專題22＋內(nèi)切球與外接球的解題策略（理）

1、PAGE21專題22內(nèi)切球與外接球的解題策略一【學習目標】1掌握球的表面積體積公式2掌握恢復(fù)長方體法求球的表面積及體積3掌握多面體與球問題4掌握外接球與內(nèi)切球的解法二【典例分析及訓練】（一）球相關(guān)問題例1已知A，B，C是球面上三點，且，球心O到平面ABC的距離等于該球半徑的，則此球的表面積為ABCD【答案】D【解析】求出三角形ABC的外心，利用球心到ABC所在平面的距離為球半徑的，求出球的半徑，即可求出球的表面積【詳解】由題意AB6，BC8，AC10，6282102，可知三角形是直角三角形，三角形的外心是AC的中點，球心到截面的距離就是球心與三角形外心的距離，設(shè)球的半徑為R，球心到ABC所在平

2、面的距離為球半徑的，所以R2（R）252，解得R2，球的表面積為4R2故選：D【點睛】本題考查球的表面積的計算，考查球的截面的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題練習1已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心）的外接球，點在線段上，且，過點作球的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（）ABCD【答案】B【解析】先利用等邊三角形中心的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理計算得球的半徑，過的最大截面是經(jīng)過球心的截面，可由球的半徑計算得出過最小的截面是和垂直的截面，先計算得的長度，利用勾股定理計算得這個截面圓的半徑，網(wǎng)【點睛】本小題主要考查幾何體外接球的問題，考查過一點球的截面面積的最大值和最小值問題，屬于中檔題的圓面

3、，球心到這個圓面的距離是4cm，則該球的體積是Acm3Bcm3Ccm3Dcm3【答案】C【解析】設(shè)球心為，截面圓心為，連結(jié)，由球的截面圓性質(zhì)和勾股定理，結(jié)合題中數(shù)據(jù)算出球半徑，再利用球的表面積和體積公式即可算出答案【詳解】設(shè)球心為，截面圓心為，連結(jié)，則截面圓中，球半徑，因此球體積，故選C【點睛】本題著重考查了球的截面圓性質(zhì)、球的體積公式等知識，通過軸截面圖得到球的半徑是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題（二）多球外切問題例2把三個半徑都是1的球放在桌面上，使它兩兩外切，然后在它們上面放上第四個球，使它與下邊的三個都相切，則第四個球的最高點與桌面的距離為（）ABCD4【答案】C【解析】先求四個球心連線是正三

4、棱錐的高，而第四個球的最高點與桌面的距離即為高加上兩個半徑，從而求出所求【詳解】四個球心連線是正三棱錐棱長均為2ED=，OD=ED=，AO=第四個球的最高點與桌面的距離為OA加上兩個半徑即2故選：C【點睛】本題主要考查了由4個相同球外切時的球心連線構(gòu)成一個正四面體，頂點到底面的距離，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，以及計算能力，屬于中檔題練習現(xiàn)有兩個半徑為2的小球和兩個半徑為3的小球兩兩相切，若第五個小球和它們都相切，則這個小球的半徑是（）ABCD【答案】A【解析】如圖所示，A,B是半徑為2的球的球心，C,D是半徑為3的球的球心，O是第五個球的球心由題得,，因為平面BEC，所以在直角AEO中，故選

5、A點睛：本題的難點在于畫圖和從線面關(guān)系里找到方程所以首先要把圖畫得直觀，再從幾何圖里找到線面關(guān)系利用解三角形的知識列出方程練習3已知有半徑分別為2、3的球各兩個，且這四個球彼此相外切，現(xiàn)有一個球與此四個球都相外切，則此球的半徑為_【答案】【解析】思路分析：結(jié)合圖形，分析四個球的球心A、B、C、D的位置，知AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、CD中點為F，連接EF在ABF中可得，在EBF中可得由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連接OA、OD設(shè)第五個球的半徑為r，根據(jù)OEOF=EF建立的方程如圖，設(shè)四個球的球心分別為A、B、C、D，則AD=AC=BD=BC=5，AB=6，CD=、C

