【質(zhì)量管理精品文檔】中心極限定理

1、大數(shù)定律及中心極限定理定理一設(shè)設(shè)隨機(jī)變變量X1, X2,Xn, 相互獨(dú)立立,且具有相同同的數(shù)學(xué)學(xué)期望和和方差: E(Xk)=,D(Xk)=2(k=1,2,)作前n 個隨隨機(jī)變量量的算術(shù)術(shù)平均一大大數(shù)定律律頻率具有有穩(wěn)定性性，大量量測量值值的算術(shù)術(shù)平均值值也具有有穩(wěn)定性，這種穩(wěn)穩(wěn)定性就就是大數(shù)數(shù)定律的的客觀背背景。則對于任任意正數(shù)數(shù)有定理的意意義：當(dāng)n很很大時X1,X2,Xn的算術(shù)平平均值這種接近近是在概率率意義下下的接近近.通通俗地講講,在在定理的的條件下下,n個隨機(jī)機(jī)變量的的算術(shù)平平均,當(dāng)當(dāng)n無限限增大時時將幾乎乎變成一一個常數(shù)數(shù)。設(shè)Y1, Y2, ,Yn是一個隨隨機(jī)變量量序列，a是一一個常

2、數(shù)，若若對于任任意e0有則稱序列列Y1, Y2, ,Yn依概率收收斂于a,記為故上述定定理一又又可敘述述為：定理一設(shè)隨機(jī)變變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立立,且具具有相同的的數(shù)學(xué)期期望和方方差:E(Xk) =,D(Xk)=2(k=1,2,)則序列定理二(貝努利利定理)設(shè)nA是n次獨(dú)獨(dú)立重復(fù)復(fù)試驗(yàn)中中事事件A發(fā)發(fā)生的次次數(shù), p是是事件A在每次次試驗(yàn)中中發(fā)生的的概率，依概率收收斂的序序列還有有以下的的性質(zhì)則對于任任意正數(shù)數(shù)e 0,有或(1.2)證引入隨機(jī)機(jī)變量顯然nA=X1+X2+Xn.由于Xk只依賴于于第k次次試驗(yàn)，而各次次試驗(yàn)是是獨(dú)立的的.于是是X1, X2,是相互互獨(dú)立的的;又由由于Xk服從

3、(0-1)分布布，故有有E(Xk)=p,D(Xk) =p(1-p),k=1,2, ,n, .由定理一一有即貝努利定定理表明明事件A發(fā)生的的頻率nA/n依概概率收斂斂于事件件的概率p，且以以嚴(yán)格的的數(shù)學(xué)形形式表達(dá)達(dá)了頻率率的穩(wěn)定定性。n很大時，事件發(fā)發(fā)生的頻頻率與概概率的偏偏差很小小,故故可用頻頻率代替概率率。定理一中中要求X1,X2的方差差存在。 但服服從相同同分布的的場合，并不需需要這一一要求，故有以以下定理理。定理三(辛欽定定理)設(shè)隨機(jī)變變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立,服服從同同一分布布,且具具有相同同的數(shù)學(xué)學(xué)期望E(Xk)=m(k=1,2,),則對于任任意正數(shù)數(shù)e，有(1.3)二中中心極

4、限限定理有些隨機(jī)機(jī)變量,它們是是由大量量相互獨(dú)獨(dú)立的隨隨機(jī)因素素綜合影影響所形形成的,而其中中每一個個別因素素在總的的影響中中所起作作用都是是很微小小的。這這種隨機(jī)機(jī)變量往往往近似似服從正正態(tài)分布布。證略。易易見貝努努利定理理是辛欽欽定理的的特殊情情況定理四(獨(dú)立同同分布的的中心極極限定理理)設(shè)設(shè)隨機(jī)機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立立,服服從同一一分布,且具有有數(shù)學(xué)期期望和方差：E(Xk)=m,D(Xk)=s20(k=1, 2,),則隨機(jī)變變量的分布函函數(shù)Fn(x)對于任意意x滿足足(2.1)證略。例1：據(jù)據(jù)以往經(jīng)經(jīng)驗(yàn)，某某種電子子元件的的壽命服服從均值值為100小時時的指數(shù)數(shù)分布，現(xiàn)隨機(jī)機(jī)的

5、取16只，設(shè)它們們的壽命命是相互互獨(dú)立的的，求這這16只只元件件的壽命命的總和和大于1920小時的的概率?解：設(shè)Xk表示第k只元件的的壽命（k=1,2,3,.16)則Xk服從指數(shù)數(shù)分布，E(Xk)=100，D(Xk)=10000設(shè)Z=X1+X2+X16則所求概概率為：由于：E(xk)=100,D(xk)=1002則定理五(李雅普普諾夫Liapunov定理理)設(shè)設(shè)隨機(jī)機(jī)變量X1,X2,Xn,相互獨(dú)立立,且且它們具具有數(shù)學(xué)學(xué)期望和和方差：若存在正正數(shù)d,使得當(dāng)n時，則隨機(jī)變變量的分布函函數(shù)Fn(x)對于任意意x,滿滿足證明略。定理五表表明，在在定理的的條件下下，隨機(jī)機(jī)變量Zn,當(dāng)n很很大時，服從正

6、態(tài)態(tài)分布N(0,1)。由此，當(dāng)當(dāng)n很大大時近似服從從正態(tài)分分布即就是說說,無論論各個Xk具有怎樣樣的分布布,只只要滿足足定理的條件, 那么么其和Xk,當(dāng)n很大時, 近似似地服從從正態(tài)分分布.例例如城市耗耗電量是是大量用用戶耗電電的總和和。物理理實(shí)驗(yàn)誤誤差是由由許多觀察察不到的的、可加加的小誤誤差構(gòu)成成，故服服從正態(tài)態(tài)分布。定理六(德莫佛佛 -拉拉普拉斯斯Demoiver-Laplace定理)設(shè)隨機(jī)變變量hn(n=1,2,)服從參參數(shù)為n ,p(0p105的近似值值。解易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12(k=1,2,20),由定理四，隨隨機(jī)變量量近似服從從正態(tài)分分布N(0,1),于于是即有PV1050.387.例3設(shè)一船舶舶在某海海區(qū)航行行，已知知每遭受受一次波波浪的沖擊,縱縱搖角大大于3o的概率為為 p=1/3,若若船舶舶遭受了了90000次波波浪的沖沖擊,問問其中中有2950030500 次縱縱搖角大于3o的概率是是多少？解設(shè)X為在在90000次次波浪中中縱搖角角大于3o的次數(shù),則Xb(90000,1/3)其分布律律為所求的概概率為由定理六六，得其中n=90000,p=1/3.即即有P29500120發(fā)生時，就要虧虧本。