2021年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)真題試卷（解析版）

2021年湖北省荊州市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題(本大題共有10個小題，每小題3分，共30分)1．在實數(shù)﹣1，0，，中，無理數(shù)是（）A．﹣1 B．0 C． D．【分析】根據(jù)有理數(shù)（包括整數(shù)和分數(shù)）和無理數(shù)（無限不循環(huán)的小數(shù)）的定義判斷即可．【解答】解：選項A、B：∵﹣1、0是整數(shù)，∴﹣1、0是有理數(shù)，∴選項A、B不符合題意；選項C：∵是分數(shù)，∴是有理數(shù)，∴選項C不符合題意；選項D：∵是無限不循環(huán)的小數(shù)，∴是無理數(shù)，∴選項D符合題意．故選：D．2．如圖是由一個圓柱和一個長方體組成的幾何體，則該幾何體的俯視圖是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)俯視圖是從上邊看得到的圖形，可得答案．【解答】解：從上邊看，是一個矩形，矩形的內(nèi)部有一個與矩形兩邊相切的圓．故選：A．3．若等式2a2?a+□＝3a3成立，則□填寫單項式可以是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)3 D．a(chǎn)4【分析】直接利用單項式乘單項式以及合并同類項法則計算得出答案．【解答】解：∵等式2a2?a+□＝3a3成立，∴2a3+□＝3a3，∴□填寫單項式可以是：3a3﹣2a3＝a3．故選：C．4．閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯誤的是（）如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c．證明：①∵a⊥b（已知）∴∠1＝90°（垂直的定義）②又∵b∥c（已知）∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行）③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換）④∴a⊥c（垂直的定義）A．① B．② C．③ D．④【分析】根據(jù)垂直的定義得到∠1＝90°，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．【解答】證明：①∵a⊥b（已知），∴∠1＝90°（垂直的定義），②又∵b∥c（已知），∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等），③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換），∴a⊥c（垂直的定義），①～④步中數(shù)學(xué)依據(jù)錯誤的是②，故選：B．5．若點P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，則a的取值范圍在數(shù)軸上表示為（）A． B． C． D．【分析】由P點關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，得出不等式組，求出不等式組的解集，即可得出選項．【解答】解：∵點P（a+1，2﹣2a）關(guān)于x軸的對稱點在第四象限，∴點P在第一象限，∴，解得：﹣1＜a＜1，在數(shù)軸上表示為：，故選：C．6．已知：如圖，直線y1＝kx+1與雙曲線y2＝在第一象限交于點P（1，t），與x軸、y軸分別交于A，B兩點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A．t＝2 B．△AOB是等腰直角三角形 C．k＝1 D．當(dāng)x＞1時，y2＞y1【分析】利用待定系數(shù)法求得t，k，利用直線的解析式求得A，B的坐標，可得線段OA，OB的長度，利用圖象可以判斷函數(shù)值的大?。窘獯稹拷猓骸唿cP（1，t）在雙曲線y2＝上，∴t＝＝2，正確；∴A選項不符合題意；∴P（1，2）．∵P（1，2）在直線y1＝kx+1上，∴2＝k+1．∴k＝1，正確；∴C選項不符合題意；∴直線AB的解析式為y＝x+1令x＝0，則y＝1，∴B（0，1）．∴OB＝1．令y＝0，則x＝﹣1，∴A（﹣1，0）．∴OA＝1．∴OA＝OB．∴△OAB為等腰直角三角形，正確；∴B選項不符合題意；由圖像可知，當(dāng)x＞1時，y1＞y2．∴D選項不正確，符合題意．故選：D．7．如圖，矩形OABC的邊OA，OC分別在x軸、y軸的正半軸上，點D在OA的延長線上，若A（2，0），D（4，0），以O(shè)為圓心、OD長為半徑的弧經(jīng)過點B，交y軸正半軸于點E，連接DE，BE，則∠BED的度數(shù)是（）A．15° B．22.5° C．30° D．45°【分析】連接OB，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系可求出∠BOC＝30°，進而求出∠BOD＝60°最后再由圓周角定理得出答案．【解答】解：如圖，連接OB，∵A（2，0），D（4，0），矩形OABC，∴OA＝2，OD＝4＝OB，∴∠OBA＝30°，∴∠BOD＝90°﹣30°＝60°，∴∠BED＝∠BOD＝×60°＝30°，故選：C．8．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，點D，P分別是圖中所作直線和射線與AB，CD的交點．根據(jù)圖中尺規(guī)作圖痕跡推斷，以下結(jié)論錯誤的是（）A．AD＝CD B．∠ABP＝∠CBP C．∠BPC＝115° D．∠PBC＝∠A【分析】利用線段的垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理一一判斷即可．【解答】解：由作圖可知，點D在AC的垂直平分線上，∴DA＝DC，故選項A正確，∴∠A＝∠ACD＝40°，由作圖可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP＝∠CBP，故選項B正確，∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣40°）＝70°，∵∠PBC＝∠ABC＝35°，∠PCB＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，∴∠BPC＝180°﹣35°﹣30°＝115°，故選項C正確，若∠PBC＝∠A，則∠A＝36°，顯然不符合題意．