中考數(shù)學(xué) 直角三角形的邊角關(guān)系 培優(yōu) 易錯(cuò) 難題練習(xí)(含答案)

1、中考數(shù)學(xué)直角三角形的邊角關(guān)系培優(yōu)易錯(cuò)難題練習(xí)（含答案）一、直角三角形的邊角關(guān)系1圖1是一種折疊式晾衣架晾衣時(shí)，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳OC=OD=10分米，展開角/COD=60,晾衣臂OA=OB=10分米，晾衣臂支架HG=FE=6分米，且H0=F0=4分米.當(dāng)/AOC=90時(shí)，點(diǎn)A離地面的距離AM為分米；當(dāng)OB從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到OB，（在CO延長(zhǎng)線上）時(shí)，點(diǎn)E繞點(diǎn)F隨之旋轉(zhuǎn)至OB上的點(diǎn)E處，則BE-BE為分米.AH比AH比圖2找平地面【答案】55爲(wèi)4【解析】【分析】如圖，作0P丄CD于P,0Q丄AM于Q,FK丄0B于K,FJ丄0C于J.解直角三角形求出MQ,AQ即可求出A

2、M,再分別求出BE,BE即可.【詳解】解：如圖，作OP丄CD于P,OQ丄AM于Q,FK丄OB于K,FJ丄OC于J.TAM丄CD,ZQMP=ZMPO=ZOQM=90,四邊形OQMP是矩形，QM=OP,OC=OD=10,ZCOD=60,.COD是等邊三角形,OP丄CD,1ZCOP=ZCOD=30,2QM=OP=OCcos30=5J3（分米），ZAOC=ZQOP=90,ZAOQ=ZCOP=30,1AQ=-OA=5（分米），厶AM=AQ+MQ=5+5啟.OBIICD,ZBOD=ZODC=60在RtAOFK中，KO=OFcos60=2（分米），F(xiàn)K=OFsin60=2J3（分米）,在RtAPKE中，EK

3、=fEF2_FK2=26（分米），BE=10-2-2；6=（8-2冷6）（分米），在RtAOFJ中，OJ=OFcos60=2（分米），F(xiàn)J=2（分米），在RtAFJE中，EJ=62（2J3）2=2J6,.BE=10-（2.；6-2）=12-2*6，BE-BE=4.故答案為：5+5，4.fIfI?jMU圖？D水平地面【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型.(1)求乩E之間的距離2.如圖，某無(wú)人機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)B、D的俯角分別是30。、60。，此時(shí)無(wú)人機(jī)的飛行高度AC為60m，隨后無(wú)人機(jī)從A處繼續(xù)水平飛行30運(yùn)m到達(dá)A處.

4、(1)求乩E之間的距離答案】(1答案】(1)120米；(2)連(2)求從無(wú)人機(jī)A上看目標(biāo)D的俯角的正切值.【解析】【分析】解直角三角形即可得到結(jié)論；過(guò)A作AE丄BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接AD，于是得到AE=AC=60，CE=AA=30J3，在RtAABC中，求得DC=AC=2O；3，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】解：(1)由題意得：ZABD=30,ZADC=60,在RtAABC中，AC=60m,60.ACT/AB=1=120(m)sin30。2(2)過(guò)A作AE丄BC交BC的延長(zhǎng)線于E,連接AD,則AE=AC=60，CE=AA=30，在RtAABC中，AC=60m，ZADC=60，

5、DC=AC=2033.DE=50p3AE602片.tanZAAD=tanZADC=3DE50羽5答：從無(wú)人機(jī)A上看目標(biāo)D的俯角的正切值是|3.【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，添加輔助線建立直角三角形是解題的關(guān)鍵.3.在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)0,點(diǎn)P在線段BC上（不含點(diǎn)B），1ZBPE=2ZACB，PE交BO于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF丄PE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.（1）當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)（如圖1）.求證：BOG竺POE；BF（2）通過(guò)觀察、測(cè)量、猜想：帛=，并結(jié)合圖2證明你的猜想；PEBF（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖3）,若ZACB=a，求的PE值.（用

