第21講 函數(shù)中三角形存在問題-2022中考數(shù)學巔峰沖刺（解析版）

1、PAGE132022年中考數(shù)學總復習巔峰沖刺專題21函數(shù)中三角形存在問題【難點突破】著眼思路，方法點撥,疑難突破；三角形的存在性問題是一類考查是否存在點，使其能構成某種特殊三角形的問題，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性常結合動點、函數(shù)與幾何，考查分類討論、畫圖及建等式計算主要思路為：由判定定理確定三角形所滿足的特殊關系；分類討論，畫圖；建等式，對結果驗證取舍對于目標三角形不確定、點的位置難以尋找等存在性問題的思考方向為：從角度入手，通過角的對應關系嘗試畫出一種情形解決第一種情形能根據(jù)幾何特征表達線段長的，借助對應邊成比例、或線段長轉(zhuǎn)坐標代入函數(shù)表達式求解；不能直接表達

2、線段長的，觀察點的位置，考慮聯(lián)立函數(shù)表達式求解分類討論，類比解決其他情形分類時，先考慮點的位置，再考慮對應關系，用同樣方法解決問題解題策略可以從以下幾方面進行分析：直角三角形關鍵是用好直角，可考慮：勾股定理逆定理、弦圖模型、直線值乘積為1；等腰三角形可考慮直接表達線段長，利用兩腰相等建等式，或借助三線合一找相似建等式；全等三角形或相似三角形關鍵是研究目標三角形的邊角關系，進而表達線段長，借助函數(shù)或幾何特征建等式分類不僅要考慮圖形存在性的分類，也要考慮點運動的分類解直角三角形的存在性問題，一般分三步走，第一步尋找分類標準，第二步列方程，第三步解方程并驗根一般情況下，按照直角頂點或者斜邊分類，然后

3、按照三角比或勾股定理列方程有時根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半列方程更簡便解直角三角形的問題，常常和相似三角形、三角比的問題聯(lián)系在一起如果直角邊與坐標軸不平行，那么過三個頂點作與坐標軸平行的直線，可以構造兩個新的相似直角三角形，這樣列比例方程比較簡便在平面直角坐標系中，兩點間的距離公式常常用到怎樣畫直角三角形的示意圖呢如果已知直角邊，那么過直角邊的兩個端點畫垂線，第三個頂點在垂線上；如果已知斜邊，那么以斜邊為直徑畫圓，直角頂點在圓上（不含直徑的兩個端點）【名師原創(chuàng)】原創(chuàng)檢測，關注素養(yǎng)，提煉主題；【原創(chuàng)1】如圖所示，拋物線y=a2bc與坐標軸分別相交于點A、B、C，其坐標分別為A（3，0

4、），B（0，3），C（-1，0），直線y=d經(jīng)過A、B兩點，點D為拋物線的頂點（1）求此拋物線的解析式;（2）在軸上是否存在點N使ADN為直角三角形若存在，確定點N的坐標；若不存在，請說明理由（3）是否存在點2a3a2a4a，m，則mm22m3，解得meqf1r13,2eqblcrcavs4alco1mf1r13,20，舍去，點分三種情況討論直角三角形ABQ：如圖4-2，當AQB90時，BOQQHA，所以解得m1或m3所以Q0,1或0,3如圖4-3，當BAQ90時，QHAAGB，所以解得此時如圖4-4，當ABQ90時，AGBBMQ，所以解得此時圖4-2圖4-3圖4-41，4，與y軸的交點為D0

5、，3，拋物線c1關于y軸對稱的拋物線記作c21求c2的解析式；2若c2與軸正半軸交點記作B，試在軸上求點02m2，BM2（5）2m42m28m當AM為該直角三角形的斜邊時，有AM2AB2BM2，即m280m28m，解得m9，故此時點M的坐標為（，9）當BM為該直角三角形的斜邊時，有BM2AB2AM2，即m28m80m2，解得m11，故此時點M的坐標為（，11）綜上所述，點M的坐標為（，9）或（，11）5如圖，拋物線ya2b6過點A6，0，B4，6，與y軸交于點C1求該拋物線的解析式；2如圖1，直線l的解析式為y，拋物線的對稱軸與線段BC交于點，3m18，則Hm，m4，18，22,3m18eqr

