(新高考)高考數學一輪復習課件第1章§1.4《基本不等式》(含解析)

1、第一章考試要求1.了解基本不等式的推導過程.2.會用基本不等式解決簡單的最值問題.3.理解基本不等式在實際問題中的應用.落實主干知識課時精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI 落實主干知識1.基本不等式：(1)基本不等式成立的條件： .(2)等號成立的條件：當且僅當 時，等號成立.(3)其中 叫做正數a，b的算術平均數， 叫做正數a，b的幾何平均數.a0，b0ab2.幾個重要的不等式(1)a2b2 (a，bR).(2) (a，b同號).(3)ab (a，bR).(4) (a，bR).以上不等式等號成立的條件均為ab.2ab23.利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正數，如果積

2、xy等于定值P，那么當xy時，和xy有最小值 .(2)已知x，y都是正數，如果和xy等于定值S，那么當xy時，積xy有最大值 . 注意：利用不等式求最值應滿足三個條件“一正、二定、三相等”.判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(3)若x0，y0且xyxy，則xy的最小值為4.()x2，2.(多選)若a，bR，則下列不等式成立的是當ab0時，D不成立.3.若把總長為20 m的籬笆圍成一個矩形場地，則矩形場地的最大面積是_ m2.25設矩形的一邊為x m，面積為y m2，其中0 x10，當且僅當x10 x，即x5時，等號成立，ymax25，即矩形場地的最大面積是25 m2.TANJIUH

3、EXINTIXING探究核心題型命題點1配湊法例1(1)(2022長沙模擬)設0 x1，則x10，所以函數的最小值為9.命題點2常數代換法因為a0，b0，且ab2，命題點3消元法例3(2022煙臺模擬)已知x0，y0，x3yxy9，則x3y的最小值為_.6方法一(換元消元法)即(x3y)212(x3y)1080，令x3yt，則t0且t212t1080，得t6，即x3y的最小值為6.方法二(代入消元法)所以x3y的最小值為6.延伸探究本例條件不變，求xy的最大值.t0，當且僅當x3y，即x3，y1時取等號，xy的最大值為3.xy的最大值為3.教師備選1.(2022哈爾濱模擬)已知x0，y0，且2

4、x8yxy0，則當xy取得最小值時，y等于A.16 B.6C.18 D.12因為x0，y0,2x8yxy，所以當xy取得最小值時，y6.2.已知函數f(x) (x1)，則A.f(x)有最小值4B.f(x)有最小值4C.f(x)有最大值4D.f(x)有最大值4因為x1，所以x10，故f(x)有最小值4.思維升華(1)前提：“一正”“二定”“三相等”.(2)要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式.(3)條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數“1”代換的方法；三是消元法.跟蹤訓練1(1)已知函數f(x) x(2x1)，則f(x)的最小

5、值為_.4令x1m,2y1n，則m0，n0且mnx12y11，例4(1)(2022寧波模擬)幾何原本卷2的幾何代數法(以幾何方法研究代數問題)成了后世西方數學家處理問題的重要依據，通過這一原理，很多的代數的公理或定理都能夠通過圖形實現證明，也稱之為無字證明.現有如圖所示圖形，點F在半圓O上，點C在直徑AB上，且OFAB，設ACa，BCb，則該圖形可以完成的無字證明為題型二基本不等式的常見變形應用在RtOCF中，由勾股定理可得，CFOF，對于選項A，因為0a1，所以(ab)2a22abb24ab，故選項A錯誤；對于選項D,2a22b2a22abb2(ab)2，教師備選a2b22ab，所以A錯誤；

6、ab0，只能說明兩實數同號，同為正數，或同為負數，所以當a0，bb0，命題q： ，則p是q成立的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件ab0，則a2b22ab，2(a2b2)a2b22ab，2(a2b2)(ab)2，由p可推出q，當a0，b0時，命題q成立，由q推不出p，p是q成立的充分不必要條件.(2)(2022漳州質檢)已知a，b為互不相等的正實數，則下列四個式子中最大的是a，b為互不相等的正實數，例5小王于年初用50萬元購買了一輛大貨車，第一年因繳納各種費用需支出6萬元，從第二年起，每年都比上一年增加支出2萬元，假定該車每年的運輸收入均為25萬元.小王在