6、含a的式子表示）ADADAD圖1圖2圖3答案】（1）證明見解析（2）BF1PE23）BF1二一tanaPE2【解析】解：（1）證明：T四邊形ABCD是正方形，P與C重合,OB=OP,ZBOC=ZBOG=90.TPF丄BG,ZPFB=90,.ZGBO=90ZBGO,ZEPO=90-ZBGO.ZGBO=ZEPO.BOG竺POE(AAS).2)BF1PE2證明如下：如圖，過(guò)2)BF1PE2證明如下：如圖，過(guò)P作PM/AC交BG于M,交BO于N,.ZPNE=ZBOC=900,ZBPN=ZOCBTZOBC=ZOCB=450,.ZNBP=ZNPB.NB=NPTZMBN=900-ZBMN,ZNPE=900-

7、ZBMN,.ZMBN=ZNPE.BMN竺PEN(ASA).BM=PE./ZBPE=1ZACB,ZBPN=ZACB,.ZBPF=ZMPF.2TPF丄BM,.ZBFP=ZMFP=900又TPF=PF,1.BPF竺MPF(ASA).BF=MF，即BF=BM.bf=1pe,2BF1即一.PE2（3）如圖，過(guò)P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,1由(2)同理可得BF=BM,ZMBN=ZEPN.2TZBNM=ZPNE=9Oo,BMN-PEN.BMBNP-PN.BNBM2BF在RtABNP中，tana=,.=tana，即=tana.PNPEPEBF1.=tana.PE2由正方形的性質(zhì)可由AAS證得BO

8、G竺POE.過(guò)P作PM/AC交BG于M,交BO于N,通過(guò)ASA證明BMNPEN得到BF1BM=PE，通過(guò)ASA證明BPFMPF得到BF=MF,即可得出命二二的結(jié)論.PE21（3）過(guò)P作PM/AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,同（2）證得BF=-BM,ZMBN=ZEPN,從而可證得BMNPEN,由=和BNP中tana=即PEPNPN可求得BF1可求得=tanaPE2其公共邊構(gòu)造關(guān)系式求解4.如圖，平臺(tái)4.如圖，平臺(tái)AB高為12m,在B處測(cè)得樓房CD頂部點(diǎn)D的仰角為45,底部點(diǎn)C的俯角為30,求樓房CD的高度（J3=1.7）.【答案】324米【解析】試題分析：首先分析圖形,根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形本題

9、涉及多個(gè)直角三角形,應(yīng)利用試題解析：如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE丄CD于點(diǎn)E,根據(jù)題意，ZDBE=45,ZCBE=30.TAB丄AC,CD丄AC,四邊形ABEC為矩形，CE=AB=12m,BE在RtACBE中，cotZCBE=CEBE=CEcot30=12xJ3=12J3，在RtABDE中，由ZDBE=45,得DE=BE=12p3.CD=CE+DE=12（帯3+1）與2.4.答：樓房CD的高度約為32.4m.AC考點(diǎn)：解直角三角形的應(yīng)用仰角俯角問(wèn)題5.如圖，AB是OO的直徑，弦CD丄AB于H,過(guò)CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)E作OO的切線交AB的延長(zhǎng)線于切點(diǎn)為G,連接AG交CD于K.（1）求證：KE=GE；（2）若K

10、G2=KDGE,試判斷AC與EF的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；3【答案】（1）證明見解析；（2）ACIIEF,證明見解析；（3）FG=解析】試題分析：（1）如圖1,連接OG.根據(jù)切線性質(zhì)及CD丄AB，可以推出ZKGE=ZAKH=ZGKE，根據(jù)等角對(duì)等邊得到KE=GE；（2）AC與EF平行，理由為：如圖2所示，連接GD,由ZKGE=ZGKE，及KG2=KDGE,利用兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩三角形相似可得出GKD與氐EKG相似，又利用同弧所對(duì)的圓周角相等得到ZC=ZAGD，可推知ZE=ZC,從而得到ACIIEF；（3）如圖3所示，連接OG,OC，先求出KE=GE，再求出圓的半徑，根據(jù)勾股定理與垂徑定

