微積分函數(shù)定稿

1、關于微積分函數(shù)定稿第1頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template第一章 函 數(shù)第2頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template1.1.1 集合 1. 集合的概念 集合是數(shù)學中最基本的概念之一通常將具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合，組成這個集合的每一個事物稱為該集合的元素 習慣上常用大寫拉丁字母A，B，C，X，Y，表示集合，用小寫拉丁字母a，b，c，x，y， 表示集合中的元素對于給定的集合A和元素a，二者的關系是確定的，要么a在集合A中，記作a

2、 A，讀作 a 屬于A；要么a不在集合A中，記作a A，讀作a不屬于A，二者必居其一1.1 集合集 合1.1第3頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù) 含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無窮多個元素的集合稱為無限集；不含任何元素的集合稱為空集，用 表示 表示集合的方法主要有兩種：一是列舉法，二是描述法列舉法，就是把集合中的所有元素一一列舉出來如集合 A 由 a1，an 所組成，則可以將其表示為 A = a1，, an；而描述法，則是強調(diào)指出具有某種性質(zhì) P 的元素 x的全體所組成，通常表示成A =

3、x|x具有性質(zhì)P ，例如，集合A是方程 x2-3x+2=0的解集，就可表示成 A =x|x2-3x+2=0，再如，集合B是不等式 03x-21的解集，則可表示成 B=x|03x-21.第4頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)2. 集合與集合間的關系 設A、B是兩個集合，若對任意aAaB, 則稱A是B的子集，記作AB(讀作A含于B)或BA(讀作B包含A)；若A B且B A，則稱A與B相等，記作A=B. 特別地，規(guī)定 A，其中A為任何集合. 如果集合的元素都是數(shù)，則稱其為數(shù)集. 常用的數(shù)集有 (1) 自

4、然數(shù)集(或非負整數(shù)集)記作N，即N=0，1，2，n，； (2) 正整數(shù)集記作N+，即N+=1，2，3，n，； (3) 整數(shù)集記作Z，即Z=，n，2， 1，0，1，2，n，；第5頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)(4) 有理數(shù)集記作Q= |pZ, qN+且p, q互質(zhì)；(5) 實數(shù)集記作R;正實數(shù)集記作R+. 1.1.2 集合的運算1. 集合的運算集合間的基本運算有三種: 并、交、差.設有集合A、B，它們的并集記作AB,AB x|xA 或 xB.集合A與B的交集記作AB(或AB)，AB x|xA 且

5、 xB.集合A、B的差集記作AB,AB x|xA 且 x B.第6頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Teplate 第一章 函數(shù) 通常我們將所研究的某一問題納入到某個大集合中進行，所研究的其他集合都是的子集，此時我們稱為全集. 而將A稱為A的補集或余集用Ac 表示，即記Ac =A. 如=R時，集合A=x|-11. 2. 集合的運算規(guī)律 集合的運算滿足如下運算規(guī)律: 設A、B、C及Ai (i =1, 2, 3，)為中的集合，則 第7頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company Logo (1) AB=B

6、A, AB=BA; 交換律(2) (AB)C=A(BC), (AB)C=A(BC);結合律(3) A(BC)=(AB)(AC), A(BC)=(AB)(AC);結合律(4) (AB)c =AcBc, (AB)c =AcBc ;對偶律 (5) 對偶律以上運算規(guī)律均可依據(jù)集合相等的定義加以證明，留給讀者一試.1.1.3 區(qū)間與鄰域區(qū)間是常用的一類數(shù)集,大體可以分為有限區(qū)間和無限區(qū)間.1. 有限區(qū)間設a, b為實數(shù)，且ab, 通常有如下定義與記法:(1) 閉區(qū)間 a, b= x|a x b;(2) 開區(qū)間 (a, b)=x|axb;PowerPoint Template 第一章 函數(shù)第8頁，共47頁

7、，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company Logo 第一章 函數(shù) (3) 半開半閉區(qū)間 a, b) = x|axb, (a, b= x|aa;(3) (-, b= x|xb;(4) (-, b) = x|x0, 稱開區(qū)間(a-, a + )為點a的鄰域，記為U(a,)，即U(a,) = (a-, a +) = x|a-xa+ =x|x-a|.點 a 稱為鄰域的中心，稱為鄰域的半徑. U(a,) 可以在數(shù)軸上表示為圖1-3. 圖1-3 有時用到的數(shù)集需要把鄰域的中心去掉，鄰域U(a,)去掉中心 a 后，稱為點 a 的去心鄰域，記作 (a,), 即 第11頁，共47頁，2022年

8、，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)(a,) = (a-, a)(a, a +) = x|0|x-a| 0時，f (a) =2a.因f(-1) = 1, 所以ff(-1)=f (1) =21=2.(3) 函數(shù)f (x)的圖形如圖1-6所示. 圖1-6 下面給出幾個以后常用的函數(shù).例1-3 絕對值函數(shù) 第18頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)定義域D = (-,+), 值域Rf =0,+),它的圖形如圖所示.例1-4 符號函數(shù)第

