(新高考)高考數學一輪復習課件第7章§7.3《空間點、直線、平面之間的位置關系》(含解析)

1、第七章考試要求1.借助長方體，在直觀認識空間點、直線、平面的位置關系的基礎上，抽象出 空間點、直線、平面的位置關系的定義.2.了解四個基本事實和一個定理，并能應用定理解決問題.落實主干知識課時精練探究核心題型LUOSHIZHUGANZHISHI 落實主干知識1.平面基本事實1：過 的三個點，有且只有一個平面.基本事實2：如果一條直線上的 在一個平面內，那么這條直線在這個平面內.基本事實3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有 過該點的公共直線.基本事實4：平行于同一條直線的兩條直線 .不在一條直線上兩個點一條平行2.“三個”推論推論1：經過一條直線和這條直線外一點，有且只有一個平

2、面.推論2：經過兩條 直線，有且只有一個平面.推論3：經過兩條 直線，有且只有一個平面.3.空間中直線與直線的位置關系相交共面直線 直線， 直線，異面直線：不同在 一個平面內，沒有公共點.平行相交平行任何4.空間中直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系有： 、 、_ 三種情況.5.空間中平面與平面的位置關系平面與平面的位置關系有 、 兩種情況.6.等角定理如果空間中兩個角的兩條邊分別對應平行，那么這兩個角 .直線在平面內直線與平面相交直線與平面平行平行 相交相等或互補7.異面直線所成的角(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經過空間任一點O分別作直線aa，bb，把直線a與b所成的角叫做異面直線

3、a與b所成的角(或夾角).(2)范圍： .判斷下列結論是否正確(請在括號中打“”或“”)(1)兩個平面，有一個公共點A，就說，相交于過A點的任意一條直線.()(2)兩兩相交的三條直線最多可以確定三個平面.()(3)如果兩個平面有三個公共點，那么這兩個平面重合.()(4)沒有公共點的兩條直線是異面直線.()1.(多選)如圖是一個正方體的展開圖，如果將它還原為正方體，則下列說法正確的是 A.AB與CD是異面直線B.GH與CD相交C.EFCDD.EF與AB異面把展開圖還原成正方體，如圖所示.還原后點G與C重合，點B與F重合，由圖可知ABC正確，EF與AB相交，故D錯.2.如果直線a平面，直線b平面.

4、且，則a與bA.共面B.平行C.是異面直線 D.可能平行，也可能是異面直線，說明a與b無公共點，a與b可能平行也可能是異面直線.3.如圖，在三棱錐ABCD中，E，F，G，H分別是棱AB，BC，CD，DA的中點，則(1)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為菱形；四邊形EFGH為菱形，EFEH，ACBDACBD.(2)當AC，BD滿足條件_時，四邊形EFGH為正方形.四邊形EFGH為正方形，EFEH且EFEH，ACBD且ACBDACBD且ACBD.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型例1如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點E，F分別是AB，AA1的中點，連接D1F，CE

5、.求證：(1)E，C，D1，F四點共面；題型一基本事實應用如圖所示，連接CD1，EF，A1B，E，F分別是AB，AA1的中點，又A1D1BC，A1D1BC，四邊形A1BCD1是平行四邊形，A1BCD1，EFCD1，EF與CD1能夠確定一個平面ECD1F，即E，C，D1，F四點共面.(2)CE，D1F，DA三線共點.四邊形CD1FE是梯形，CE與D1F必相交，設交點為P，則PCE，且PD1F，CE平面ABCD，D1F平面A1ADD1，P平面ABCD，且P平面A1ADD1.又平面ABCD平面A1ADD1AD，PAD，CE，D1F，DA三線共點.如圖所示，已知在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，

6、F分別為D1C1，C1B1的中點，ACBDP，A1C1EFQ.求證：(1)D，B，F，E四點共面；教師備選EF是D1B1C1的中位線，EFB1D1.在正方體ABCDA1B1C1D1中，B1D1BD，EFBD.EF，BD確定一個平面，即D，B，F，E四點共面.(2)若A1C交平面DBFE于R點，則P，Q，R三點共線.在正方體ABCDA1B1C1D1中，設平面A1ACC1為，平面BDEF為.QA1C1，Q.又QEF，Q，則Q是與的公共點，同理，P是與的公共點，PQ.又A1CR，RA1C.R，且R，則RPQ，故P，Q，R三點共線.思維升華共面、共線、共點問題的證明(1)證明共面的方法：先確定一個平面

