投影可能平行D一條線段中點的平行投影仍是這條線段投影的中點【答案】D【知識點】投影的概念及性質(zhì)【解題過程】矩形的平行投影可以是線段、矩形或平行四邊形，A錯梯形的平行投影是梯形或線段，B不對；平行投影把平行直線投射成平行直線或一條直線，把相交直線投射成相交直線或一條直線，把線段中點投射成投影的中點，C錯，

6、【思路點撥】利用平行投影的定義，確定圖形平行投影的結(jié)論，即可得出結(jié)論（3）一個幾何體的某一方向的視圖是圓，則它不可能是長方體【答案】D【知識點】簡單空間圖形的三視圖【解題過程】對于選項A，球的三個視圖都是圓，故此幾何體可以是球，A不是正確選項；對于選項B，圓柱的俯視圖是圓，故B不是正確選項；對于選項C，圓錐的俯視圖是圓，故C不是正確選項；對于選項D，長方體的三個視圖都是矩形，其俯視圖不可能是圓，【思路點撥】由三視圖的定義對四個選項依次驗證，檢驗其是否符合題目要求，即可選取正確選項（4）根據(jù)下列三視圖，說出立體圖形的形狀?！敬鸢浮浚?）圓臺；（2）正四棱錐；（3）螺帽【知識點】簡單空間圖形的三視

7、圖【解題過程】（1）中三視圖可知，上下底面為圓且平行，俯視圖是一同心圓，正視圖與側(cè)視圖為梯形，則（1）為圓臺；（2）中俯視圖為正方形，且對角線為實線，正視圖與側(cè)視圖為三角形，那么（2）為正四棱錐；（3）中俯視圖為正六邊形，由側(cè)視圖與正視圖中的實線和虛線的位置關(guān)系，可判斷其為螺帽【思路點撥】由三視圖想象出立體圖二課堂設(shè)計1知識回顧用自己語言描述投影的概念；回顧初中學(xué)習(xí)三視圖的定義問題探究探究一認識中心投影與平行投影1物體在燈光或日光的照射下，就會在墻壁或地面上產(chǎn)生影子如圖，老師介紹中國的民間藝術(shù)皮影戲，提升學(xué)生的藝術(shù)情感。你能說出物體在燈光或日光的照射下，產(chǎn)生影子有什么不同嗎？2請同學(xué)們觀察圖2

8、的投影過程，它們的投影過程有什么不同？圖2圖2（2）（3）都是平行投影，它們有什么區(qū)別觀察圖3，與投影面平行的平面圖形，分別在平行投影和中心投影下的影子和原圖形的形狀、大小有什么區(qū)別？圖3活動：從投影的形成過程來定義從投影方向上來區(qū)別這三種投影根據(jù)投影線與投影面是否垂直來區(qū)別觀察圖3并歸納總結(jié)它們各自的特點討論結(jié)果：這種現(xiàn)象我們把它稱為是投影由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投影其中，我們把光線叫做投影線，把留下物體影子的屏幕叫做投影幕圖2（1）的投影線交于一點，我們把光由一點向外散射形成的投影稱為中心投影；圖2（2）和（3）的投影線平行，我們把在一束平

9、行光線照射下形成投影稱為平行投影圖2（2）中，投影線正對著投影面，這種平行投影稱為正投影；圖2（3）中，投影線不是正對著投影面，這種平行投影稱為斜投影在平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是全等的平面圖形；在中心投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子和原平面圖形是相似的平面圖形通過對比，我們總結(jié)中心投影與平行投影的定義，歸納出兩種投影的區(qū)別【設(shè)計意圖】對比中心投影與平行投影培養(yǎng)對知識的歸納整理能力探究二認識三視圖并總結(jié)三視圖的相關(guān)特征請同學(xué)們回憶一下初中三視圖的定義答：把從幾何體前面、側(cè)面、上面看到的圖形分別叫做幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖這是直觀定義，它的數(shù)字特征又是

10、什么以長方體為例，借助與學(xué)習(xí)的正投影來觀察一下問題：在三視圖中標出長方體的長、寬、高。觀察圖形總結(jié)三視圖間的內(nèi)在聯(lián)系，總結(jié)作圖規(guī)則：投影規(guī)則：（1）正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度（2）一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖高度一樣，正視圖和俯視圖長度一樣，側(cè)視圖和俯視圖寬度一樣，即正、俯視圖長對正；主、側(cè)視圖高平齊；俯、側(cè)視圖寬相等（3）強調(diào)擺放順序：側(cè)視圖放在正視圖的右邊，俯視圖放在正視圖的下邊【設(shè)計意圖】通過實物觀察，直覺感知，易于接受，形象生