9、19頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)它的定義域D = (-, +), 值域Rf = -1, 0, 1, 它的圖形如圖1-8所示. 顯然，對任意 x(-, +) 有|x| = x sgn x.例1-5 取整函數(shù)y=x.對任意實數(shù) x, 用x表示不超過 x 的最大整數(shù). 例如-2.2 =-3 2=2，. 這個函數(shù)可以分段表示如下(圖1-9):y=x=n, nx 0, x1X, 使得|f(x1)|M, 則稱f(x)在X上無界.注意 函數(shù)f(x)在X上有界的充分必要條件是它在X上既有上界又有下界.由于|

10、f(x)|M 得到 -Mf(x)M, 從幾何直觀上看，如果f(x)在X上有界，則其圖形位于兩條直線y=-M和y=M之間，如圖1-10所示(其中X=a, b). 第22頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)圖1-10 例如，函數(shù) f(x) = sin x，在其定義域 (-, +) 內(nèi)有界，因取任何正數(shù) M 1，都有|f (x)| = |sin x| M. 數(shù) 1 和-1分別為它的一個上界和下界. 再如函數(shù)g(x)= ，在其定義域(-，+)內(nèi)也有界, 只要取正數(shù) M ，都有|g(x)| M. 數(shù) 和 分別

11、為它的一個上界和下界.第23頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù) 2. 函數(shù)的單調(diào)性設函數(shù) y=f (x)的定義域為Df，X Df，如果對x1, x2X且x1 x2有f(x1) f(x2),則稱 f(x) 在X上是單調(diào)增加的(或單調(diào)減少的); 如果對x1, x2X且x1 0) 是以 為周期的周期函數(shù). 圖1-17 證 只需證明因為 f(x) 以T為周期，所以 f (ax) = f (ax + T),即所以f (ax)是以 為周期的周期函數(shù).第30頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期

12、三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)1.2.3 反函數(shù)定義1-2 給定函數(shù) y = f(x)，其定義域Df ，值域為Rf , 如果對于yRf , 必定唯一的xDf , 使f (x) = y, 那么我們稱在Rf上確定了y=f(x)的反函數(shù)，記作x=f -1(y), yRf .此時也稱 y=f(x)(xDf , yRf ) 在 Df上是一一對應的.習慣上常以 x 記為自變量，y 記為因變量，故反函數(shù)又記為 y = f -1(x). 相對反函數(shù) y = f -1(x)來說，原來的函數(shù)y = f(x)稱為直接函數(shù).從幾何直觀上看，y=f(x) 和 y = f

13、-1(x)的圖形關于直線 y = x 是對稱的.第31頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)值得說明的是，并非所有的函數(shù)都有反函數(shù)，例如，函數(shù) y=x2在定義域Df = (-，+)上不是一一對應的，從而沒有反函數(shù)；但 y=x2, x(-, 0有反函數(shù) y=- . 現(xiàn)在我們要問函數(shù) y = f (x) 在什么條件下一定存在反函數(shù)，容易證明如下結論(留給讀者證之):定理1-1 (反函數(shù)存在定理) 單調(diào)函數(shù) y = f (x) 必存在單調(diào)的反函數(shù) y = f -1(x)，且y=f -1(x) 具有與 y =

14、 f(x) 相同的單調(diào)性. 例1-10 求函數(shù) y = 的反函數(shù). 第32頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù) 解 函數(shù) y= 的定義域 Df = (-,+), 值域為Rf = (-1, 1). 由可解得x= log3 , 變換x與y的位置，得反函數(shù)1.2.4 復合函數(shù)在實際問題中經(jīng)常出現(xiàn)這樣的情形: 在某變化過程中，第一個變量依賴于第二個變量，而第二個變量又依賴于另外一個變量. 例如，某產(chǎn)品的銷售成本C 依賴于銷量 Q，C = 100+3Q，而銷量 Q 又依賴于銷售價格P, Q=5e ，則通過Q銷

15、售成本C實際上依賴于銷售價格P，即C = 100+15e . 像這樣在一定條件下，將一個函數(shù) “代入” 到另一個函數(shù)中的運算稱為函數(shù)的復合運算，而得到的函數(shù)稱為復合函數(shù). 第33頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù) 定義1-3 設函數(shù) y= f(u)的定義域為Df , 函數(shù)u=(x)的定義域為D , 值域為R , 當R Df 時，稱 y=f (x)為由y=f(u)與u=(x)構成的復合函數(shù)，而u稱為中間變量. 但若RDf= , 則稱 y=f(u)與u=(x)二者不能進行復合運算. 利用復合這個概念，

16、有時可以把一個復雜的函數(shù)分解成若干簡單的函數(shù)的某些運算，有時也可以利用幾個簡單的函數(shù)復合成一個較為復雜的函數(shù). 例如，y= sinlnx可以看作是由 y = sinu，和u= ln x復合而成的；同樣函數(shù) y= eu, u= arctanx二者可以復合成函數(shù) y = earctanx.復合函數(shù)的概念還可推廣到有限多個函數(shù)復合的情形. 例如y=3 可以看成是由三個函數(shù)復合而成，其中u、v為中間變量，x為自變量，y為因變量.第34頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company LogoPowerPoint Template 第一章 函數(shù)注：會裝 例 設 f (x) = g(