7、，然后再證其余的線(或點)在這個平面內.(2)證明共線的方法：先由兩點確定一條直線，再證其他各點都在這條直線上.(3)證明共點的方法：先證其中兩條直線交于一點，再證其他直線經過該點.跟蹤訓練1(1)(多選)如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點，則這四個點共面的圖是對于A，PSQR，故P，Q，R，S四點共面；同理，B，C圖中四點也共面；D中四點不共面.(2)在三棱錐ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分別取E，F，G，H四點，如果EFHGP，則點PA.一定在直線BD上B.一定在直線AC上C.在直線AC或BD上D.不在直線AC上，也不在直線BD上如圖所示，因為EF平面ABC，HG

8、平面ACD，EFHGP，所以P平面ABC，P平面ACD.又因為平面ABC平面ACDAC，所以PAC.例2(1)下列推斷中，錯誤的是A.若M，M，l，則MlB.A，A，B，BABC.l，AlAD.A，B，C，A，B，C，且A，B，C不共線，重合題型二空間線面位置關系命題點1空間位置關系的判斷對于A，因為M，M，l，由基本事實3可知Ml，A對；對于B，A，A，B，B，故直線AB，AB，即AB，B對；對于C，若lA，則有l(wèi)，Al，但A，C錯；對于D，有三個不共線的點在平面，中，故，重合，D對.(2)已知在長方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是長方形A1B1C1D1與長方形BCC1B1的中心，

9、則下列說法正確的是A.直線MN與直線A1B是異面直線B.直線MN與直線DD1相交C.直線MN與直線AC1是異面直線D.直線MN與直線A1C平行如圖，因為M，N分別是長方形A1B1C1D1與長方形BCC1B1的中心，所以M，N分別是A1C1，BC1的中點，所以直線MN與直線A1B平行，所以A錯誤；因為直線MN經過平面BB1D1D內一點M，且點M不在直線DD1上，所以直線MN與直線DD1是異面直線，所以B錯誤；因為直線MN經過平面ABC1內一點N，且點N不在直線AC1上，所以直線MN與直線AC1是異面直線，所以C正確；因為直線MN經過平面A1CC1內一點M，且點M不在直線A1C上，所以直線MN與直

10、線A1C是異面直線，所以D錯誤.命題點2異面直線所成角例3(1)(2021全國乙卷)在正方體ABCDA1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為方法一如圖，連接C1P，因為ABCDA1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1PB1D1，又C1PBB1，所以C1P平面B1BP.又BP平面B1BP，所以C1PBP.連接BC1，則AD1BC1，所以PBC1為直線PB與AD1所成的角.設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，方法二如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角.根據P為正

11、方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點.如圖，過點S作SFOE，交AB于點F，連接CF，則CSF(或其補角)為異面直線SC與OE所成的角.SOOC，SOOC3，在等腰SCF中，1.(多選)設a，b，c是三條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論不正確的是A.若a，b，則a與b是異面直線B.若a與b異面，b與c異面，則a與c異面C.若a，b不同在平面內，則a與b異面D.若a，b不同在任何一個平面內，則a與b異面教師備選如圖，連接BD1，交DB1于O，取AB的中點M，連接DM，OM.易知O為BD1的中點，所以AD1OM，則MOD為異面直線AD

12、1與DB1所成角或其補角.于是在DMO中，由余弦定理，思維升華(1)點、直線、平面位置關系的判定，注意構造幾何體(長方體、正方體)模型來判斷，常借助正方體為模型.(2)求異面直線所成的角的三個步驟一作：根據定義作平行線，作出異面直線所成的角.二證：證明作出的角是異面直線所成的角.三求：解三角形，求出所作的角.跟蹤訓練2(1)如圖所示，G，N，M，H分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點，則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有_.(填序號)(2)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內，l2在平面內，l是平面與平面的交線，則下列結論正確的是A.l與l1，l2都不相交B.l與l1，l2都相交C.l至多