11、動地刻畫了三視圖的形成，避免學(xué)生抽象地去想象通過學(xué)生自己思考操作來尋求三視圖中的量的關(guān)系，真正實踐發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)理念引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)三視圖的內(nèi)在規(guī)律這是本節(jié)課教學(xué)活動的關(guān)鍵點!活動回顧舊知，理解提升畫出下列簡單幾何體的三視圖球圓柱圓錐歸納并完成常見幾何體的三視圖常見幾何體正視圖側(cè)視圖俯視圖長方體矩形矩形矩形正方體正方形正方形正方形圓柱矩形矩形圓圓錐等腰三角形等腰三角形圓點圓臺等腰梯形等腰梯形同心圓球圓圓圓【設(shè)計意圖】通過學(xué)生自己動手，熟悉常見幾何體的三視圖，并對三視圖的規(guī)則：長對正高平齊；寬相等進一步掌握活動動手實踐、合作交流問題：下列三視圖對應(yīng)的是哪個幾何體？12答：（1）是圓柱，（2）是圓錐（2）下

12、列三視圖表示的是哪個幾何體？ACBACBD通過此題，強調(diào)在三視圖中，分界線和可見輪廓線都用實線畫出，不可見輪廓線，用虛線畫出【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生逆向思維的能力，進一步熟悉常見幾何體的三視圖活動鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1下列說法中：平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線還是直線，但平行線可能變成了相交的直線；兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線其中正確的個數(shù)為【知識點】平行投影和中心投影的定義和性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由平行投影和中心投影的定義可知正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個點，如當投影中心在直線上時，投影為點；平行線

13、有可能變成相交線，如照片中由近到遠物體之間的距離越來越近，最后相交于一點，不正確；兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線，不正確【思路點撥】準確理解平行投影和中心投影定義，結(jié)合生活中的實例加以解決【答案】B同類訓(xùn)練判斷正確的打“”，錯誤的打“”1矩形的平行投影一定是矩形2平行四邊形的平行投影可能是正方形3兩條相交直線的平行投影可能平行4如果一個三角形的投影仍是三角形，那么它的中位線的平行投影，一定是這個三角形的平行投影的中位線【知識點】平行投影的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】利用平行投影的概念和性質(zhì)進行判斷【思路點撥】準確平行投影性質(zhì)【答案】1234例2如圖點E，F(xiàn)分別是正方體的面和面的

14、中心，則四邊形在該正方體的面上的正投影可能是圖中的_要求把可能的序號都填上【知識點】正投影的概念【數(shù)學(xué)思想】由一般到特殊【解題過程】利用點B、F、，E在正方體各面上的正投影的位置來判斷其中2可以是四邊形在正方體的面ABCD或在面上的投影3可以是四邊形在正方體的面上的投影【思路點撥】1畫一個圖形在一個投影面上的投影的關(guān)鍵是確定該圖形的關(guān)鍵點如頂點，端點等及這些關(guān)鍵點的投影，再依次連接就可得到圖形在投影面上的投影投影問題與垂直關(guān)系緊密聯(lián)系，投影圖形的形狀與投影線和投射圖形有關(guān)系，在解決有些投影問題時，常借助于正方體模型尋求解題方法【答案】23同類訓(xùn)練1如圖，在正方體ABCDABCD中，E、F分別是

15、AA、CC的中點，則下列判斷正確的是_四邊形BFDE在底面ABCD內(nèi)的投影是正方形；四邊形BFDE在面ADDA內(nèi)的投影是菱形；四邊形BFDE在面ADDA內(nèi)的投影與在面ABBA內(nèi)的投影是全等的平行四邊形【知識點】正投影的概念【數(shù)學(xué)思想】由一般到特殊【解題過程】四邊形BFDE的四個頂點在底面ABCD內(nèi)的投影分別是點B、C、D、A，故投影是正方形，正確；設(shè)正方體的邊長為2，則AE1，取DD的中點G，則四邊形BFDE在面ADDA內(nèi)的投影是四邊形AGDE，由AEDG，且AEDG，四邊形AGDE是平行四邊形但AE1，DEeqr5，故四邊形AGDE不是菱形；對于，由知是兩個邊長分別相等的平行四邊形，從而正確

16、【思路點撥】投影的關(guān)鍵是圖形的關(guān)鍵點如頂點，端點等及這些關(guān)鍵點的投影，再依次連接就可得到圖形在投影面上的投影即可【答案】活動強化提升、靈活應(yīng)用例3如圖是按不同方式放置的同一個圓柱，陰影面為正面，畫出其三視圖【知識點】三視圖的作法【數(shù)學(xué)思想】由一般到特殊，多角度看待問題【解題過程】【思路點撥】1務(wù)必做到“長對正，高平齊，寬相等”2三視圖的排列方法是正視圖與側(cè)視圖在同一水平位置，且正視圖在左，側(cè)視圖在右，俯視圖在正視圖的正下方3畫完三視圖草圖后，要再對照實物圖來驗證其正確性4在三視圖中，要注意同一個幾何題位置不同所得三視圖是不一樣的【答案】三視圖分別如圖所示同類訓(xùn)練1下列幾何體各自的三視圖中，有且