6、2，解得m103eqr2，此時點P的坐標為103eqr2，9eqr212綜上所述，存在點P，使得以P，E，F(xiàn)為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標為0，4，103eqr2，9eqr212，4，6，106eqr2，66如圖1，拋物線ya2b3交軸于點A（1，0）和點B（3，0）（1）求該拋物線所對應的函數(shù)解析式；（2）如圖2，該拋物線與y軸交于點C，頂點為F，點D（2，3）在該拋物線上求四邊形ACFD的面積；點P是線段AB上的動點（點P不與點A、B重合），過點P作PQ軸交該拋物線于點Q，連接AQ、DQ，當AQD是直角三角形時，求出所有滿足條件的點Q的坐標【分析】（1）由A、B兩點的坐標，利用待定

7、系數(shù)法即可求得拋物線解析式；（2）連接CD，則可知CD軸，由A、F的坐標可知F、A到CD的距離，利用三角形面積公式可求得ACD和FCD的面積，則可求得四邊形ACFD的面積；由題意可知點A處不可能是直角，則有ADQ90或AQD90，當ADQ90時，可先求得直線AD解析式，則可求出直線DQ解析式，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式則可求得Q點坐標；當AQD90時，設Q（t，t22t3），設直線AQ的解析式為y1b1，則可用t表示出，設直線DQ解析式為y2b2，同理可表示出2，由AQDQ則可得到關于t的方程，可求得t的值，即可求得Q點坐標【解答】解：（1）由題意可得，解得，拋物線解析式為y223；（2）y2

8、23（1）24，F(xiàn)（1，4），C（0，3），D（2，3），CD2，且CD軸，A（1，0），S四邊形ACFDSACDSFCD232（43）4；點P在線段AB上，DAQ不可能為直角，當AQD為直角三角形時，有ADQ90或AQD90，i當ADQ90時，則DQAD，A（1，0），D（2，3），直線AD解析式為y1，可設直線DQ解析式為yb，把D（2，3）代入可求得b5，直線DQ解析式為y5，聯(lián)立直線DQ和拋物線解析式可得，解得或，Q（1，4）；ii當AQD90時，設Q（t，t22t3），設直線AQ的解析式為y1b1，把A、Q坐標代入可得，解得1（t3），設直線DQ解析式為y2b2，同理可求得2t，AQ

9、DQ，121，即t（t3）1，解得t，當t時，t22t3，當t時，t22t3，Q點坐標為（，）或（，）；綜上可知Q點坐標為（1，4）或（，）或（，）7如圖，在平面直角坐標系中，直線y44與拋物線y2交于A、B兩點（1）直線總經(jīng)過定點，請直接寫出該定點的坐標；（2）點P在拋物線上，當時，解決下列問題：在直線AB下方的拋物線上求點P，使得PAB的面積等于20；連接OA，OB，OP，作PC軸于點C，若POC和ABO相似，請直接寫出點P的坐標【分析】（1）變形為不定方程（4）y4，然后根據(jù)為任意不為0的實數(shù)得到40，y40，然后求出、y即可得到定點的坐標；（2）通過解方程組得A（6，3）、B（4，8）

10、；如圖1，作PQy軸，交AB于點Q，設P（，2），則Q（，6），則PQ（6）（2），利用三角形面積公式得到SPAB（1）220，然后解方程求出即可得到點P的坐標；設P（，2），如圖2，利用勾股定理的逆定理證明AOB90，根據(jù)三角形相似的判定，由于AOBPCO，則當時，CPOOAB，即；當時，CPOOBA，即，然后分別解關于的絕對值方程即可得到對應的點P的坐標【解答】解：（1）y44（4）4，即（4）y4，而為任意不為0的實數(shù)，40，y40，解得4，y4，直線過定點（4，4）；（2）當時，直線解析式為y6，解方程組得或，則A（6，3）、B（4，8）；如圖1，作PQy軸，交AB于點Q，設P（，2），則Q（，6），PQ（6）（2）（1）2，SPAB（64）PQ（1）220，解得12，24，點P的坐標為（4，0）或（2，3）；設P（，2），如圖2，由題意得：AO3，BO4，AB5，AB2AO2BO2，AOB90，AOBPCO，當時，CPOOAB，即，整理得4|2|3|，解方程4（