2022高考數(shù)學(xué)（理）一輪通用版講義：2.8函數(shù)與方程

1、PAGE24第八節(jié)函數(shù)與方程1函數(shù)零點的概念對于函數(shù)yf，D，我們把使f0的實數(shù)叫做函數(shù)yf，D的零點2函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系函數(shù)yf的零點就是方程f0的實數(shù)根也就是函數(shù)yf的圖象與軸的橫坐標，所以方程f0有實根函數(shù)yf的圖象與軸有交點函數(shù)f有零點3零點存在性定理4二次函數(shù)圖象與零點的關(guān)系b24ac000二次函數(shù)ya2bca0的圖象與軸的交點1,0，2,01,0無零點個數(shù)2101函數(shù)的零點是實數(shù)，而不是點，是方程f0的實根2零點一定在定義域內(nèi)由函數(shù)yf在閉區(qū)間a，b上有零點不一定能推出fafb0，如下圖所示所以fafb0是yf在閉區(qū)間a，b上有零點的充分不必要條件事實上，只有當函數(shù)圖象通過零

2、點不是偶次零點時，函數(shù)值才變號，即相鄰兩個零點之間的函數(shù)值同號零點存在性定理只能判斷零點存在，不能確定零點的個數(shù)若函數(shù)在某區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則該函數(shù)在該區(qū)間上至多有一個零點判斷二次函數(shù)f的零點個數(shù)就是判斷一元二次方程a2bc0的實根個數(shù)，一般由判別式0，0，0完成熟記常用結(jié)論1若函數(shù)f在a，b上單調(diào)，且f的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，則fafb0函數(shù)f在a，b上只有一個零點2連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時，函數(shù)值可能變號，也可能不變號3周期函數(shù)如果存在零點，則必有無窮個零點小題查驗基礎(chǔ)一、判斷題對的打“”，錯的打“”1函數(shù)的零點就是函數(shù)的圖象與軸的交點2函數(shù)yf在區(qū)間a，b內(nèi)有零點函數(shù)圖象連續(xù)不斷

3、，則fafb03二次函數(shù)ya2bca0在b24ac0時沒有零點答案：123二、選填題1已知函數(shù)yf的圖象是連續(xù)曲線，且有如下的對應(yīng)值表：123456y3574則函數(shù)yf在區(qū)間1,6上的零點至少有A2個B3個C4個D5個解析：選B由零點存在性定理及題中的對應(yīng)值表可知，函數(shù)f在區(qū)間2,3，3,4，4,5內(nèi)均有零點，所以yf在1,6上至少有3個零點故選B2函數(shù)flneqf2,的零點所在的大致范圍是A1,2B2,3blcrcavs4alco1f1,e，1和3,4D4，解析：選B易知f為增函數(shù)，由f2ln210，f3ln3eqf2,30，得f2f33函數(shù)fe3的零點個數(shù)為A0B1C2D3解析：選B函數(shù)f

4、e3在R上是增函數(shù)，f1eqf1,e30，f010，f1f00，函數(shù)f有唯一零點，且在1,0內(nèi)，故選B4函數(shù)f22232的零點為_答案：eqr2，eqr2，1,2考點一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷基礎(chǔ)自學(xué)過關(guān)題組練透12022鄭州名校聯(lián)考已知實數(shù)a，b滿足2a3,3b2，則函數(shù)fab的零點所在的區(qū)間是A2，1B1,0C0,1D1,2解析：選B2a3,3b2，a1,0b1，又fab是單調(diào)遞增函數(shù)，f1eqf1,a1b0，f01b0，f在區(qū)間1,0上存在零點故選B2若0是方程eqblcrcavs4alco1f1,2的解，則0屬于區(qū)間blcrcavs4alco1f2,3，1blcrcavs4alco1f1