17、僅有兩個視圖相同的是（）ABCD【知識點】常見幾何體的三視圖【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】正方體的三視圖都是正方形，所以不符合題意，排除A、B、C【思路點撥】常見幾何體的三視圖熟練掌握【答案】D3課堂總結(jié)知識梳理（1）中心投影：光由一點向外散射形成的投影。其投影的大小隨物體與投影中心間距離的變化而變化，所以其投影不能反映物體的實形（2）平行投影：在一束平行光線照射下形成的投影，分正投影、斜投影（3）正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）側(cè)視圖（從左向右）俯視圖（從上到下）重難點歸納（1）中心投影和平行投影的性質(zhì)（2）三視圖的作法規(guī)律（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1一條直線在平面上的正投影是A直線B點

18、C線段D直線或點【知識點】正投影的定義【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】當直線與平面垂直時，其正投影為點，其他位置時其正投影均為直線【思路點撥】直線的不同位置影響投影【答案】D2若一個幾何體的正視圖和側(cè)視圖都是等腰三角形，俯視圖是帶圓心的圓，則這個幾何體可能是球體【知識點】常見幾何體的三視圖【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】由圓錐的三視圖可知這個幾何體可能是圓錐【思路點撥】熟悉常見幾何體的性質(zhì)【答案】C3一物體及其正視圖如圖：則它的側(cè)視圖與俯視圖分別是圖形中的_【知識點】三視圖的作法【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】側(cè)視圖是矩形中間有條實線，應(yīng)選；俯視圖為矩形中間有兩條實線，且為上下方向，應(yīng)選【思路點撥】分別從左面看，從上

19、面看得到圖形即可【答案】4圖和圖為兩個幾何體的三視圖，根據(jù)三視圖可以判斷這兩個幾何體分別為_、_【知識點】常見幾何體的三視圖【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】根據(jù)三視圖的形狀聯(lián)想幾何體的結(jié)構(gòu)【思路點撥】熟悉常見幾何體的性質(zhì)【答案】圓臺四棱錐5將長方體截去一個四棱錐，得到的幾何體如圖所示，則該幾何體的側(cè)視圖為【知識點】三視圖的作法【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】圖從左往右看，主體的輪廓是一個長方形，長方體的對角線可以看見，且該對角線是從左下角往右上角傾斜的【思路點撥】熟悉常見幾何體的性質(zhì)【答案】D6如圖所示的長方體和圓柱的三視圖是否正確？【知識點】三視圖的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】畫一個物體的三視圖，不僅要確定

20、其形狀，而且要確定線段的長短關(guān)系長方體和圓柱的正確三視圖如圖所示：【思路點撥】長對正，高平齊，寬相等【答案】均不正確能力型師生共研7兩條相交直線的平行投影是（）一條直線兩條相交直線或一條直線【知識點】平行投影的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】借助于長方體模型來判斷，如圖所示，在長方體中，相交直線和在面ABCD上的平行投影是兩條相交直線CD和BD【思路點撥】借助于長方體使抽象問題形象化【答案】D8一個長方體去掉一個小長方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為【知識點】三視圖的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】【解題過程】正視圖中小長方形在左上方，對應(yīng)俯視圖應(yīng)該在左側(cè)，排除B、D，側(cè)視圖中小長

21、方形在右上方，排除A，故選C【思路點撥】長對正，高平齊，寬相等【答案】C探究型多維突破9一幾何體的直觀圖如圖所示，下列給出的四個俯視圖中正確的是【知識點】三視圖的性質(zhì)【數(shù)學(xué)思想】數(shù)形結(jié)合【解題過程】幾何體俯視圖的輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C，D不正確；幾何體的最上面的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確【思路點撥】由一般到特殊【答案】B10用數(shù)個小正方體組成一個幾何體，使它的正視圖和俯視圖如圖所示，俯視圖中小正方形中的字母表示在該位置的小立方體的個數(shù)1你能確定哪些字母表示的數(shù)2該幾何體可能有多少種不同的形狀？【知識點】正方體的三視圖【數(shù)學(xué)思想】構(gòu)造【解題過程】1面對數(shù)個小立方體

22、組成的幾何體，根據(jù)正視圖與俯視圖的觀察我們可以得出下列結(jié)論：a=3,b=1,c=1;d,e,f中的最大值為2所以上述字母中我們可以確定的是a=3,b=1,c=12當d,e,f中有一個是2時，有3種不同的形狀；當d,e,f有兩個是2時，有3種不同的形狀；當d,e,f都是2時，有一種形狀所以該幾何體可能有7種不同的形狀【思路點撥】解決本題的關(guān)鍵在于觀察正視圖、俯視圖，利用三視圖規(guī)則中的“在三視圖中，每個視圖都反映物體兩個方向的尺寸正視圖反映物體的上下和左右尺寸，俯視圖反映物體的前后和左右尺寸，側(cè)視圖反映物體的前后和上下尺寸”又“正視圖與俯視圖長對正,正視圖與側(cè)視圖高平齊,俯視圖與側(cè)視圖寬相等”,所以，我們可以得到a=3,b=1,c=1