已知三角函數(shù)值求角學(xué)案-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版（2019）必修第三冊

1、 6/6已知三角函數(shù)值求角學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1掌握已知三角函數(shù)值求角的方法，會由已知的三角函數(shù)值求角，并會用符號arcsin x，arccos x，arctan x表示角。（難點(diǎn)）2熟記一些比較常見的三角函數(shù)值及其在區(qū)間2，2上對應(yīng)的角。（重點(diǎn)）通過已知三角函數(shù)值求角的學(xué)習(xí)，提升學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)?！緦W(xué)習(xí)過程】一、初試身手1下列說法中錯(cuò)誤的是（ ）。Aarcsineq blc(rc)(avs4alco1(f(r(2),2)eq f(,4)Barcsin 00Carcsin（1）eq f(3,2)Darcsin 1eq f(,2)2已知是三角形的內(nèi)角，且sin eq f(r(3),2

2、)，則（ ）。Aeq f(,6)Beq f(,3)Ceq f(,6)或eq f(5,6)Deq f(,3)或eq f(2,3)3已知tan 2xeq f(r(3),3)且x0，則x_。二、合作探究類型一：已知正弦值求角【例1】已知sin xeq f(r(3),2)。（1）當(dāng)xeq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)時(shí)，求x的取值集合；（2）當(dāng)x0，2時(shí)，求x的取值集合；（3）當(dāng)x R時(shí)，求x的取值集合。思路探究嘗試借助正弦曲線及所給角的范圍求解。類型二：已知余弦值求角【例2】已知cos xeq f(1,3)，（1）當(dāng)x0，時(shí)，求值x；（2）當(dāng)x R時(shí)，求x的取值集合。思路探

3、究解答本題可先求出定義arccos a的范圍的角x，然后再根據(jù)題目要求，利用誘導(dǎo)公式求出相應(yīng)的角x的集合。類型三：已知正切值求角【例3】已知tan 3（1）若eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，求角；（2）若R，求角。思路探究嘗試由arctan 的范圍及給值求角的步驟求解。三、學(xué)習(xí)小結(jié)1已知正弦值，求角對于正弦函數(shù)ysin x，如果已知函數(shù)值y（y1，1），那么在eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上有唯一的x值和它對應(yīng)，記為xarcsin_yeq blc(rc)(avs4alco1(其中1y1，f(,2)xf(,2)。2已知余弦值，求角對

4、于余弦函數(shù)ycos x，如果已知函數(shù)值y（y1，1），那么在0，上有唯一的x值和它對應(yīng)，記為xarccos_y（其中1y1，0 x）。3已知正切值，求角一般地，如果ytan x（y R）且xeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)，那么對每一個(gè)正切值y，在開區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)內(nèi)，有且只有一個(gè)角x，使tan xy，記為xarctan_yeq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)xf(,2)。四、精煉反饋1已知cos xeq f(r(2),2)，x2，則x（ ）。Aeq f(3,2)Beq f(5,4)Ceq f(

5、4,3)Deq f(7,4)2函數(shù)yeq r(32x)arccos（2x3）的定義域是_。3等腰三角形的一個(gè)底角為，且sin eq f(3,5)，用含符號arcsin x的關(guān)系式表示頂角_。4求值：eq f(arcsin f(r(3),2)arccosblc(rc)(avs4alco1(f(1,2),arctanr(3)。答案解析一、初試身手1【答案】C【解析】根據(jù)已知正弦值求角的定義知arcsin（1）eq f(,2)，故C項(xiàng)錯(cuò)誤。2【答案】D因?yàn)槭侨切蔚膬?nèi)角，所以（0，），當(dāng)sin eq f(r(3),2)時(shí)，eq f(,3)或eq f(2,3)，故選D。3【答案】eq f(5,12)或

6、eq f(11,12)【解析】x0，2x0，2。tan 2xeq f(r(3),3)，2xeq f(5,6)或2xeq f(11,6)，xeq f(5,12)或eq f(11,12)。二、合作探究例1【答案】（1）ysin x在eq blcrc(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上是增函數(shù)，且sin eq f(,3)eq f(r(3),2)，xeq f(,3)，eq blcrc(avs4alco1(f(,3)是所求集合。（2）sin xeq f(r(3),2)0，x為第一或第二象限的角，且sin eq f(,3)sineq blc(rc)(avs4alco1(f(,3)eq f(r(3

7、),2)，在0，2上符合條件的角有xeq f(,3)或xeq f(2,3)，x的取值集合為eq blcrc(avs4alco1(f(,3)，f(2,3)。（3）當(dāng)x R時(shí)，x的取值集合為eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x2kf(,3)，或x2kf(2,3)，kZ)。例2【解】（1）cos xeq f(1,3)且x0，xarccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)。（2）當(dāng)x R時(shí)，先求出x在0，2上的解。cos xeq f(1,3)，故x是第二或第三象限角。由（1）知xarccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(1

8、,3)是第二象限角，又coseq blcrc(avs4alco1(2arccosblc(rc)(avs4alco1(f(1,3)coseq blcrc(avs4alco1(arccosblc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq f(1,3)，且2arccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(，f(3,2)，所以，由余弦函數(shù)的周期性知，當(dāng)xarccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2k或x2arccoseq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)2k（k Z）時(shí)，cos xeq f(1,3)，即

9、所求x值的集合是eq blcrc(avs4alco1(xblc|rc (avs4alco1(x2karccosblc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，kZ)。例3【解】（1）由正切函數(shù)在開區(qū)間eq blc(rc)(avs4alco1(f(,2)，f(,2)上是增函數(shù)可知，符合條件tan 3的角只有一個(gè)，即arctan（3）。（2）karctan（3）（k Z）。四、精煉反饋1【答案】B【解析】因?yàn)閤（，2）且cos xeq f(r(2),2)，xeq f(5,4)。2【答案】eq blcrc(avs4alco1(1，f(3,2)【解析】由題意可得eq blcrc (avs4alco1(32x0,12x31)，解得1xeq f(3,2)，所以函數(shù)的定義域?yàn)閑q blcrc(avs4alco1(1，f(3,2)。3【答案】2arcsineq f(3,5)【解析】由題意，eq blc(rc)(avs4alco1(0，f(,2)，又sin eq f(3,5)，所以eq f(,6)eq f(,4)，eq f(,3)2eq f(,2)，eq f(,2)2eq