17、x)= tanx ，則 fg(x)= gf(x)= f (x) =sinx , g(x)= lnx , h(x)=3x ,則 fgh(x)=sin gh(x)=注意：復合函數(shù)中已知f (x) ，g(x)和 fg(x)中任意兩者可以求出第三者。 會拆 ：能夠?qū)⒁粋€復雜的復合函數(shù)拆開成若干個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)（即基本初等函數(shù)僅僅經(jīng)過有限次的四則運算而得到的函數(shù)的復合） 第35頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三Company Logo會拆 ：能夠?qū)⒁粋€復雜的復合函數(shù)拆開成若干個基本初等函數(shù)或簡單函數(shù)（即基本初等函數(shù)僅僅經(jīng)過有限次的四則運算而得到的函數(shù)的復合） 例 解：例解：

18、第36頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù) 1.3.1 基本初等函數(shù)在微積分這門課程中，函數(shù)往往是研究問題的工具，有時也是研究對象.常用的函數(shù)都是由常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些函數(shù)構成的，我們將這六類函數(shù)稱為基本初等函數(shù).1. 常函數(shù)函數(shù)y =C (C是常數(shù))叫做常函數(shù).它的定義域 Df = (-, +), 值域 Rf = C (圖1-19).基本初等函數(shù)與初等函數(shù)1.3第37頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù)圖1-1

19、9 2. 冪函數(shù)函數(shù)y = xm (m是常數(shù))叫做冪函數(shù). 冪函數(shù) y=xm 的定義域取決于m 的給定值. 例如，當 m=3 時，y=x3 的定義域為(-，+)；當 m = 時，y = x3/2的定義域為0，+)；當 m= 時, y = x 的定義域為(-,0)(0，+)；當 m = 時，y=x 的定義域為 (0, +); 當 m 為無理數(shù)時，規(guī)定 y=xm 的定義域為 (0, +). 總之，無論 m 取何值，冪函數(shù)在(0,+)內(nèi)有定義. 第38頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù) 當 y=xm 中的 m=1, 2, 3,

20、 ,-1 時是最常見的冪函數(shù)，它們的圖形如圖1-20所示. 圖1-20 3.指數(shù)函數(shù)函數(shù)y=ax ( a 0 且 a1, a是常數(shù))叫做指數(shù)函數(shù). 指數(shù)函數(shù) y=ax 的定義域 Df = (-，+)，值域 Rf = (0, +). 當 a 1時它第39頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)；當 0 a 0且a1, a為常數(shù))叫做對數(shù)函數(shù).第40頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù) 對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，定義域 Df =(0,+), 值

21、域 Rf =(-, +). 當 a 1時，y = loga x 是單調(diào)增加函數(shù)；當 0 a 1 時，它是單調(diào)減少函數(shù)，其圖形與 y=ax 關于直線 y=x 對稱(圖1-21和圖1-22).以常數(shù) e 為底的對數(shù)函數(shù) y= loge x 叫做自然對數(shù)函數(shù)，簡記作 y= lnx.5.三角函數(shù)常用的三角函數(shù)有正弦函數(shù) y= sinx(圖1-23).余弦函數(shù) y= cosx(圖1-24).正切函數(shù) y= tanx(圖1-25).余切函數(shù) y= cotx(圖1-26).第41頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù)圖1-23 圖1-24

22、 圖1-25 圖1-26 第42頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù)其中自變量是以弧度為單位來表示. y= sinx 與 y= cosx的定義域均為 (-，+) ，值域均為-1,1；都是以 2p 為周期的周期函數(shù)且都有界；y= sinx為奇函數(shù)，y= cosx 為偶函數(shù).正切函數(shù) y= tanx 的定義域及值域分別為D=x|xR, xnp + , nZ, R= (-,+).余切函數(shù) y= cotx 的定義域及值域分別為D=x|xR, xnp, nZ, R =(-,+).正切函數(shù)和余切函數(shù)都是以 p 為周期的周期函數(shù)，且均為

23、奇函數(shù).此外，還常用到另外兩個三角函數(shù): 正割函數(shù) y= secx (其中 secx = )和余割函數(shù) y= cscx (其中 cscx = ). 二者都是以 2p 為周期的周期函數(shù)，并且在(0, )內(nèi)都是無界函數(shù).6. 反三角函數(shù)反三角函數(shù)是三角函數(shù)的反函數(shù). 三角函數(shù) y= sinx，y= cosx，y= tanx和第43頁，共47頁，2022年，5月20日，15點8分，星期三PowerPoint Template 第一章 函數(shù)y = cotx的反函數(shù)分別為反正弦函數(shù) y= arcsinx (圖1-27).反余弦函數(shù) y= arccosx (圖1-28).反正切函數(shù) y= arctanx