5、,2，f2,3blcrcavs4alco1f1,3，f1,2blcrcavs4alco10，f1,3解析：選C令geqblcrcavs4alco1f1,2，feqf1,3，則g01f00，geqblcrcavs4alco1f1,2eqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,2eqblcrcavs4alco1f1,2，geqblcrcavs4alco1f1,3eqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,3eqblcrcavs4alco1f1,3，結(jié)合圖象可得eqf1,30eqf1,232022河北武邑中學(xué)調(diào)研函數(shù)f37ln的

6、零點位于區(qū)間n，n1nN內(nèi)，則n_解析：因為f在0，上單調(diào)遞增，且f21ln20，f32ln30，所以函數(shù)f的零點位于區(qū)間2,3內(nèi)，故n2答案：2名師微點確定函數(shù)f的零點所在區(qū)間的常用方法1利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)yf在區(qū)間a，b上的圖象是否連續(xù)，再看是否有fafb0若有，則函數(shù)yf在區(qū)間a，b內(nèi)必有零點2數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象與軸在給定區(qū)間上是否有交點來判斷eqavs4al口訣記憶,端點函數(shù)符號反，,區(qū)間a，b有零點考點二判斷函數(shù)零點個數(shù)師生共研過關(guān)典例精析已知函數(shù)feqblcrcavs4alco12|，2，,22，2，函數(shù)g3f2，則函數(shù)yfg的零點個數(shù)為A2B3

7、C4D5解析由已知條件可得g3f2eqblcrcavs4alco1|2|1，0，,32，0函數(shù)yfg的零點個數(shù)即為函數(shù)yf與yg圖象的交點個數(shù)，在平面直角坐標系內(nèi)作出函數(shù)yf與yg的圖象如圖所示由圖可知函數(shù)yf與yg的圖象有2個交點，所以函數(shù)yfg的零點個數(shù)為2，選A答案A解題技法函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法1直接求零點，令f0，有幾個解就有幾個零點；2零點存在性定理，要求函數(shù)f在區(qū)間a，b上是連續(xù)不斷的曲線，且fafb0，再結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)確定函數(shù)零點個數(shù)；3利用圖象交點個數(shù)，作出兩函數(shù)圖象，觀察其交點個數(shù)即得零點個數(shù)過關(guān)訓(xùn)練12022鄭州質(zhì)檢已知函數(shù)feqblcrcavs4alco1f1,2

8、cos，則f在0,2上的零點個數(shù)為_解析：如圖，作出geqblcrcavs4alco1f1,2與hcos的圖象，可知其在0,2上的交點個數(shù)為3，所以函數(shù)f在0,2上的零點個數(shù)為3答案：32函數(shù)feqblcrcavs4alco1e2，0，,22，0的零點個數(shù)是_解析：當0時，令f0，即220，解得2或0舍去，所以當0時，只有一個零點；當0時，fe2，而fe1，顯然f0，所以f在0，上單調(diào)遞增，又f0e00210，f2e240，所以當0時，函數(shù)f有且只有一個零點綜上，函數(shù)f只有2個零點答案：232022全國卷函數(shù)fcoseqblcrcavs4alco13f,6在0，的零點個數(shù)為_解析：由題意可知，

9、當3eqf,6eqf,2Z時，f00，3eqf,6eqblcrcavs4alco1f,6，f19,6，當3eqf,6取值為eqf,2，eqf3,2，eqf5,2時，f0，即函數(shù)fcoseqblcrcavs4alco13f,6在0，的零點個數(shù)為3答案：3考點三函數(shù)零點的應(yīng)用全析考法過關(guān)考法全析考法一根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)或存在情況求參數(shù)范圍例112022鄭州模擬已知函數(shù)feqblcrcavs4alco1ea，0，,2a，0aR，若函數(shù)f在R上有兩個零點，則實數(shù)a的取值范圍是A0,1B1，C0,1D，122022全國卷已知函數(shù)feqblcrcavs4alco1e，0，,ln，0，gf存在2個零點，則a的

