微積分不定積分的概念及性質(zhì)

1、關(guān)于微積分不定積分的概念及性質(zhì)第1頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三運算是一種對應(yīng)法則。設(shè)A是一個非空集合，對于A中的任意兩個元素a，b，根據(jù)某種法則，使A中有唯一確定的元素c與它們對應(yīng)，我們就說這個法則是A中的一種運算。給了A的任意兩個元素a和b，通過所給的運算，可以得到一個結(jié)果c。反過來，如果已知元素c，以及元素a，b中的一個，按照某種法則，可以得到另一個元素，這樣的法則也定義了一種運算，這樣的運算叫做原來運算的逆運算。如：加法與減法，乘法與除法，指數(shù)與對數(shù)。微分與積分也互為逆運算。逆運算第2頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三？運算求導運算與逆運

2、算冪開方第3頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例定義：一、原函數(shù)與不定積分的概念( primitive function )定義第4頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三原函數(shù)存在定理：簡言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).問題：(1) 原函數(shù)是否唯一？例（ 為任意常數(shù)）(2) 若不唯一它們之間有什么聯(lián)系？定理第5頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三關(guān)于原函數(shù)的說明：（1）若 ，則對于任意常數(shù) ，（2）若 和 都是 的原函數(shù)，則（ 為任意常數(shù)）證（ 為任意常數(shù)）第6頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三任意常數(shù)積分號被積函數(shù)

3、不定積分(indefinite integral)的定義：被積表達式積分變量定義原函數(shù) 函數(shù)的全體原函數(shù)等于它的某個原函數(shù)加上一個任意常數(shù)！求和：sum第7頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三4. 被積函數(shù)是原函數(shù)的導數(shù),被積表達式是原函數(shù)的微分。5. 不定積分表示那些導數(shù)等于被積函數(shù)的所有函數(shù)，或者其微分等于被積表達式的所有函數(shù),因此決不能漏寫積分常數(shù)C.2. 求已知函數(shù)的全體原函數(shù)或不定積分的運算稱為積分運算。 3. 已知原函數(shù)求導函數(shù),用微分運算；已知導函數(shù)求原函數(shù)，用積分運算。微分和積分是互逆的運算。1. 直接函數(shù)和反函數(shù)是一對概念；原函數(shù)和導函數(shù)是一對概念，不可混

4、淆。第8頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例1 求解解例2 求第9頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例3 某商品的邊際成本為 , 求總成 解其中 為任意常數(shù)本函數(shù) . 第10頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三二、不定積分的幾何意義顯然，求不定積分得到一積分曲線族,橫坐標 處,任一曲線的切線有相同的斜率.0 xy在同一第11頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三微分(求導)運算與求不定積分的運算是互逆的.三、 不定積分的性質(zhì)例第12頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三實例啟示能否根據(jù)求導公式得

5、出積分公式？結(jié)論既然積分運算和微分運算是互逆的，因此可以根據(jù)求導公式得出積分公式.四、 基本積分表第13頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三基本積分表是常數(shù));說明：第14頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三第15頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三第16頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例4 求積分解第17頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三證等式成立.（此性質(zhì)可推廣到有限多個函數(shù)之和的情況）四、 不定積分的性質(zhì)第18頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例5 求積分解稱為

6、定積分的線性性質(zhì)。第19頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三20練習 求積分解不能直接利用積分公式，需先變形基本積分公式第20頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例6 求積分解第21頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例7 求積分解第22頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三練習 求積分解:第23頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例8 求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進行恒等變形，才能使用基本積分表.化積分為代數(shù)和的積分第24頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三25練

7、習 求積分解:第25頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三例9 求積分解:第26頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三解所求曲線方程為第27頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三基本積分表（1）（13）不定積分的性質(zhì) 原函數(shù)的概念：不定積分的概念：求微分與求積分的互逆關(guān)系五、 小結(jié)第28頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三思考題符號函數(shù)在 內(nèi)是否存在原函數(shù)？為什么？第29頁，共32頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三思考題解答不存在.假設(shè)有原函數(shù)故假設(shè)錯誤所以 在 內(nèi)不存在原函數(shù).結(jié)論每一個含有第一類間斷點的函數(shù)都沒