6、D中點為F，連接EF在ABF中求得BF=，在EBF中求得EF=由于對稱性可得第五個球的球心O在EF上，連接OA、OD設(shè)第五個球的半徑為r，則OA=r3，OD=r2，于是OE=，OF=，OEOF=EF，平方整理再平方得，解得或（舍掉），故答案為點評：本題通過分析球心的位置，根據(jù)它們構(gòu)成的幾何體特征，轉(zhuǎn)化成平面幾何中三角形邊角關(guān)系，利用方程思想得解（三）多面體的最值與球問題，B，C，D在同一個球的球面上，若四面體ABCD體積的最大值為，則這個球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】根據(jù)題意，畫出示意圖，結(jié)合三角形面積及四面積體積的最值，判斷頂點D的位置；然后利用勾股定理及球中的線段關(guān)系即可求得球

7、的半徑，進而求得球的面積?！驹斀狻扛鶕?jù)題意，畫出示意圖如下圖所示因為，所以三角形ABC為直角三角形，面積為，其所在圓面的小圓圓心在斜邊AC的中點處，設(shè)該小圓的圓心為Q因為三角形ABC的面積是定值，所以當四面體ABCD體積取得最大值時，高取得最大值即當DQ平面ABC時體積最大所以所以設(shè)球心為O，球的半徑為R，則即解方程得所以球的表面積為所以選D【點睛】本題考查了空間幾何體的外接球面積的求法，主要根據(jù)題意，正確畫出圖形并判斷點的位置，屬于難題。練習1三棱錐中，互相垂直，是線段上一動點，若直線與平面所成角的正切的最大值是，則三棱錐的外接球的表面積是（）ABCD【答案】B三棱錐擴充為長方體，則長方體的

8、對角線長為，三棱錐的外接球的半徑為，三棱錐的外接球的表面積為選B點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法1求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解2若球面上四點構(gòu)成的三條線段兩兩互相垂直，且，一般把有關(guān)元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用求解（四）多面體放入球中求球的表面積和體積的球面上，若ABC是邊長為的等邊三角形，C1C=，則球O的表面積為ABCD【答案】D【解析】根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，現(xiàn)求得三棱柱的底面正三角形的外接圓的半徑，在利用勾股定理求得外接球的半徑，利用球的表面積公式，即

9、可求解【詳解】由題意，設(shè)三棱柱的底面是邊長為的等邊三角形，設(shè)其外接圓的半徑為，由正弦定理可得，即又由三棱柱的側(cè)棱長為，所以三棱柱的外接球的半徑，所以外接球的表面積為，故選D【點睛】本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑錐的三視圖如下圖所示,則該棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】A【解析】分析：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點且

10、垂直于平面的直線上，可知是直線與面的交點，也是直線與直線的交點沒有此可求三棱錐外接球的半徑，得到棱錐的外接球的表面積詳解：由三視圖可知該幾何體是如圖所示的三棱錐，外接球球心在過中點且垂直于平面的直線上，又點到距離相等，點又在線段的垂直平分面上，故是直線與面的交點，可知是直線與直線的交點（分別是左側(cè)正方體對棱的中點），故三棱錐外接球的半徑，表面積為故選A點睛：本題考查了三棱錐的性質(zhì)、空間幾何位置關(guān)系、三垂線定理、球的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題練習2如圖，在底面為矩形的四棱錐中，平面，分別為棱，上一點，已知，且平面，四面體的每個頂點都在球的表面上，則球的表面積為（）ABCD【答案】

11、C【解析】在棱CD上取一點H,使得HD=1,平面BCE,又平面BCE，平面平面BCE，又平面平面ABCD=GH,平面平面ABCD=BC,=HD=1,故四面體可以補成一個長方體，且長，寬，高分別為4，1，1，所以球的表面積為點睛：本題考查了球與幾何體的問題，一般外接球需要求球心和半徑，首先應(yīng)確定球心的位置，借助于外接球的性質(zhì)，球心到各頂點距離相等，這樣可先確定幾何體中部分點組成的多邊形的外接圓的圓心，過圓心且垂直于多邊形所在平面的直線上任一點到多邊形的頂點的距離相等，然后同樣的方法找到另一個多邊形的各頂點距離相等的直線（這兩個多邊形需有公共點），這樣兩條直線的交點，就是其外接球的球心，再根據(jù)半徑