10、取值范圍是A1,0B0，C1，D1，解析1畫出函數(shù)f的大致圖象如圖所示因為函數(shù)f在R上有兩個零點，所以f在，0和0，上各有一個零點當0時，f有一個零點，需0a1；當0時，f有一個零點，需a0，即a0綜上，0a1，故選A2令ha，則gfh在同一坐標系中畫出yf，yh的示意圖，如圖所示若g存在2個零點，則yf的圖象與yh的圖象有2個交點，平移yh的圖象，可知當直線ya過點0,1時，有2個交點，此時10a，aa在y1上方，即a1時，僅有1個交點，不符合題意當ya在y1下方，即a1時，有2個交點，符合題意綜上，a的取值范圍為1，故選C答案1A2C考法二根據(jù)函數(shù)零點的范圍求參數(shù)范圍例2若函數(shù)fm22m2

11、m1的兩個零點分別在區(qū)間1,0和區(qū)間1,2內(nèi)，則m的取值范圍是_解析依題意，結(jié)合函數(shù)f的圖象分析可知m需滿足eqblcrcavs4alco1m2，,f1f00，,f1f20，即eqblcrcavs4alco1m2，,m2m2m12m10，,m2m2m14m22m2m10，解得eqf1,4meqf1,2答案eqblcrcavs4alco1f1,4，f1,2考法三求函數(shù)多個零點方程根的和例32022石家莊質(zhì)量檢測已知M是函數(shù)f|23|8sinR的所有零點之和，則M的值為_解析將函數(shù)f|23|8sin的零點轉(zhuǎn)化為函數(shù)h|23|與g8sin圖象交點的橫坐標在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)h與g的圖象，

12、如圖，因為函數(shù)h與g的圖象都關(guān)于直線eqf3,2對稱，兩個函數(shù)的圖象共有8個交點，所以函數(shù)f的所有零點之和M8eqf3,212答案12規(guī)律探求看個性考法一是根據(jù)函數(shù)零點的個數(shù)及零點存在情況求參數(shù)范圍，解決此類問題通常先對解析式變形，然后在同一坐標系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合求解考法二是根據(jù)函數(shù)零點所在區(qū)間求參數(shù)，解決此類問題應(yīng)先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用零點存在性定理，建立參數(shù)所滿足的不等式，解不等式，即得參數(shù)的取值范圍考法三是求函數(shù)零點的和，求函數(shù)的多個零點或方程的根以及直線ym與函數(shù)圖象的多個交點橫坐標的和時，應(yīng)考慮函數(shù)的性質(zhì)，尤其是對稱性特征這里的對稱性主要包括函數(shù)本身關(guān)于點的對稱，直線的

13、對稱等找共性根據(jù)函數(shù)零點求參數(shù)范圍的一般步驟為：1轉(zhuǎn)化：把已知函數(shù)零點的存在情況轉(zhuǎn)化為方程的解或兩函數(shù)圖象的交點的情況2列式：根據(jù)零點存在性定理或結(jié)合函數(shù)圖象列式3結(jié)論：求出參數(shù)的取值范圍或根據(jù)圖象得出參數(shù)的取值范圍過關(guān)訓(xùn)練1函數(shù)f2a1在區(qū)間eqblcrcavs4alco1f1,2，3上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是A2，B2，blcrcavs4alco12，f5,2blcrcavs4alco12，f10,3解析：選D由題意知方程a21在eqblcrcavs4alco1f1,2，3上有解，即aeqf1,在eqblcrcavs4alco1f1,2，3上有解，設(shè)teqf1,，eqblcrcavs4

14、alco1f1,2，3，則t的取值范圍是eqblcrcavs4alco12，f10,3，實數(shù)a的取值范圍是eqblcrcavs4alco12，f10,32設(shè)函數(shù)feqblcrcavs4alco1，01，,f1,11，10，gf4mm，其中m在區(qū)間1,1上有且僅有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是A1eqblcrcavs4alco1f1,4，blcrcavs4alco1f1,4，C1eqblcrcavs4alco1f1,5，blcrcavs4alco1f1,5，解析：選C作出函數(shù)yf的大致圖象，如圖所示函數(shù)g的零點個數(shù)函數(shù)yf的圖象與直線y4mm的交點個數(shù)直線y4mm過點eqblcrcavs4alc

