第五章第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法

1、文檔編碼 : CS7J1Y3Y3E10 HI8R1D6Y3W4 ZN10H2J1K5A2授課提示：對(duì)應(yīng)同學(xué)用書第323 頁）A 組基礎(chǔ)保分練 1以下關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列,該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（Aann2n1Bann（n1）2Cann（n1）D ann（n2）22解析： 從題圖中可觀看星星的構(gòu)成規(guī)律,n 1 時(shí),有 1 個(gè)； n2 時(shí),有 3 個(gè)； n3 時(shí),有6 個(gè)； n4 時(shí),有 10 個(gè)； ；an1234 nn（ n1）2答案： C 2（2022 山西太原模擬 ）已知數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和 Sn 中意 Snan 2n（nN）,就 a7（）A7 3 B127 64 C321 32

2、 D385 64解析 ：當(dāng) n2 時(shí),Sn1an 12n2,又 Snan2n,所以 2anan1 2,所以 2（an 2）an12,故 an2 是首項(xiàng)為 a12,公比為1 2的等比數(shù)列,127 64又 S1a12,故 a11,所以 an1n12,故 a721 642答案： B 3在數(shù)列 an中,如對(duì)任意的nN均有 anan1 an2 為定值,且 a12,a93,a98 4,就數(shù)列 an 的前 100 項(xiàng)的和 S100（）A132 B299 C68 D 99 解析： 由于對(duì)任意的 nN 均有 anan1an 2 為定值,所以 anan1an 2an1an2an3,所以 an 3 an所以數(shù)列 a

3、n是周期數(shù)列,且周期為3故 a2a98 4,a3a9 3,a100a12,所以 S10033（a1a2a3） a100299答案： B a n2,n4,4（2022 濟(jì)寧期中測試）已知數(shù)列 an 中意 an如對(duì)任意的 nN （6a） na,n4,都有 anan1 成立,就實(shí)數(shù) a 的取值范疇為（）A（1,4）B（2,5）C（1,6）D（4,6）解 析 ： 因 為 對(duì) 任 意 的 nN 都 有 an an 1 成 立 , 所 以 數(shù) 列 是 遞 增 數(shù) 列 , 因 此1a,6a0,解得 1a4a（ 6a） 4a,答案： A 5已知數(shù)列 an 中意 a12,且 2an11a1a12an 2,就 a

4、32（）A8 B7 C6 D 5 解析： 將 a12 代入 2an11a1a12an2,整理得 2an112an12,又 2a11 2,所以數(shù)列 2 an1 是首項(xiàng)為 2,公差為 2 的等差數(shù)列,所以 所以 anlog22n1,于是 a32log26417答案： B 2an 12（ n1） 22n,6大衍數(shù)列,來源于乾坤譜中對(duì)易傳“ 大衍之?dāng)?shù)五十” 的推論主要用于說明中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理數(shù)列中的每一項(xiàng),都代表太極衍生過程中,曾經(jīng)經(jīng)受過的兩儀數(shù)量總和,是中華傳統(tǒng)文化中隱匿著的世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題,其前 10 項(xiàng)依次是 0,2,4,8,12,18,24,32,40,50, ,就此數(shù)列的

5、第 20 項(xiàng)為（）A180 B200 C128 D 162 解析： 由 0,2, 4,8,12,18, 24,32,40, 50, ,可得偶數(shù)項(xiàng)的通項(xiàng)公式為 a2n2n 2,就此數(shù)列的第 20 項(xiàng)為 2 102200答案： B 7已知 an 中意 an（n）2 n（nN）,如 an 是遞增數(shù)列, 就實(shí)數(shù) 的取值范疇是 _解析： 由于 an 是遞增數(shù)列,所以 an 1an,所以（ n1）2 n1（ n）2 n,化簡得 n2,對(duì)任意 nN都成立所以 3答案：（, 3）8（ 2022 天水月考） 已知數(shù)列 an 中, a12,an 12an32 n,就數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 an_解析： 由 an 1

6、2an32 n,得 an 12 n 1 an 2 n3 2,即 an 12 n 1an 2 n3 2又 a1 21, 數(shù)列 an n 是以 1 為3 an 3 3 1首項(xiàng),以 2為公差的等差數(shù)列,就 2 n12（n1）2n2,an（ 3n1） 2 n1答案：（3n 1）2n19（ 1）已知 Sn 為數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和,且 log2（Sn1） n 1,求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列 an 的各項(xiàng)均為正數(shù),求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式Sn 為其前 n 項(xiàng)和, 且對(duì)任意 nN,均有 2Snana2n,解析：（1）由 log 2（Sn 1） n1,得 Sn12 n 1,當(dāng) n1 時(shí), a

