數(shù)學模型課件：第三章 簡單的優(yōu)化模型2

1、第三章 簡單的優(yōu)化模型-靜態(tài)優(yōu)化模型3.1 存貯模型 3.2 生豬的出售時機 3.3 森林救火3.4 消費者的選擇3.5 生產(chǎn)者的決策3.6 血管分支3.7 冰山運輸3.3 森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量.隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小.綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量.問題分析問題記隊員人數(shù)x, 失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 時刻t森林燒毀面積B(t). 損失費f1(x)是x的減函數(shù), 由燒毀面積B(t2)決定. 救援費f2(x)是x的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當?shù)膞，使f1(x), f2(x)之和最小

2、. 關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設.問題分析失火時刻t=0, 開始救火時刻t1, 滅火時刻t2, 畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形.t1t2OtBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論單位時間燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度).模型假設 3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費） 1）0tt1, dB/dt 與 t成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度). 2）t1tt2, 降為x (為隊員的平均滅火速度). 4）每個隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用c3 .假設1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑 r與 t 成正比.面積 B與

3、t2 成正比dB/dt與 t 成正比模型建立bOt1tt2假設1）目標函數(shù)總費用假設3）4）假設2）模型建立目標函數(shù)總費用模型求解求 x使 C(x)最小結(jié)果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)其中 c1,c2,c3, t1, ,為已知參數(shù)bOt1t2t模型應用c1,c2,c3已知, t1可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結(jié)果解釋c1燒毀單位面積損失費, c2每個隊員單位時間滅火費, c3每個隊員一次性費用, t1開始救火時刻, 火勢蔓延速度, 每個隊員平均滅火速度.為什么? ,可設置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量 x3.4 消費者的選擇背景消費者在市場里如何分配手里一定數(shù)量

4、的錢，選擇購買若干種需要的商品. 根據(jù)經(jīng)濟學的一條最優(yōu)化原理“消費者追求最大效用” ，用數(shù)學建模的方法幫助消費者決定他的選擇. 假定只有甲乙兩種商品供消費者購買， 建立的模型可以推廣到任意多種商品的情況.當消費者購得數(shù)量分別為x1, x2的甲乙兩種商品時，得到的效用可用函數(shù)u (x1, x2)度量，稱為效用函數(shù).效用函數(shù) 利用等高線概念在x1, x2平面上畫出函數(shù)u 的等值線, u (x1, x2)=c 稱為等效用線等效用線就是“ 實物交換模型”中的無差別曲線，效用就是那里的滿意度. Ox2u(x1,x2) = cx1c增加 一族單調(diào)減、下凸、互不相交的曲線. 效用最大化模型 p1, p2甲乙

5、兩種商品的單價, y消費者準備付出的錢 x1, x2 購得甲乙兩種商品數(shù)量QABy/p2y/p1x1x2幾何分析 x2u(x1,x2) = cx1Oc增加u(x1, x2) = c 單調(diào)減、下凸、互不相交.在條件 p1 x1+p2 x2 =y 下使效用函數(shù)u(x1, x2)最大. AB必與一條等效用線相切于Q點 (消費點).Q (x1, x2) 唯一.消費線AB模型求解引入拉格朗日乘子構造函數(shù)與幾何分析得到的 Q 一致等效用線u (x1, x2)=c的斜率 消費線AB的斜率結(jié)果解釋效用函數(shù)的構造等效用線u (x1, x2)=c 所確定的函數(shù) x2(x1)單調(diào)減、下凸. 解釋條件中正負號的實際意

6、義充分條件當商品邊際效用之比等于它們價格之比時效用函數(shù)最大. 邊際效用商品數(shù)量 增加一個單位時效用的增量 效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式 購買兩種商品費用之比與二者價格之比的平方根成正比, 比例系數(shù)是參數(shù)與之比的平方根. u(x1,x2)中參數(shù) , 分別度量甲乙兩種商品對消費者的效用，或者消費者對甲乙兩種商品的偏愛 . 購買兩種商品費用之比只取決于, 與價格無關. u(x1,x2)中, 分別度量兩種商品的效用或者偏愛.實際應用時根據(jù)對最優(yōu)解的分析，決定采用哪種效用函數(shù)，并由經(jīng)驗數(shù)據(jù)確定其參數(shù).效用函數(shù)u(x1,x2)幾種常用的形式效用最大化模型應用舉例 例1 征銷售稅還是征收入稅 政府

7、從消費者身上征稅的兩種辦法: 銷售稅 根據(jù)消費者購買若干種商品時花的錢征稅 收入稅 根據(jù)消費者的收入征收所得稅 利用圖形從效用函數(shù)和效用最大化的角度討論 征稅前設甲乙兩種商品的單價為p1, p2，消費者準備花的錢為y, 等效用線為u (x1, x2)=c，消費點為Q(x1, x2) .l1Q1B1x1*l2Q2B2A2x1BAQu(x1, x2) =cOx2x1l 例1 征銷售稅還是征收入稅 對甲商品征銷售稅, 稅率為p0 征稅前的消費點Q 消費線AB1, B1在B的左邊 AB1與l1相切于Q1(x1*, x2*) 若改為征 收入稅 政府得到的銷售稅額 p0 x1* 征收的稅額與銷售稅額 p0