15、o1f1,4，0，當直線y4mm過點1,1時，meqf1,5；當直線y4mm與曲線yeqf1,1110相切時，設(shè)切點為eqblcrcavs4alco10，f1,011，由yeqf1,12得切線的斜率為eqf1,012，則eqf1,012eqff1,0110,0f1,4，解得0eqf1,2，所以4meqf1,blcrcavs4alco1f1,2124，得meqf1,5或m1時，函數(shù)g在區(qū)間1,1上有且僅有一個零點eqavs4al課時跟蹤檢測一、題點全面練1設(shè)f是區(qū)間1,1上的增函數(shù)，且feqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,20，則方程f0在區(qū)間1,1內(nèi)

16、A可能有3個實數(shù)根B可能有2個實數(shù)根C有唯一的實數(shù)根D沒有實數(shù)根解析：選Cf在區(qū)間1,1上是增函數(shù)，且feqblcrcavs4alco1f1,2feqblcrcavs4alco1f1,20，f在區(qū)間eqblcrcavs4alco1f1,2，f1,2上有唯一的零點方程f0在區(qū)間1,1內(nèi)有唯一的實數(shù)根22022濮陽一模函數(shù)fln21的零點位于區(qū)間A2,3B3,4C0,1D1,2解析：選Dfln21是增函數(shù)，且是連續(xù)函數(shù)，f1ln210，f2ln410，根據(jù)函數(shù)零點的存在性定理可得，函數(shù)f的零點位于區(qū)間1,2上32022南寧模擬設(shè)函數(shù)fln26，則f零點的個數(shù)為A3B2C1D0解析：選B令f0，則l

17、n26，令gln0，h260，在同一平面直角坐標系中畫出這兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)就等于函數(shù)f零點的個數(shù)，容易看出函數(shù)f零點的個數(shù)為2，故選B4已知函數(shù)feqblcrcavs4alco1f1,5log3，若0是函數(shù)yf的零點，且010，則f1的值A(chǔ)恒為正值B等于0C恒為負值D不大于0解析：選A因為函數(shù)feqblcrcavs4alco1f1,5log3在0，上是減函數(shù)，所以當010時，有f1f0又0是函數(shù)f的零點，因此f00，所以f10，即f1的值恒為正值，故選A52022黃山一模已知函數(shù)fe|若關(guān)于的方程f有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是A0,1B1，C1,0D，1

18、解析：選B方程f化為方程e|令ye|，y|，y|表示過點0，斜率為1或1的平行折線系，折線與曲線ye|恰好有一個公共點時，有1，如圖若關(guān)于的方程f有兩個不同的實根，則實數(shù)的取值范圍是1，6若方程ln40在區(qū)間a，ba，bZ，且ba1上有一根，則a的值為A1B2C3D4解析：選B方程ln40的根為函數(shù)fln4的零點f的定義域為0，f在定義域上單調(diào)遞增因為f2ln220，f3ln310，所以f在區(qū)間2,3有一個零點，則方程ln40在區(qū)間2,3有一根，所以a2，b72022哈爾濱檢測若函數(shù)f2ab的兩個零點是1和2，則不等式af20的解集是_解析：函數(shù)f2ab的兩個零點是1和2，即1,2是方程2ab

19、0的兩根，可得12a，12b，解得a1，b22，af20，即42220，解得1eqf1,2答案：eqblcrcavs4alco11，f1,28已知函數(shù)feqblcrcavs4alco1221，0，,2，0，geqblcrcavs4alco122，0，,f1,，0，則函數(shù)fg的所有零點之和是_解析：由f0，得2或2，由g2，得1eqr3，由g2，得eqf1,2，所以函數(shù)fg的所有零點之和是eqf1,21eqr3eqf1,2eqr3答案：eqf1,2eqr39已知yf是定義域為R的奇函數(shù)，當0，時，f221寫出函數(shù)yf的解析式；2若方程fa恰有3個不同的解，求實數(shù)a的取值范圍解：1設(shè)0，則0，所以