7、1S13；當(dāng) n2 時(shí), anSnSn 12 n,3,n1,數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式為 an2 n,n 2.（2）2Snana2n,當(dāng) n1 時(shí), 2S12a1a1a21又 a10, a11當(dāng) n2 時(shí), 2an 2（SnSn 1） ana 2 nan 1a 2 n1,（a2na2n 1）（ anan1） 0,（ anan1）（ anan1）（ anan1） 0,（ anan1）（ anan11） 0,anan 10, anan 11, an 是以 1 為首項(xiàng), 1 為公差的等差數(shù)列,ann（nN ）10（2022 東營模擬） 設(shè)數(shù)列 an 的前 n 項(xiàng)和為 Sn,數(shù)列 Sn的前 n 項(xiàng)和為 T

8、n,中意 Tn2Snn2,nN（1）求 a1 的值；（2）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式解析：（1）令 n1,T12S11,由于 T1S1a1,所以 a12a11,所以 a11（2）n2 時(shí), Tn12Sn1（ n1）2,就 SnTnTn12Snn22Sn 1（ n1）2 2（SnSn 1） 2n1 2an2n1由于當(dāng) n1 時(shí), a1S11 也中意上式,所以 Sn2an2n1（n1）,當(dāng) n2 時(shí), Sn12an12（n1） 1,兩式相減得 an2an2an12,所以 an2an12（ n2）,所以 an22（an 12）,由于 a123 0,所以數(shù)列 an 2 是以 3 為首項(xiàng),公比為 2 的等

9、比數(shù)列所以 an23 2 n 1,所以 an3 2 n12,當(dāng) n1 時(shí)也成立,所以 an3 2 n12B 組 才能提升練 1在數(shù)列 an 中, a12, a23,an1 anan 1（n2）,那么 a2 019（）A1 B 2 C3 D 3 解析： 由于 anan1 an2（n3）,所以 an1 anan1（an 1an 2） an1 an2,所以 an 3 an,所以 an6 an 3 an,所以 an 是以 6 為周期的周期數(shù)列由于 2 019 336 63,所以 a2 019a3a2a1321答案： A 2已知數(shù)列 xn 中意 xn2|xn1 xn|（n N）,如 x11,x2a（a1

10、,a 0）,且 xn 3xn對(duì)任意的正整數(shù)n 均成立,就數(shù)列xn 的前 2 019 項(xiàng)和 S2 019（）A672 B673 C1 344 D 1 346 解析： x11,x2a（a1,a 0）,x3|x2x1| |a1|1a,x1x 2x31a（1a） 2,又 xn3xn 對(duì)任意的正整數(shù)n 均成立, 數(shù)列 xn 的周期為 3,數(shù)列 xn 的前 2 019 項(xiàng)和 S2 019S673 3673 21 346答案： D 3如數(shù)列 ancos 3n5,kN ,就在以下數(shù)列中, 可取遍數(shù)列 an 前 6 項(xiàng)值的數(shù)列為 （）A a2k1 B a3k1 C a4k1 D a5k1 8 13 18 23解

11、析： 數(shù)列 ancos 3n5,kN ,a1cos 15,a2cos 15,a3 cos 15,a4cos 15,28 33 3 8a5cos 15,a6cos 15cos 15,a7cos 15, an是以 6 為周期的周期數(shù)列, a5k1 是可取遍數(shù)列 an 前 6 項(xiàng)值的數(shù)列答案： D an14對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列 an,把它連續(xù)的兩項(xiàng) an1與 an 的比 an記為 bn,得到一個(gè)新的數(shù)列 bn ,稱數(shù)列 bn 是數(shù)列 an 的一階比數(shù)列如數(shù)列 an的一階比數(shù)列是每一項(xiàng)均為 2 的常數(shù)列,就a2 021 a2 019 a2 018 a2 016（）A8 B6 C4 D 2 a2 021a