13、與l1，l2中的一條相交D.l至少與l1，l2中的一條相交如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故C不正確.圖1圖2A.三角形 B.四邊形C.五邊形 D.六邊形題型三空間幾何體的切割(截面)問題先確定截面上的已知邊與幾何體上和其共面的邊的交點，再確定截面與幾何體的棱的交點.如圖，設直線C1M，CD相交于點P，直線C1N，CB相交于點Q，連接PQ交直線AD于點E，交直線AB于點F，則五邊形C1MEFN為所求截面圖形. 如圖，設B1C1的中點為E，球面與棱BB1，CC1的交點分別為P，Q，連接DB，D1B1，D

14、1P，D1E，EP，EQ，由BAD60，ABAD，知ABD為等邊三角形，D1B1DB2，D1B1C1為等邊三角形，E為球面截側面BCC1B1所得截面圓的圓心，設截面圓的半徑為r，球面與側面BCC1B1的交線為以E為圓心的圓弧PQ.同理C1Q1，P，Q分別為BB1，CC1的中點，如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BC的中點，平面經過直線BD且與直線C1E平行，若正方體的棱長為2，則平面截正方體所得的多邊形的面積為_.教師備選如圖，過點B作BMC1E交B1C1于點M，過點M作BD的平行線，交C1D1于點N，連接DN，則平面BDNM即為符合條件的平面，由圖可知M，N分別為B1C1，C1D

15、1的中點，等腰梯形MNDB的高為梯形MNDB的面積為思維升華(1)作截面應遵循的三個原則：在同一平面上的兩點可引直線；凡是相交的直線都要畫出它們的交點；凡是相交的平面都要畫出它們的交線.(2)作交線的方法有如下兩種：利用基本事實3作交線；利用線面平行及面面平行的性質定理去尋找線面平行及面面平行，然后根據性質作出交線.跟蹤訓練3(1)(多選)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，已知平面AC1，則關于截此正方體所得截面的判斷正確的是A.截面形狀可能為正三角形B.截面形狀可能為正方形C.截面形狀可能為正六邊形D.截面面積最大值為易知A，C正確，B不正確，下面說明D正確，故D正確.(2)(202

16、2蘭州模擬)如圖，正方體A1C的棱長為1，點M在棱A1D1上，A1M2MD1，過M的平面與平面A1BC1平行，且與正方體各面相交得到截面多邊形，則該截面多邊形的周長為_.在平面A1D1DA中尋找與平面A1BC1平行的直線時，只需要MEBC1，如圖所示，因為A1M2MD1，故該截面與正方體的交點位于靠近D1，A，C的三等分點處，故可得截面為MIHGFE，設正方體的棱長為3a，又因為正方體A1C的棱長為1，即3a1，KESHIJINGLIAN 課時精練1.下列敘述錯誤的是A.若P，且l，則PlB.若直線abA，則直線a與b能確定一個平面C.三點A，B，C確定一個平面D.若Al，Bl且A，B，則l基

17、礎保分練1234567891011121314151612345678910111213141516選項A，點P是兩平面的公共點，當然在交線上，故正確；選項B，由基本事實的推論可知，兩相交直線確定一個平面，故正確；選項C，只有不共線的三點才能確定一個平面，故錯誤；選項D，由基本事實2，直線上有兩點在一個平面內，則這條直線在平面內.2.已知m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列判斷正確的是A.若m，n，則直線m與n可能相交或異面B.若，m，n，則直線m與n一定平行C.若m，n，則直線m與n一定垂直D.若m，n，則直線m與n一定平行1234567891011121314151612345

18、678910111213141516m，n是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，對于A，若m，n，則直線m與n相交垂直或異面垂直，故A正確；對于B，若，m，n，則直線m與n相交、平行或異面，故B錯誤；對于C，若m，n，則直線m與n相交、平行或異面，故C錯誤；對于D，若m，n，則直線m與n平行或異面，故D錯誤.3.(2022營口模擬)已知空間中不過同一點的三條直線a，b，l，則“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件1234567891011121314151612345678910111213141516空間中不過同一點