20、f2是奇函數(shù)，所以ff22所以feqblcrcavs4alco122，0，,22，02方程fa恰有3個不同的解，即yf與ya的圖象有3個不同的交點作出yf與ya的圖象如圖所示，故若方程fa恰有3個不同的解，只需1a1，故實數(shù)a的取值范圍為1,1102022濟南月考已知二次函數(shù)f的最小值為4，且關(guān)于的不等式f0的解集為|13，R1求函數(shù)f的解析式；2求函數(shù)geqff,4ln的零點個數(shù)解：1因為f是二次函數(shù)，且關(guān)于的不等式f0的解集為|13，R，所以fa13a22a3a，且a0所以fminf14a4，a1故函數(shù)f的解析式為f2232因為geqf223,4lneqf3,4ln20，所以g1eqf3,

21、2eqf4,eqf13,2令g0，得11，23當變化時，g，g的取值變化情況如下0,111,333，g00g極大值極小值當03時，gg140又因為g在3，上單調(diào)遞增，因而g在3，上只有1個零點故g在0，上只有1個零點二、專項培優(yōu)練一易錯專練不丟怨枉分12022德州期末設(shè)函數(shù)f是定義在R上的奇函數(shù)，當0時，fe3，則f的零點個數(shù)為A1B2C3D4解析：選C因為函數(shù)f是定義域為R的奇函數(shù)，所以f00，即0是函數(shù)f的一個零點，當0時，fe3為增函數(shù)因為f1e113e20，feqblcrcavs4alco1f1,4eeqf1,43eeqf11,40，所以當0時，f有一個零點根據(jù)對稱性知，當0時，函數(shù)f

22、也有一個零點綜上所述，f的零點的個數(shù)為322022六安模擬已知函數(shù)f2m21在區(qū)間2,2上恰有一個零點，則實數(shù)m的取值范圍是blcrcavs4alco1f1,8，0eqblcrcavs4alco10，f3,8blcrcavs4alco1f3,8，f1,8blcrcavs4alco1f3,8，f1,8blcrcavs4alco1f1,8，f3,8解析：選D當m0時，函數(shù)f1有一個零點1，滿足條件當m0時，函數(shù)f2m21在區(qū)間2,2上恰有一個零點，需滿足f2f20或eqblcrcavs4alco1f20，,2f1,4m0或eqblcrcavs4alco1f20，,0f1,4m2解得eqf1,8m0

23、或0meqf3,8；無解；解得meqf3,8綜上可知eqf1,8meqf3,8，故選D32022滄州質(zhì)檢已知定義在R上的函數(shù)f滿足：ff20；f2f；當1,1時，feqblcrcavs4alco1r12，1，0，,cosblcrcavs4alco1f,2，0，1，則函數(shù)yfeqblcrcavs4alco1f1,2|在區(qū)間3,3上的零點個數(shù)為A5B6C7D8解析：選A由ff20可得f的圖象關(guān)于點1,0對稱；由f2f可得f的圖象關(guān)于直線1對稱如圖，作出f在1,1上的圖象，再由對稱性，作出f在3,3上的圖象，作出函數(shù)yeqblcrcavs4alco1f1,2|在3,3上的圖象，由圖象觀察可得它們共有5個交點，即函數(shù)yfeqblcrcavs4alco1f1,2|在區(qū)間3,34函數(shù)feqblcrcavs4alco1f1,2|1|2cos46的所有零點之和為_解析：可轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)yeqblcrcavs4alco1f1,2|1|與y2cos在4,6上的交點的橫坐標的和，因為兩個函數(shù)均關(guān)于1對稱，所以兩個函數(shù)在1兩側(cè)的交點對稱，