第21講 函數(shù)中三角形存在問題-2022中考數(shù)學(xué)巔峰沖刺（解析版）

1、PAGE132022年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)巔峰沖刺專題21函數(shù)中三角形存在問題【難點(diǎn)突破】著眼思路，方法點(diǎn)撥,疑難突破；三角形的存在性問題是一類考查是否存在點(diǎn)，使其能構(gòu)成某種特殊三角形的問題，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常結(jié)合動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)與幾何，考查分類討論、畫圖及建等式計(jì)算主要思路為：由判定定理確定三角形所滿足的特殊關(guān)系；分類討論，畫圖；建等式，對結(jié)果驗(yàn)證取舍對于目標(biāo)三角形不確定、點(diǎn)的位置難以尋找等存在性問題的思考方向?yàn)椋簭慕嵌热胧?，通過角的對應(yīng)關(guān)系嘗試畫出一種情形解決第一種情形能根據(jù)幾何特征表達(dá)線段長的，借助對應(yīng)邊成比例、或線段長轉(zhuǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式求解；不能直接表達(dá)

2、線段長的，觀察點(diǎn)的位置，考慮聯(lián)立函數(shù)表達(dá)式求解分類討論，類比解決其他情形分類時(shí)，先考慮點(diǎn)的位置，再考慮對應(yīng)關(guān)系，用同樣方法解決問題解題策略可以從以下幾方面進(jìn)行分析：直角三角形關(guān)鍵是用好直角，可考慮：勾股定理逆定理、弦圖模型、直線值乘積為1；等腰三角形可考慮直接表達(dá)線段長，利用兩腰相等建等式，或借助三線合一找相似建等式；全等三角形或相似三角形關(guān)鍵是研究目標(biāo)三角形的邊角關(guān)系，進(jìn)而表達(dá)線段長，借助函數(shù)或幾何特征建等式分類不僅要考慮圖形存在性的分類，也要考慮點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的分類解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標(biāo)準(zhǔn)，第二步列方程，第三步解方程并驗(yàn)根一般情況下，按照直角頂點(diǎn)或者斜邊分類，然后

3、按照三角比或勾股定理列方程有時(shí)根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標(biāo)軸不平行，那么過三個(gè)頂點(diǎn)作與坐標(biāo)軸平行的直線，可以構(gòu)造兩個(gè)新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)間的距離公式常常用到怎樣畫直角三角形的示意圖呢如果已知直角邊，那么過直角邊的兩個(gè)端點(diǎn)畫垂線，第三個(gè)頂點(diǎn)在垂線上；如果已知斜邊，那么以斜邊為直徑畫圓，直角頂點(diǎn)在圓上（不含直徑的兩個(gè)端點(diǎn)）【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測，關(guān)注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)1】如圖所示，拋物線y=a2bc與坐標(biāo)軸分別相交于點(diǎn)A、B、C，其坐標(biāo)分別為A（3，0

4、），B（0，3），C（-1，0），直線y=d經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式;（2）在軸上是否存在點(diǎn)N使ADN為直角三角形若存在，確定點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由（3）是否存在點(diǎn)2a3a2a4a，m，則mm22m3，解得meqf1r13,2eqblcrcavs4alco1mf1r13,20，舍去，點(diǎn)分三種情況討論直角三角形ABQ：如圖4-2，當(dāng)AQB90時(shí)，BOQQHA，所以解得m1或m3所以Q0,1或0,3如圖4-3，當(dāng)BAQ90時(shí)，QHAAGB，所以解得此時(shí)如圖4-4，當(dāng)ABQ90時(shí)，AGBBMQ，所以解得此時(shí)圖4-2圖4-3圖4-41，4，與y軸的交點(diǎn)為D0

5、，3，拋物線c1關(guān)于y軸對稱的拋物線記作c21求c2的解析式；2若c2與軸正半軸交點(diǎn)記作B，試在軸上求點(diǎn)02m2，BM2（5）2m42m28m當(dāng)AM為該直角三角形的斜邊時(shí)，有AM2AB2BM2，即m280m28m，解得m9，故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）當(dāng)BM為該直角三角形的斜邊時(shí)，有BM2AB2AM2，即m28m80m2，解得m11，故此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，11）綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，9）或（，11）5如圖，拋物線ya2b6過點(diǎn)A6，0，B4，6，與y軸交于點(diǎn)C1求該拋物線的解析式；2如圖1，直線l的解析式為y，拋物線的對稱軸與線段BC交于點(diǎn)，3m18，則Hm，m4，18，22,3m18eqr