19、的三條直線a，b，l，若a，b，l在同一平面，則a，b，l相交或a，b，l有兩個平行，另一直線與之相交，或三條直線兩兩平行.所以a，b，l在同一平面，則a，b，l兩兩相交不一定成立；而若a，b，l兩兩相交，則a，b，l在同一平面成立.故“a，b，l兩兩相交”是“a，b，l共面”的充分不必要條件.4.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是平面ADD1A1的中心，M，N，F分別是B1C1，CC1，AB的中點，則下列說法正確的是12345678910111213141516設正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2a，作點E在平面ABCD內的射影點G，連接EG，GF，1234567891

20、0111213141516連接DE，因為E為平面ADD1A1的中心，又因為M，N分別為B1C1，CC1的中點，所以MNB1C，又因為B1CA1D，所以MNED，且DEEFE，所以MN與EF異面，故選項B錯誤.123456789101112131415165.(多選)(2022臨沂模擬)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O是DB的中點，直線A1C交平面C1BD于點M，則下列結論正確的是A.C1，M，O三點共線B.C1，M，O，C四點共面C.C1，O，B1，B四點共面D.D1，D，O，M四點共面1234567891011121314151612345678910111213141516OA

21、C，AC平面ACC1A1，O平面ACC1A1.OBD，BD平面C1BD，O平面C1BD，O是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，同理可得，點M和C1都是平面ACC1A1和平面C1BD的公共點，三點C1，M，O在平面C1BD與平面ACC1A1的交線上，即C1，M，O三點共線，故A，B正確；12345678910111213141516根據異面直線的判定定理可得BB1與C1O為異面直線，故C1，O，B1，B四點不共面，故C不正確；根據異面直線的判定定理可得DD1與MO為異面直線，故D1，D，O，M四點不共面，故D不正確.6.(多選)(2022廈門模擬)下列說法不正確的是A.兩組對邊分別相等的四

22、邊形確定一個平面B.和同一條直線異面的兩直線一定共面C.與兩異面直線分別相交的兩直線一定不平行D.一條直線和兩平行線中的一條相交，也必定和另一條相交1234567891011121314151612345678910111213141516兩組對邊分別相等的四邊形可能是空間四邊形，故A錯誤；如圖1，直線DD1與B1C1都是直線AB的異面直線，同樣DD1與B1C1也是異面直線，故B錯誤；圖1如圖2，設直線AB與CD是異面直線，則直線AC與BD一定不平行，否則ACBD，有AC與BD確定一個平面，則AC，BD，所以A，B，C，D，所以AB，CD，這與假設矛盾，故C正確；圖21234567891011

23、1213141516如圖1，ABCD，而直線AA1與AB相交，但與直線CD不相交，故D錯誤.圖17.(2022哈爾濱模擬)已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為_.1234567891011121314151612345678910111213141516如圖所示，補成直四棱柱ABCDA1B1C1D1，則所求角為BC1D或其補角，8.(2022本溪模擬)在空間中，給出下面四個命題，其中假命題為_.(填序號)過平面外的兩點，有且只有一個平面與平面垂直；若平面內有不共線三點到平面的距離都相等，則；若直線l與平面內的任意一條直

24、線垂直，則l；兩條異面直線在同一平面內的射影一定是兩條相交直線.12345678910111213141516對于，當平面外兩點的連線與平面垂直時，此時過兩點有無數個平面與平面垂直，所以不正確；對于，若平面內有不共線三點到平面的距離都相等，平面與可能平行，也可能相交，所以不正確；對于，直線l與平面內的任意直線垂直時，得到l，所以正確；對于，兩條異面直線在同一平面內的射影可能是兩條相交直線或兩條平行直線或直線和直線外的一點，所以不正確.123456789101112131415169.(2022上海市靜安區(qū)模擬)如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F分別是AB，CC1的中