8、 x1*相同 消費線A2B2與l2相切于Q2, 可證B2在B1的右邊. l2在l1上？l2在l1下？ 如果l2在l1上方，Q2的效用函數(shù)值將大于Q1, 對消費者來說征收入稅比征銷售稅好. 例2 價格補貼給生產(chǎn)者還是消費者政府為鼓勵商品的生產(chǎn)或者減少消費者的負擔所采取的兩種價格補貼辦法： 把補貼款直接給生產(chǎn)者 把補貼款發(fā)給消費者而讓商品漲價 鼓勵商品生產(chǎn),對消費者無影響 讓甲商品價格漲到p1+p0, 補貼消費者多花的錢 p0 x1*,使仍達到消費點Q lQABu (x1, x2) =cOx1x2lQABx1x2補貼前的消費點Q 消費線 過Q, 與l相切于Q 的效用函數(shù)值大于Qx1 x2* 對消費

9、者更有利 對甲商品生產(chǎn)不利3.5 生產(chǎn)者的決策背景根據(jù)經(jīng)濟學的又一條最優(yōu)化原理“生產(chǎn)者追求最大利潤” ，用數(shù)學建模的方法幫助生產(chǎn)者或供銷商做出決策.生產(chǎn)者或供銷商根據(jù)產(chǎn)品的成本和產(chǎn)值決定投入，按照商品的銷售情況制訂價格. 在市場經(jīng)濟中“消費者追求最大效用”，生產(chǎn)者呢？最大利潤模型 x產(chǎn)品產(chǎn)量f (x) 邊際產(chǎn)值 x變化一個單位時產(chǎn)值的改變量 c(x) 邊際成本 x變化一個單位時成本的改變量最大利潤在邊際產(chǎn)值等于邊際成本時達到. 假定產(chǎn)品可以全部銷售出去變成收入 f(x) 產(chǎn)值(收入), c(x) 成本 利潤 達到最大利潤的產(chǎn)量 x*在產(chǎn)品可以全部銷售出去的條件下確定商品價格，使利潤最大. 產(chǎn)量

10、x等于銷量，數(shù)量無限制. 收入與x 成正比，系數(shù) p 即價格. 成本與 x 成正比，系數(shù) c 即邊際成本. 銷量x 依于價格 p, x(p)是減函數(shù).簡化假設求p使 r(p) 最大最優(yōu)定價模型 利潤c / 2 成本的一半b 彈性系數(shù)價格上升1單位時銷量的下降幅度（需求對價格的敏感度）a 絕對需求( p很小時的需求)b p* a p* a, b可由p和x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)作擬合得到 利潤達到最大的定價利潤最優(yōu)定價模型 投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 x1, x2 甲乙產(chǎn)品的產(chǎn)量c1, c2 甲乙產(chǎn)品的單位成本s總投資費用f (x1, x2) 產(chǎn)值函數(shù) 在條件 下求x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2)

11、最大. QABs/c2s/c1x1x2x2f(x1,x2) = vx1Ov增加等產(chǎn)值線f (x1, x2)=v單調(diào)減、下凸、互不相交.幾何分析 投資線AB必與一條等產(chǎn)值線相切于Q點.與效用最大化模型類似下凸稀缺產(chǎn)品的產(chǎn)值更高 投資費用一定下的產(chǎn)值最大模型 最優(yōu)解(x1, x2)滿足 在條件 下求x1, x2使產(chǎn)值 f (x1, x2) 最大. 用拉格朗日乘子法求條件極值邊際產(chǎn)值當兩種產(chǎn)品的邊際產(chǎn)值之比等于它們的價格之比時，產(chǎn)值達到最大. 產(chǎn)值最大與費用最小的對偶關系 x=(x1, x2)T, c =(c1, c2) 投資費用一定的產(chǎn)值最大模型 g(s,c)給定的單位成本c下費用不超過s的最大產(chǎn)

12、值. 產(chǎn)值一定的投資費用最小模型 s(v,c)給定的單位成本c下產(chǎn)值不低于v的最小費用. 對偶極值問題 只要解決其中之一, 另一個就迎刃而解 成本函數(shù)是簡單的線性函數(shù) c(x). 產(chǎn)值函數(shù)f(x) 在實際生產(chǎn)過程中常常難以確定. 從成本函數(shù)確定產(chǎn)值函數(shù)的圖解法產(chǎn)值最大與費用最小對偶關系的應用 Qf (x) vlABOx1x2 給定v和c求得最小費用s(v,c)=s 畫出直線AB: cx=sx=(x1, x2)T, c =(c1, c2) f (x)v的點在AB上方, 且AB上有一點Q位于l: f (x)=v上 改變c重復上述過程, 得到一系列不同斜率的直線 區(qū)域f (x)v在直線上方, 其邊界

13、是等產(chǎn)值線l: f (x)=v 包絡線 改變v重復上述過程, 得到一系列等產(chǎn)值線 3.6 血 管 分 支背景機體提供能量維持血液在血管中的流動.給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動的阻力.消耗能量取決于血管的幾何形狀.在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)達到能量最小原則.研究在能量最小原則下，血管分支處粗細血管半徑比例和分岔角度.問題模型假設一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面.血液流動近似于黏性流體在剛性管道中的運動.血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度d近似與血管半徑r成正比.qq1q1ABBCHLll1rr1q=2q1r/r1, ?考察血管AC與CB, CB黏性流體在剛性管道中運動 pA,C壓力差， 黏性系數(shù)克服阻力消耗能量E1 提供營養(yǎng)消耗能量E2 管壁內(nèi)表面積 2rl管壁體積(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比模型假設qq1q1ABBCHLll1rr1模型建立qq1q1ABBCHLll1rr1克服阻力消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量機體為血流提供能量模型求解qq1q1A