上海敬業(yè)中學圓錐曲線復習資料

1、PAGE PAGE 14圓錐曲線1.圓錐曲線的定義：定義中要重視“括號”內的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F的距離的和等于常數，且此常數一定要大于，當常數等于時，軌跡是線段FF，當常數小于時，無軌跡；雙曲線中，與與兩定點點F，FF的距離離的差的的絕對值值等于常常數，且且此常數數一定要要小于|FF|，定義中中的“絕對值值”與|FFF|不可可忽視。若|FFF|，則則軌跡是是以F，F為端端點的兩兩條射線線，若|FF|，則則軌跡不不存在。若去掉定義義中的絕絕對值則則軌跡僅僅表示雙雙曲線的的一支。例1-1：方程表示示的曲線線是_（答：雙曲曲線的左左支）2.圓錐曲曲線的標標準方程程標準方程是是指中心心（

2、頂點點）在原原點，坐坐標軸為為對稱軸軸時的標標準位置置的方程程：（1）橢圓圓：焦點在軸上上時（）（參數數方程，其其中為參參數），焦點在軸上上時1（）。方程表示橢橢圓的充充要條件件是什AABC0，且且A，BB，C同同號，AAB。例2-1:已知方方程表示示橢圓，則則的取值值范圍為為_（答：）；2-2:若若，且，則則的最大大值是_，的的最小值值是_（答：）(2)雙曲曲線：焦點在軸上上： =1，焦焦點在軸軸上：1（）。方程程表示雙雙曲線的的充要條條件是AABC0，且且A，BB異號。例2-3：是雙曲線線的一條條漸近線線，且與與橢圓有有公共焦焦點，則則該雙曲曲線的方方程_（答：）；(3)拋物物線：開開口向

3、右右時，開開口向左左時，開開口向上上時，開開口向下下時。3.圓錐曲曲線焦點點位置的的判斷首先化成標標準方程程，然后后再判斷斷：（1）橢圓圓：由,分母的的大小決決定，焦焦點在分分母大的的坐標軸軸上。例3-1：已知方方程表示示焦點在在y軸上上的橢圓圓，則mm的取值值范圍是是_（答：）（2）雙曲曲線：由,項系數數的正負負決定，焦點在系數為正的坐標軸上；（3）拋物物線：焦點在在一次項項的坐標標軸上，一一次項的的符號決決定開口口方向。特別提醒：(1)在求求解橢圓圓、雙曲曲線問題題時，首首先要判判斷焦點點位置，焦焦點F，FF的位置置，是橢橢圓、雙雙曲線的的定位條條件，它它決定橢橢圓、雙雙曲線標標準方程程的

4、類型型，而方方程中的的兩個參參數，確確定橢圓圓、雙曲曲線的形形狀和大大小，是是橢圓、雙雙曲線的的定形條條件；在在求解拋拋物線問問題時，首首先要判判斷開口口方向； (2)在在橢圓中中，最大大，在在雙曲線線中，最最大，。4.圓錐曲曲線的幾幾何性質質：（1）橢圓圓（以（）為例例）：范圍：焦點：兩兩個焦點點；對稱性：兩條對對稱軸，一一個對稱稱中心（00,0），四個頂點，其中長軸長為2，短軸長為2；（2）雙曲曲線（以以（）為例例）：范圍：或或；焦點：兩兩個焦點點；對稱性：兩條對對稱軸，一一個對稱稱中心（00,0），兩個頂點，其中實軸長為2，虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時，稱為等軸雙曲線，其方

5、程可設為；= 4 * GB3兩條漸近近線：。（3）拋物物線（以以為例）：范圍：；焦點：一一個焦點點，其中的幾何何意義是是：焦點點到準線線的距離離；對稱性：一條對對稱軸，沒沒有對稱稱中心，只只有一個個頂點（00,0）；準線：一一條準線線；例4-1：設，則拋拋物線的的焦點坐坐標為_（答：）；5、點和橢橢圓（）的關關系：（1）點在在橢圓外外；（2）點在在橢圓上上1；（3）點在在橢圓內內6直線與與圓錐曲曲線的位位置關系系：（1）相交交：直線與橢圓圓相交；直線與雙曲曲線相交交，但直直線與雙雙曲線相相交不一一定有，當當直線與與雙曲線線的漸近近線平行行時，直直線與雙雙曲線相相交且只只有一個個交點，故故是直線

6、線與雙曲曲線相交交的充分分條件，但但不是必必要條件件；直線與拋物物線相交交，但直直線與拋拋物線相相交不一一定有，當當直線與與拋物線線的對稱稱軸平行行時，直直線與拋拋物線相相交且只只有一個個交點，故故也僅是是直線與與拋物線線相交的的充分條條件，但但不是必必要條件件。例6-1：若直線線y=kkx+22與雙曲曲線x22-y2=6的的右支有有兩個不不同的交交點，則則k的取取值范圍圍是_（答：(-,-11)）；6-2：直直線ykx1=00與橢圓圓恒有公公共點，則則m的取取值范圍圍是_（答：11，5）（5，+）；6-3：過過雙曲線線的右焦焦點直線線交雙曲曲線于AA、B兩兩點，若若AB4，則則這樣的的直線幾