6、2，解得m103eqr2，此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為103eqr2，9eqr212綜上所述，存在點(diǎn)P，使得以P，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為0，4，103eqr2，9eqr212，4，6，106eqr2，66如圖1，拋物線ya2b3交軸于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0）（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）如圖2，該拋物線與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為F，點(diǎn)D（2，3）在該拋物線上求四邊形ACFD的面積；點(diǎn)P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作PQ軸交該拋物線于點(diǎn)Q，連接AQ、DQ，當(dāng)AQD是直角三角形時(shí)，求出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)【分析】（1）由A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定

7、系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）連接CD，則可知CD軸，由A、F的坐標(biāo)可知F、A到CD的距離，利用三角形面積公式可求得ACD和FCD的面積，則可求得四邊形ACFD的面積；由題意可知點(diǎn)A處不可能是直角，則有ADQ90或AQD90，當(dāng)ADQ90時(shí)，可先求得直線AD解析式，則可求出直線DQ解析式，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式則可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)AQD90時(shí)，設(shè)Q（t，t22t3），設(shè)直線AQ的解析式為y1b1，則可用t表示出，設(shè)直線DQ解析式為y2b2，同理可表示出2，由AQDQ則可得到關(guān)于t的方程，可求得t的值，即可求得Q點(diǎn)坐標(biāo)【解答】解：（1）由題意可得，解得，拋物線解析式為y223；（2）y2

8、23（1）24，F(xiàn)（1，4），C（0，3），D（2，3），CD2，且CD軸，A（1，0），S四邊形ACFDSACDSFCD232（43）4；點(diǎn)P在線段AB上，DAQ不可能為直角，當(dāng)AQD為直角三角形時(shí)，有ADQ90或AQD90，i當(dāng)ADQ90時(shí)，則DQAD，A（1，0），D（2，3），直線AD解析式為y1，可設(shè)直線DQ解析式為yb，把D（2，3）代入可求得b5，直線DQ解析式為y5，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式可得，解得或，Q（1，4）；ii當(dāng)AQD90時(shí)，設(shè)Q（t，t22t3），設(shè)直線AQ的解析式為y1b1，把A、Q坐標(biāo)代入可得，解得1（t3），設(shè)直線DQ解析式為y2b2，同理可求得2t，AQ

9、DQ，121，即t（t3）1，解得t，當(dāng)t時(shí)，t22t3，當(dāng)t時(shí)，t22t3，Q點(diǎn)坐標(biāo)為（，）或（，）；綜上可知Q點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4）或（，）或（，）7如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y44與拋物線y2交于A、B兩點(diǎn)（1）直線總經(jīng)過定點(diǎn)，請直接寫出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)時(shí)，解決下列問題：在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使得PAB的面積等于20；連接OA，OB，OP，作PC軸于點(diǎn)C，若POC和ABO相似，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)【分析】（1）變形為不定方程（4）y4，然后根據(jù)為任意不為0的實(shí)數(shù)得到40，y40，然后求出、y即可得到定點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）通過解方程組得A（6，3）、B（4，8）

10、；如圖1，作PQy軸，交AB于點(diǎn)Q，設(shè)P（，2），則Q（，6），則PQ（6）（2），利用三角形面積公式得到SPAB（1）220，然后解方程求出即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；設(shè)P（，2），如圖2，利用勾股定理的逆定理證明AOB90，根據(jù)三角形相似的判定，由于AOBPCO，則當(dāng)時(shí)，CPOOAB，即；當(dāng)時(shí)，CPOOBA，即，然后分別解關(guān)于的絕對值方程即可得到對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)【解答】解：（1）y44（4）4，即（4）y4，而為任意不為0的實(shí)數(shù)，40，y40，解得4，y4，直線過定點(diǎn)（4，4）；（2）當(dāng)時(shí)，直線解析式為y6，解方程組得或，則A（6，3）、B（4，8）；如圖1，作PQy軸，交AB于點(diǎn)Q，設(shè)P（，2），則Q（，6），PQ（6）（2）（1）2，SPAB（64）PQ（1）220，解得12，24，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，0）或（2，3）；設(shè)P（，2），如圖2，由題意得：AO3，BO4，AB5，AB2AO2BO2，AOB90，AOBPCO，當(dāng)時(shí)，CPOOAB，即，整理得4|2|3|，解方程4（