11、理可以求解；然后在RtAOGF中，解直角三角形即可求得FG的長(zhǎng)度.試題解析：（1）如圖1,連接OG.TEG為切線，ZKGE+ZOGA=90,TCD丄AB,.ZAKH+ZOAG=90，又TOA=OG,.ZOGA=ZOAG，.ZKGE=ZAKH=ZGKE，.KE=GE.(2)ACIIEF,理由為連接GD,如圖2所示.KGGETKG2=KDGE,即WKGKD又TZKGE=ZGKE,GKD-EGK,.ZE=ZAGD，又TZC=ZAGD,.ZE=ZC,ACIIEF；（3）連接（3）連接OG,OC,如圖3所示,TEG為切線,.ZKGE+ZOGA=90,TCD丄AB,.ZAKH+ZOAG=90,又TOA=O

12、G,.ZOGA=ZOAG,.ZKGE=ZAKH=ZGKE,.KE=GETsinE=sinZACH=1，設(shè)AH=3t，則AC=5t,CH=4t,TKE=GE,ACIEF,.CK=AC=5t,.HK=CK-CH=t在RtAAHK中，根據(jù)勾股定理得AH2+H3AK2,即（3t）2+t2=（2）2,解得t=：.設(shè)OO半徑為r,在RtAOCH中，OC=r,OH=r-3t,CH=4t,由勾股定理得：OH2+CH2=OC2,252577Try即(r-3t)2+(4t)2=r2，解得r=t=TEF為切線，.OGF為直角三角形，25在RtAOGF中，OG=r=25OGE25tAnZOFGCU4AW-3tanZO

13、FG=tanZCAH=,FG=點(diǎn)睛】此題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，銳角三角函數(shù)定義，圓周角定理，平行線的判定，以及等腰三角形的判定，熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵6.如圖，在OO的內(nèi)接三角形ABC中，ZACB=90,AC=2BC,過(guò)C作AB的垂線丨交O0于另一點(diǎn)D,垂足為E.設(shè)P是*上異于A,C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，射線AP交丨于點(diǎn)F,連接PC與PD,PD交AB于點(diǎn)G.求證：PAC-PDF；rdi.d若AB=5,，求PD的長(zhǎng);AGtanZAFD=y,求y與tanZAFD=y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.（不要求寫出解析】=x.試題分析：（1）應(yīng)用圓周角定理證明ZAPD

14、=ZFPC，得到ZAPC=ZFPD,又由ZPAC=ZPDC,即可證明結(jié)論.（2）由AC=2BC,設(shè)，應(yīng)用勾股定理即可求得BC,AC的長(zhǎng)，則由AC=2BC得-J-由厶ACE-ABC可求得AE,CE的長(zhǎng)，由田啓可知APB是等腰直角三角形，從而可求得PA的長(zhǎng)，由AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4,從而求得DF的長(zhǎng)，PAAC由（1）PAC-PDF得*；,即可求得PD的長(zhǎng).AD2（3）連接BP,BD,AD,根據(jù)圓的對(duì)稱性，可得川，由角的轉(zhuǎn)換可得APAGAPDGADtanABPy，由AGP-DGB可得M卩，由厶AGD-PGB可得兩式相乘可得結(jié)果.試題解析：（1）由APCB內(nèi)接于圓O,得ZFPC=ZB

15、,又：ZB=ZACE=90ZBCE,ZACE=ZAPD,:.ZAPD=ZFPC.Zapd+zdpc=zfpc+zdpc，即zapc=zfpd.又:ZPAC=ZPDC,PAC-PDF.(2)連接BP,設(shè)門l，,VZACB=90,AB=5,+(2壓)2_5?-口、EC_i5沖匚2冷AECEACME2:ACE-ABC,.小-,即I.：.AB丄CD,；I如圖，連接BP，MIvi一心，.APB是等腰直角三角形.二ZPAB=45,PAAC23x/TV.AEF是等腰直角三角形.EF=AE=4.PAAC23x/TV由(1)PAC-PDF得，即.PD的長(zhǎng)為.(3)如圖，連接BP，BD，AD，TAC=2BC,.根