7、幾條？（答：3）；（2）相切切：直線與橢圓圓相切；直線與雙曲曲線相切切；直線與拋物物線相切切；（3）相離離：直線與橢圓圓相離；直線與雙曲曲線相離離；直線與拋物物線相離離。例6-4：過點作直直線與拋拋物線只只有一個個公共點點，這樣樣的直線線有_（答：2）；6-5：過過點(00,2)與雙曲曲線有且且僅有一一個公共共點的直直線的斜斜率的取取值范圍圍為_（答：）；6-6：過過雙曲線線的右焦焦點作直直線交雙雙曲線于于A、BB兩點，若若4，則則滿足條條件的直直線有_條（答：3）；6-7：求求橢圓上上的點到到直線的的最短距距離（答：）；6-8：直直線與雙雙曲線交交于、兩點。當為何值值時，、分別在在雙曲線線的

8、兩支支上？當為何值值時，以以AB為為直徑的的圓過坐坐標原點點？（答：；）；6-9：拋拋物線上上的兩點點A、BB到焦點點的距離離和是55，則線線段ABB的中點點到軸的的距離為為_（答：2）；7、拋物線線中與焦焦點弦有有關的一一些幾何何圖形的的性質：（1） （22）（3） （44）8、弦長公公式若直線與圓圓錐曲線線相交于于兩點AA、B，且且分別為為A、BB的橫坐坐標，則則，若分別別為A、BB的縱坐坐標，則則，若弦弦AB所所在直線線方程設設為，則則。例8-1：過拋物物線焦點點的直線線交拋物物線于AA、B兩兩點，已已知|AB|=100，O為為坐標原原點，則則ABOO重心的的橫坐標標為_（答：3）；9、

9、圓錐曲曲線的中中點弦問問題：遇到中點弦弦問題常常用“韋達定定理”或“點差法法”求解。在橢圓中，以以為中點點的弦所所在直線線的斜率率k=；在雙曲線中中，以為為中點的的弦所在在直線的的斜率kk=；在拋物線中中，以為為中點的的弦所在在直線的的斜率kk=。例9-1：如果橢橢圓弦被被點A（44，2）平平分，那那么這條條弦所在在的直線線方程是是（答：）；9-2：試試確定mm的取值值范圍，使使得橢圓圓上有不不同的兩兩點關于于直線對對稱（答：）；特別提醒：因為是是直線與與圓錐曲曲線相交交于兩點點的必要要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗！10、你了了解下列列結論嗎嗎？（1）雙曲曲線的漸漸近線方

10、方程為；（2）以為為漸近線線（即與與雙曲線線共漸近近線）的的雙曲線線方程為為為參數數，0）。例10-11：與雙雙曲線有有共同的的漸近線線，且過過點的雙雙曲線方方程為_（答：）（3）中心心在原點點，坐標標軸為對對稱軸的的橢圓、雙雙曲線方方程可設設為；（4）若拋拋物線的的焦點弦弦為ABB，則則；（5）若OOA、OOB是過過拋物線線頂點OO的兩條條互相垂垂直的弦弦，則直直線ABB恒經過過定點。11、動點點軌跡方方程：（1）求軌軌跡方程程的步驟驟：建系系、設點點、列式式、化簡簡、確定定點的范范圍；（2）求軌軌跡方程程的常用用方法：直接法：直接利利用條件件建立之之間的關關系；例11-11：已知知動點PP

11、到定點點F(11,0)和直線線的距離離之和等等于4，求求P的軌軌跡方程程（答：或）；待定系數數法：已已知所求求曲線的的類型，求求曲線方方程先根據據條件設設出所求求曲線的的方程，再再由條件件確定其其待定系系數。例11-22：線段段AB過過x軸正正半軸上上一點MM（m，00），端端點A、BB到x軸軸距離之之積為22m，以以x軸為為對稱軸軸，過AA、O、BB三點作作拋物線線，則此此拋物線線方程為為（答：）；定義法：先根據據條件得得出動點點的軌跡跡是某種種已知曲曲線，再再由曲線線的定義義直接寫寫出動點點的軌跡跡方程；例11-22：由動動點P向向圓作兩兩條切線線PA、PPB，切切點分別別為A、BB，APBB=6000，則動動點P的的軌跡方方程為（答：）；11-3：點M與與點F(4,00)的距距離比它它到直線線的距離離小于11，則點點M的軌軌跡方程程是_ （答：）；11-4：一動圓圓與兩圓圓M：和N：都外外切，則則動圓圓圓心的軌軌跡為（答：雙曲曲線的一一支）；代入轉移移法：動動點依賴賴于另一一動點的的變化而而變化，并并且又在在某已知知曲線上上，則可可先用的的代數式式表示，再再將代入入已知曲曲線得要要求的軌軌跡方程程；例11-55：動點點P是拋拋物線上上任一點點