25、點.(1)求異面直線A1E與D1F所成的角的余弦值；1234567891011121314151612345678910111213141516如圖，設BB1的中點為H，連接HF，EH，A1H，因為F是CC1的中點，所以A1D1CBHF，A1D1CBHF，因此四邊形A1D1FH是平行四邊形，所以D1FA1H，D1FA1H，因此EA1H是異面直線A1E與D1F所成的角或其補角，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為2，E是AB的中點，12345678910111213141516(2)求三棱錐A1D1EF的體積.123456789101112131415161234567891011121314

26、1516因為A1D1HF，HF平面A1D1E，A1D1平面A1D1E，所以HF平面A1D1E，因此點H，F到平面A1D1E的距離相等，即 ，所以三棱錐A1D1EF的體積為1.10.如圖，四棱柱ABCDA1B1C1D1的側棱AA1底面ABCD，四邊形ABCD為菱形，E，F分別為AA1，CC1的中點，M為AB上一點.(1)若D1E與CM相交于點K，求證D1E，CM，DA三條直線相交于同一點；1234567891011121314151612345678910111213141516D1E與CM相交于點K，KD1E，KCM，而D1E平面ADD1A1，CM平面ABCD，且平面ADD1A1平面ABCDA

27、D，KAD，D1E，CM，DA三條直線相交于同一點K.1234567891011121314151612345678910111213141516四邊形ABCD為菱形，AB2，BCCD2，而四棱柱的側棱AA1底面ABCD，CC1底面ABCD，又F是CC1的中點，CC14，CF2，BDAB2，12345678910111213141516設點D1到平面FBD的距離為h，點B到平面DD1F的距離為d，又 ，11.(多選)(2022太原模擬)如圖是正四面體的平面展開圖，G，H，M，N分別為DE，BE，EF，EC的中點，在這個正四面體中，下列結論正確的是 A.GH與EF平行B.BD與MN為異面直線C.

28、GH與MN成60角D.DE與MN垂直12345678910111213141516技能提升練12345678910111213141516如圖，還原成正四面體ADEF，其中H與N重合，A，B，C三點重合，連接GM，易知GH與EF異面，BD與MN異面.又GMH為等邊三角形，GH與MN成60角，易證DEAF，MNAF，MNDE.B，C，D正確.12.(多選)(2022廣州六校聯考)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是C1D1，BC，A1D1的中點，下列結論正確的是A.AP與CM是異面直線B.AP，CM，DD1相交于一點C.MNBD1D.MN平面BB1D1D1234567891

29、011121314151612345678910111213141516如圖，連接MP，AC，因為MPAC，MPAC，所以AP與CM是相交直線，又平面A1ADD1平面C1CDD1DD1，所以AP，CM，DD1相交于一點，則A不正確，B正確；令ACBDO，連接OD1，ON.因為M，N分別是C1D1，BC的中點，12345678910111213141516則四邊形MNOD1為平行四邊形，所以MNOD1，因為MN平面BB1D1D，OD1平面BB1D1D，所以MN平面BB1D1D，C不正確，D正確.13.(2022玉林模擬)在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F，P，Q分別為A1B，B1D1，A

30、1D，CD1的中點，則直線EF與PQ所成角的大小是_.12345678910111213141516如圖，連接A1C1，BC1，則F是A1C1的中點，又E為A1B的中點，所以EFBC1，連接DC1，則Q是DC1的中點，又P為A1D的中點，所以PQA1C1，于是A1C1B是直線EF與PQ所成的角或其補角.1234567891011121314151614.(2022鹽城模擬)在棱長為4的正方體ABCDA1B1C1D1中，P，Q分別為棱A1D1，CC1的中點，過P，Q，A作正方體的截面，則截面多邊形的周長是_.12345678910111213141516如圖所示，過Q作QMAP交BC于M，由A1PCQ2，tanAPA12，12345678910111213141516延長MQ交B1C1的延長線于E點，連接PE，交D1C1于N點，則多邊形AMQNP即為截面，根據平行線性質有C1ECM1，12345678910111213141516所以多邊形AMQNP的周長為AMMQQNNPPA15.(2022大連模擬)如圖，直四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，AA13，E，F分別是AB，BC的中點，過點D1，E，F的平面記為，則下列說法中錯誤