16、據(jù)圓的對(duì)稱性，得AD=2DB,即：打TAB丄CD,BP丄AE,.ZABP=ZAFD.AGAPTAGPAGAPTAGP-DGB,DGADDGADAGD-PGB,-.4GDGAPADAfiAPAD*=j_=:宀即三c?AG譏：-，與I與I之間的函數(shù)關(guān)系式為考點(diǎn)：1.單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題；2.圓周角定理；3.相似三角形的判定和性質(zhì)；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性質(zhì)；6.垂徑定理；7.銳角三角函數(shù)定義；8.由實(shí)際問(wèn)題列函數(shù)關(guān)系式.7.如圖，在ABC中，ZABC=90,以AB的中點(diǎn)0為圓心，OA為半徑的圓交AC于點(diǎn)D,E是BC的中點(diǎn)，連接DE,0E.判斷DE與O0的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；求證：BC2=

17、2CDOE；14若cosZBAD5,BE=，求0E的長(zhǎng).35【答案】(1)DE為O0的切線，理由見解析；(2)證明見解析；(3)0E=.6【解析】試題分析：(1)連接OD,BD,由直徑所對(duì)的圓周角是直角得到ZADB為直角，可得出BCD為直角三角形，E為斜邊BC的中點(diǎn)，由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到CE=DE，從而得ZC=ZCDE，再由OA=OD,得ZA=ZADO,由RtAABC中兩銳角互余，從而可得ZADO與ZCDE互余，可得出ZODE為直角，即DE垂直于半徑0D,可得出DE為OO的切線；由已知可得OE是厶ABC的中位線，從而有AC=2OE,再由ZC=ZC,ZABC=ZBDC,可

18、得ABC-BDC，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，即可證得；在直角ABC中，利用勾股定理求得AC的長(zhǎng)，根據(jù)三角形中位線定理OE的長(zhǎng)即可求得試題解析：（1）DE為OO的切線，理由如下:連接OD，BD，ABKCABKCAB為OOAB為OO的直徑,ZADB=90,在RtABDC中，E為斜邊BC的中點(diǎn),CE=DE=BE=；BC，.ZC=ZCDE，TOA=OD，.ZA=ZADO，TZABC=90，.ZC+ZA=90，.ZADO+ZCDE=90，.ZODE=90，.DE丄OD，又OD為圓的半徑，DE為OO的切線；(2)TE是BC的中點(diǎn)，O點(diǎn)是AB的中點(diǎn),OE是厶ABC的中位線，.AC=2OE，TZC=ZC

19、，ZABC=ZBDC，ABC-BDC，BCACCDCBCACCDC即BC2=ACCD.BC2=2CDOE；(3)解：TcosZBAD=y141428又TBE，E是BC的中點(diǎn)，即BC=,又T又TAC=2OE，33考點(diǎn)：1考點(diǎn)：1、切線的判定；2、相似三角形的判定與性質(zhì)；3、三角函數(shù)8某條道路上通行車輛限速60千米/時(shí)，道路的AB段為監(jiān)測(cè)區(qū)，監(jiān)測(cè)點(diǎn)P到AB的距離PH為50米（如圖）.已知點(diǎn)P在點(diǎn)A的北偏東45方向上，且在點(diǎn)B的北偏西60方向上，點(diǎn)B在點(diǎn)A的北偏東75方向上，那么車輛通過(guò)AB段的時(shí)間在多少秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速？（參考數(shù)據(jù)：=1.7,f2=1.4）.【答案】車輛通過(guò)AB段的時(shí)間在8.1

20、秒以內(nèi)，可認(rèn)定為超速解析】分析：根據(jù)點(diǎn)到直線的距離的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形，然后利用解直角三角形的應(yīng)用，解直角三角形即可.詳解：如圖，由題意知/CAB=75詳解：如圖，由題意知/CAB=75,ZCAP=45,ZPBD=60,ZPAH=ZCAB-ZCAP=30,50TZPHA=ZPHB=90,PHTZPHA=ZPHB=90,PH=50,.AH=50：3,tanZPAH3TACIIBD,ZABD=180-ZCAB=105,.ZPBH=ZABD-ZPBD=45,則PH=BH=50,AB=AH+BH=50、：3+50,5050忑+50T60千米/時(shí)=乙-米/秒，時(shí)間t=50=3+3-2x2+bx+c的x