7、該車運輸累計收入超過總支出后，考慮將大貨車作為二手車出售，若該車在第x年年底出售，其銷售價格為(25x)萬元(國家規(guī)定大貨車的報廢年限為10年).(1)大貨車運輸到第幾年年底，該車運輸累計收入超過總支出？題型三基本不等式的實際應用設大貨車運輸到第x年年底，該車運輸累計收入與總支出的差為y萬元，則y25x6xx(x1)50 x220 x50(0 x10，xN*)，所以大貨車運輸到第3年年底，該車運輸累計收入超過總支出.(2)在第幾年年底將大貨車出售，能使小王獲得的年平均利潤最大？(利潤累計收入銷售收入總支出)因為利潤累計收入銷售收入總支出，所以二手車出售后，所以小王應當在第5年年底將大貨車出售，

8、能使小王獲得的年平均利潤最大.教師備選某高級中學高二年級部為了更好的督促本年級學生養(yǎng)成節(jié)約用水、珍惜糧食、愛護公物的良好習慣，現要設計如圖所示的一張矩形宣傳海報，該海報含有大小相等的左中右三個矩形欄目，這三欄的面積之和為60 000 cm2，四周空白的寬度為10 cm，欄與欄之間的中縫空白的寬度為5 cm.怎樣確定矩形欄目高與寬的尺寸，能使整個矩形海報面積最小，其最小值是_ cm2.72 600設矩形欄目的高為a cm，寬為b cm，由題意可得3ab60 000，所以該海報的高為(a20)cm，寬為(3b10252)cm，即(3b30)cm，所以整個矩形海報面積S(a20)(3b30)3ab3

9、0a60b600所以當廣告欄目的高為200 cm，寬為100 cm時，能使整個矩形海報面積最小，其最小值是72 600 cm2.思維升華利用基本不等式求解實際問題時，要根據實際問題，設出變量，注意變量應滿足實際意義，抽象出目標函數的表達式，建立數學模型，再利用基本不等式求得函數的最值.跟蹤訓練3網店和實體店各有利弊，兩者的結合將在未來一段時期內，成為商業(yè)的一個主要發(fā)展方向.某品牌行車記錄儀支架銷售公司從2021年10月起開展網絡銷售與實體店體驗安裝結合的銷售模式.根據幾個月運營發(fā)現，產品的月銷量x萬件與投入實體店體驗安裝的費用t萬元之間滿足函數關系式x3 .已知網店每月固定的各種費用支出為3萬

10、元，產品每1萬件進貨價格為32萬元，若每件產品的售價定為“進貨價的150%”與“平均每件產品的實體店體驗安裝費用的一半”之和，則該公司最大月利潤是_萬元.37.5即最大月利潤為37.5萬元.拓展視野柯西不等式柯西不等式是法國著名的數學家、物理學家、天文學家柯西(Cauchy,17891857)發(fā)現的，故命名為柯西不等式.柯西不等式是數學中一個非常重要的不等式，除了用柯西不等式來證明一些不等式成立外，柯西不等式還常用于選擇、填空求最值的問題中，借助柯西不等式的技巧可以達到事半功倍的效果.1.(柯西不等式的代數形式)設a，b，c，d均為實數，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adb

11、c時，等號成立.推廣一般情形：設a1，a2，an，b1，b2，bnR，(當且僅當bi0(i1,2，n)或存在一個實數k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立).2.(柯西不等式的向量形式)設，為平面上的兩個向量，則|，當且僅當是零向量，或存在實數k，使k時，等號成立.一、利用柯西不等式求最值例1已知x，y滿足x3y4，則4x2y2的最小值為_.當且僅當y12x時，等號成立，例2已知正實數x，y，z滿足x2y2z21，正實數a，b，c滿足a2b2c29，則axbycz的最大值為_.3(axbycz)2(a2b2c2)(x2y2z2)9，axbycz3，當且僅當a3x，b3y，c3z時取“”