12、2 019 a2 019（q21）解析： 由題意可知,數(shù)列 an 是等比數(shù)列,且公比 q2,就a2 018a2 016 a2 016（q 21）q 38答案： A 1 25如數(shù)列 an 中意 a12,anan1n 22n,就 a10 _解析： 法一：由于 anan 1n22n 2,所以 anan1n（n2）21nn2 1,所以 a1 a21 1 1 1 1 1 1 113,由于 a12,所以 a2132；由于 a2a324,所以 a3341；由于 a31 1 1 1 1 1 111a435,所以 a4451,以此類推, a101011 1110法二：由于 an an1n 22n 2,所以 an

13、1n（n 2）2an,由于 a11 21 21,所以 1a22 31 27 62 31,a31 2 47 6 11 123 41,a41 3 511 1221 204 51,以此 11 111類推, a1010 11（ 1）10110答案：1111106已知數(shù)列 an 中意 a12,an11an 1an（nN ）,就該數(shù)列的前2 021 項(xiàng)的乘積 a1a2a3 a2 021 _解析： 由題意可得, a21a1 3,1a12 a1,a31a2 1a21 2,a41a3 1a31 3,a51a41a4所以數(shù)列 an 是以 4 為周期的周期數(shù)列,而2 0214 5051,且 a1a2a3a42 （

14、3）1 2 1 31故該數(shù)列前 2 021 項(xiàng)的乘積為 a12答案： 2 7已知二次函數(shù)f（x） x2axa（a0,xR）,有且只有一個(gè)零點(diǎn),數(shù)列 an的前n項(xiàng)和 Snf（n）（nN ）（1）求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式；（2）設(shè) cn14 an（ nN ）,定義全部中意 cn 的變號(hào)數(shù),求數(shù)列 cn的變號(hào)數(shù)cmcm10 的正整數(shù) m 的個(gè)數(shù),稱為這個(gè)數(shù)列解析：（1）依題意, a2 4a0,所以 a0 或 a4又由 a 0 得 a 4,所以 f（x） x24x4所以 Snn 24n4當(dāng) n1 時(shí), a1S11 441；當(dāng) n2 時(shí), anSnSn 12n5所以 an1,n1,2n5, n2.3,n

15、1,（2）由題意得 cn41,n 2.2n5由 cn14 可知,當(dāng) n5 時(shí),恒有 cn02n5又 c1 3, c25,c3 3,c41 3,c51 5,c63 7,即 c1c20,c2c30,c4c50所以數(shù)列 cn 的變號(hào)數(shù)為 3C 組 創(chuàng)新應(yīng)用練 1已知數(shù)列 an 中意 an1ann2,a120,就 ann的最小值為（）A4 5 B4 5 1 C8 D 9 解析： 由 an1an 2n 知 a2a12 1,a3a22 2, , anan12（n1）,n2,以上各式相加得 ana1n2n, n2,所以 ann2n20,n2,當(dāng) n1 時(shí), a120 符合上式,所以an nn20 n1,nN

16、 ,an an所以 n 4 時(shí) n單調(diào)遞減, n5 時(shí) n單調(diào)遞增,a4 a5 an a4 a5由于 45,所以 n的最小值為 458答案： C 2（ 2022 昆明調(diào)研測試）將數(shù)列 an 中的全部項(xiàng)按每一行比上一行多1 項(xiàng)的規(guī)章排成如下數(shù)陣：a1a2, a3a4,a5,a6a7,a8,a9,a10 記數(shù)陣中的第1 列數(shù) a1,a2,a4, 構(gòu)成的數(shù)列為 bn , Sn 為數(shù)列 bn的前 n 項(xiàng)和如 Sn2bn1,就 a56 _解析： 當(dāng) n2 時(shí),由于 Sn2bn 1,所以 Sn12bn 11,所以 bn 2bn2bn 1,所以 bn2bn 1（n2 且 nN ）,由于 b12b11,所以 b11,所以數(shù)列 bn 是首項(xiàng)為 1,公比為 2 的等比數(shù)列,所以 bn2 n1設(shè) a1,a2,a4,a7,a11, 的下標(biāo) 1,2,4,7,11, 構(gòu)成數(shù)列 cn ,就 c2c11,c3c22,c4 c3 3,c5c44, ,cncn 1n1,累加得,cnc1123 4 （ n1）,所以cnn（n1）1,由 cnn（n1）156,22得 n11,所以 a56b112101 024答案： 1 024 3（ 2022 湛江模擬） 一元線性同余方程組問題最早可見于中國南北朝時(shí)期（公元 5 世紀(jì)）的數(shù)學(xué)著作 孫子算經(jīng) 卷下其次十六題, 叫做“ 物不知數(shù)” 問題,原文如下： 有物不