12、，頂點到底面中心的距離，球心到底面中心的距離，構(gòu)成勾股定理求解，有時也可利用補體法得到半徑，例：三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，可以補成長方體，它們是同一個外接球練習3知圓和圓是球的大圓和小圓，其公共弦長為球半徑的倍，且圓和圓所在平面所成的二面角是，則圓的半徑為（）ABCD【答案】D【解析】設(shè)公共弦中點為N，則選D點睛:求解球問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關(guān)系求解練習4三棱錐中，側(cè)棱底面，則該三棱錐的外接球的表面積為（）ABCD【答案】B點睛：本題考查的知識點是球內(nèi)接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關(guān)鍵練習5三棱

13、錐中，平面，是邊長為2的等邊三角形，則該幾何體外接球的表面積為（）ABCD【答案】D【解析】設(shè)三角形和三角形的中心分別為，是球心，連接交于，則是平行四邊形，外接球半徑所以表面積為故選D（五）內(nèi)切球問題例5已知，四點均在以點為球心的球面上，且，若球在球內(nèi)且與平面相切，則球直徑的最大值為A1B2C4D8【答案】D【解析】如圖所示:取CD的中點O,連接AO,BO,如圖，因為BC=BD=，,所以因為，所以AOCD,且AO=2，又因為OD=4，BO=4，所以故AOOB，又BOCD=O,所以AO平面BCD,所以在AO上，連接,設(shè)則即解之得R=5，球的直徑最大時，球與平面BCD相切且與球內(nèi)切，A,O,四點共

14、線，此時球的直徑為R=點睛：本題是一個難題，只有通過計算，認清以A,B,C,D為頂點的三棱錐的圖形特征，正確判斷球心的位置，借助方程求出球的半徑，直觀判斷球心的位置，才能迎刃而解練習1一光源在桌面的正上方，半徑為的球與桌面相切，且與球相切，小球在光源的中心投影下在桌面產(chǎn)生的投影為一橢圓，如圖所示，形成一個空間幾何體，且正視圖是，其中，則該橢圓的長軸長為_【答案】8正視圖為內(nèi)切一個圓,且r=2,的半徑，然后根據(jù)勾股定理求出OM的長，找出二面角的平面角，從而求出ON長，最后應(yīng)用勾股定理確定圓N的半徑詳解：如圖，過圓心的平面與的夾角為且平面截球的球面得圓點睛：本題考查球截面與二面角問題，球半徑為，球

15、截面圓的半徑為，球心到截面距離為，滿足練4表面積為的球面上有四點，且是邊長為的等邊三角形，若平面平面，則三棱錐體積的最大值是_【答案】（七）恢復(fù)長方體法求外接球半徑例7已知正三棱錐，點都在半徑為的球面上，若兩兩互相垂直，則球心到截面的距離為（）ABCD【答案】C【解析】如圖,設(shè),球心到平面的距離,則,由圖形可得,所以,即；又,即,由此可得,解之得或,應(yīng)選C（八）外接球問題中截面圓妙用例8已知三棱錐的四個頂點均在某個球面上，為該球的直徑，是邊長為4的等邊三角形，三棱錐的體積為，則此三棱錐的外接球的表面積為_【答案】【解析】分析：根據(jù)題意作出圖形，欲求球的表面積，只需求出球的半徑，利用截面圓的性質(zhì)

16、，即可求出，進而求出底面上的高，即可得到三棱錐的體積，從而建立關(guān)系式求得的值，即可得到求得表面積詳解：根據(jù)題意作出圖形，如圖所示，設(shè)球心為，球的半徑為，過三點的小圓的圓心為，則平面，延長交球于點，則平面，因為，所以，所以高，又由為邊長為4的等邊三角形，所以，所以三棱錐的體積為，解得，所以外接球的表面積為點睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，以及三棱錐的體積的求法，解答時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，根據(jù)勾股定理列出方程求解球的半徑練習1若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上，SA平面ABC，SA=2,AB=1,AC=2,BAC=60,則球O的表面積_【答案】16【解析】如圖所示，三棱錐的所有頂點都在球的表面上，以為平面，所以，所以，所以截球所得的圓的半徑為,所以球的半徑為，所以的表面積為點睛：點睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，解答時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接