12、，axbycz的最大值為3.二、利用柯西不等式證明不等式例4已知a1，a2，b1，b2為正實數，求證：(a1b1a2b2) (a1a2)2.當且僅當b1b2時，等號成立.例5已知a1，a2，an都是實數，求證：KESHIJINGLIAN 課時精練1.下列函數中，最小值為2的是基礎保分練1234567891011121314151612345678910111213141516即x21時取等號，x21，故B錯誤；12345678910111213141516當且僅當exex，即x0時取等號，故C正確；當x(0,1)時，ylog3x2，y1，(x2)(y1)4，則xy的最小值是A.1 B.4C.7

13、 D.3x2，y1，(x2)(y1)4，12345678910111213141516123456789101112131415165.已知不等式(xy) 9對任意正實數x，y恒成立，則正實數a的最小值為A.2 B.4C.6 D.8即正實數a的最小值為4.123456789101112131415166.(2022湖南五市十校聯考)原油作為“工業(yè)血液”“黑色黃金”，其價格的波動牽動著整個化工產業(yè)甚至世界經濟.小李在某段時間內共加油兩次，這段時間燃油價格有升有降，現小李有兩種加油方案：第一種方案是每次加油40升，第二種方案是每次加油200元，則下列說法正確的是A.第一種方案更劃算 B.第二種方案

14、更劃算C.兩種方案一樣 D.無法確定1234567891011121314151612345678910111213141516設小李這兩次加油的油價分別為x元/升、y元/升(xy)，則方案一：兩次加油平均價格為方案二：兩次加油平均價格為故無論油價如何起伏，方案二比方案一更劃算.123456789101112131415167.(多選)(2022重慶渝中區(qū)模擬)已知正實數a，b滿足a0，b0，且ab1，則下列不等式成立的有12345678910111213141516當且僅當ab時取等號，A正確；a2b20，b0，ab1，0a0，b0，則下列不等式中一定成立的是1234567891011121

15、3141516因為a0，b0，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151620 x0，b0，且a2b2ab，則ab的最小值為_，2ab的最小值為_.2a2b2ab，當且僅當a2b，即b1，a2時等號成立，故ab的最小值為2.a2b2ab，12345678910111213141516123456789101112131415161234567891011121314151611.(2022郴州模擬)習近平同志提出：鄉(xiāng)村振興，人才是關鍵，要積極培養(yǎng)本土人才，鼓勵外出能人返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè).為鼓勵返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，某鎮(zhèn)政府

16、決定投入“創(chuàng)業(yè)資金”和開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”幫扶返鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)人員.預計該鎮(zhèn)政府每年投入的“創(chuàng)業(yè)資金”構成一個等差數列an(單位：萬元，nN*)，每年開展“創(chuàng)業(yè)技術培訓”投入的資金為第一年創(chuàng)業(yè)資金a1的3倍，已知 72.則預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為_萬元.12012345678910111213141516由題意得，五年累計總投入資金為a1a2a3a4a553a15a315a15(a33a1)10(a1a2)，當且僅當a1a2時等號成立，預計該鎮(zhèn)政府幫扶五年累計總投入資金的最大值為120萬元.1234567891011121314151612.已知p：存在實數x，使4x2xm10成立，若綈p是假命題，則實數m的取值范圍是_.(，212345678910111213141516綈p為假命題，p為真命題，即關于x的方程4x2xm10有解.由4x2xm10，m的取值范圍為(，2.技能提升練1234567891011121314151613.(2022合肥質檢)若ABC的內角滿足sin Bsin C2sin A，則A.A的最大值為B.A的最大值為C.A的最小值為D.A的最小值為sin Bsin C2sin A.bc2a.由余弦定理知當且僅當bc時取等號.又A(0，)，1234567891011121314151614.(2022南京模擬)若實數x，y滿足x2y2xy1，則xy的