21、的取值范圍；設(shè)點(diǎn)D為該拋物線上的一點(diǎn)、連結(jié)AD,若/DAC=ACBO,求點(diǎn)D的坐標(biāo).13【答案】y二2x2-2x+2；(2)當(dāng)x0或x0或x-x2+bx+c22如圖，過(guò)D點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)E,13由y二2x2-2x+2令y=0，解得：x1=1,x2=-4,二C0=1,A0=4,13設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,2m2-m+2),：ZDAC=ACBO,tanZDAC=tanZCBO,DECO.在RtAADE和RtABOC中有=AEBO當(dāng)D當(dāng)D在x軸上方時(shí),1一一m22解得：m1=0,m2=-4（不合題意，舍去），.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0,2）當(dāng)D當(dāng)D在x軸下方時(shí),+2)解得：m1=2,m2=-4（不合題

22、意,舍去）.點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2,-3）,故滿足條件的D故滿足條件的D點(diǎn)坐標(biāo)為（0,2）或（2,-3）【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題型,主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式解題的關(guān)鍵是能夠熟練掌握一次函數(shù)和二次函數(shù)的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題,分類討論是第（3）題的難點(diǎn)10蘭州銀灘黃河大橋北起安寧營(yíng)門灘,南至七里河馬灘,是黃河上游的第一座大型現(xiàn)代化斜拉式大橋如圖，小明站在橋上測(cè)得拉索AB與水平橋面的夾角是31,拉索AB的長(zhǎng)為152米，主塔處橋面距地面7.9米（CD的長(zhǎng)），試求出主塔BD的高.（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin31=0.52,cos31=0.86,tan31=0.

23、60）【答案】主塔BD的高約為86.9米.【解析】【分析】根據(jù)直角三角形中由三角函數(shù)得出BC相應(yīng)長(zhǎng)度，再由BD=BC+CD可得出.【詳解】在RtAABC中，ZACB=90,BCSinA=AB二BC二ABxsinA二152xsin31152x0.52二79.04.BD=BC+CD=79.04+7.9=86.94二86.9(米)答：主塔BD的高約為86.9米.【點(diǎn)睛】本題考察了直角三角形與三角函數(shù)的結(jié)合，熟悉掌握是解決本題的關(guān)鍵.11如圖，ABC中，AC=BC=10,cosC=5，點(diǎn)P是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、C重合)，以PA長(zhǎng)為半徑的OP與邊AB的另一個(gè)交點(diǎn)為D,過(guò)點(diǎn)D作DE丄CB于點(diǎn)E.當(dāng)O

24、P與邊BC相切時(shí)，求OP的半徑.連接BP交DE于點(diǎn)F,設(shè)AP的長(zhǎng)為x,PF的長(zhǎng)為y,求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并直接寫出x的取值范圍.在(2)的條件下，當(dāng)以PE長(zhǎng)為直徑的OQ與OP相交于AC邊上的點(diǎn)G時(shí)，求相交所得的公共弦的長(zhǎng).33BBDCC4P備用圖BBDCC4P備用圖【答案】(1)R二;(2)y二xx2-8x+80；(3)50-15.93x+20解析】分析】3(1)設(shè)OP與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,連接HP,則HP丄BC,cosC=5，則HPR4sinC=,sinC=匸，即可求解；CP10-R52EBBF4xrl7首先證明PDIIBE,貝9二，即：5-x28x+80y，即可求解;P

25、DPFxy證明四邊形PDBE為平行四邊形，則AG=EP=BD,即：AB=DB+AD=AG+AD=4蘑，即可求解.詳解】(1)設(shè)OP與邊BC相切的切點(diǎn)為H,圓的半徑為R,BB34連接HP,貝9HP丄BC,cosC=5，則sinC=5,HPsinC=CPRHPsinC=CPR10R440=5，解得：R=-；(2)在厶ABC中,AC=BC=10,設(shè)AP=PD=x,ZA=ZABC=B，過(guò)點(diǎn)B作BH丄AC,貝9BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA貝9BH=ACsinC=8,同理可得：CH=6,HA=4,AB=4、.：5，貝V：tanZCAB=2,則bd=%5-竽x,PA=PD,ZPAD=ZCAB=ZCBA=B，BP=p82+(x-4)2=x2一8x+80，2后DA=x,5如下圖所示tanB=2,則cosB=5,sinp=,(4乎x)EB=BDcosB=PDIIBE,EB_BFPDPF即：:x2-8x+80-y,整理得：3X5.:時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-3，39把