故選：D．9．如圖，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，以B為圓心、BC長為半徑畫，點P為菱形內(nèi)一點，連接PA，PB，PC．當(dāng)△BPC為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為（）A． B． C．2π D．【分析】連接AC，延長AP，交BC于E，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出△ABC是等邊三角形，進而通過三角形全等證得AE⊥BC，從而求得AE、PE，利用S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC即可求得．【解答】解：連接AC，延長AP，交BC于E，在菱形ABCD中，∠D＝60°，AB＝2，∴∠ABC＝∠D＝60°，AB＝BC＝2，∴△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，在△APB和△APC中，，∴△APB≌△APC（SSS），∴∠PAB＝∠PAC，∴AE⊥BC，BE＝CE＝1，∵△BPC為等腰直角三角形，∴PE＝BC＝1，在Rt△ABE中，AE＝AB＝，∴AP＝﹣1，∴S陰影＝S扇形ABC﹣S△PAB﹣S△PBC＝﹣（﹣1）×1﹣＝π﹣，故選：A．10．定義新運算“※”：對于實數(shù)m，n，p，q．有[m，p]※[q，n]＝mn+pq，其中等式右邊是通常的加法和乘法運算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5+3×4＝22．若關(guān)于x的方程[x2+1，x]※[5﹣2k，k]＝0有兩個實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＜且k≠0 B．k C．k且k≠0 D．k≥【分析】先根據(jù)新定理得到k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，再整理為一般式，接著根據(jù)一元二次方程的定義和判別式的意義得到k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，然后解不等式即可．【解答】解：根據(jù)題意得k（x2+1）+（5﹣2k）x＝0，整理得kx2+（5﹣2k）x+k＝0，因為方程有兩個實數(shù)解，所以k≠0且△＝（5﹣2k）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．故選：C．二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)11．已知：a＝（）﹣1+（﹣）0，b＝（+）（﹣），則＝2．【分析】先計算出a，b的值，然后代入所求式子即可求得相應(yīng)的值．【解答】解：∵a＝（）﹣1+（﹣）0＝2+1＝3，b＝（+）（﹣）＝3﹣2＝1，∴＝＝＝2，故答案為：2．12．有兩把不同的鎖和四把鑰匙，其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，另外兩把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開任意一把鎖，一次打開鎖的概率是．【分析】隨機事件A的概率P（A）＝事件A可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)÷所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．【解答】解：由題意得，共有2×4＝8種等可能情況，其中能打開鎖的情況有2種，故一次打開鎖的概率為＝，故答案為：．13．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，連接OC，過點D作DF∥OC交AB于F，過點B的切線交AC的延長線于E．若AD＝4，DF＝，則BE＝．【分析】根據(jù)垂徑定理得到AD＝DC，根據(jù)三角形中位線定理求出OC，根據(jù)勾股定理求出OD，證明△AOD∽△AEB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．【解答】解：∵OD⊥AC，AD＝4，∴AD＝DC＝4，∵DF∥OC，DF＝，∴OC＝2DF＝5，在Rt△COD中，OD＝＝3，∵BE是⊙O的切線，∴AB⊥BE，∵OD⊥AD，∴∠ADO＝∠ABE，∵∠OAD＝∠EAB，∴△AOD∽△AEB，∴＝，即＝，解得：BE＝，故答案為：．14．如圖1是一臺手機支架，圖2是其側(cè)面示意圖，AB，BC可分別繞點A，B轉(zhuǎn)動，測量知BC＝8cm，AB＝16cm．當(dāng)AB，BC轉(zhuǎn)動到∠BAE＝60°，∠ABC＝50°時，點C到AE的距離為6.3cm．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位，參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，≈1.73）【分析】通過作垂線構(gòu)造直角三角形，在在Rt△ABM中，求出BM，在Rt△BCD中，求出BD，即可求出CN，從而解決問題．【解答】解：如圖，過點B、C分別作AE的垂線，垂足分別為M、N，過點C作CD⊥BM，垂足為D，在Rt△ABM中，∵∠BAE＝60°，AB＝16，∴BM＝sin60°?AB＝×16＝8（cm），∠ABM＝90°﹣60°＝30°，在Rt△BCD中，∵∠DBC＝∠ABC﹣∠ABM＝50°﹣30°＝20°，∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，又∵BC＝8，∴BD＝sin70°×8≈0.94×8＝7.52（cm），∴CN＝DM＝BM﹣BD＝8﹣7.52≈6.3（cm），即點C到AE的距離約為6.3cm，故答案為：6.3．15．若關(guān)于x的方程+＝3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為m＞﹣7且m≠﹣3．【分析】先解分式方程，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)和分式方程無意義的情況，即可得出m的取值范圍．【解答】解：原方程左右兩邊同時乘以（x﹣2），得：2x+m﹣（x﹣1）＝3（x﹣2），解得：x＝，∵原方程的解為正數(shù)且x≠2，∴，解得：m＞﹣7且m≠﹣3，故答案為：m＞﹣7且m≠﹣3．16．如圖，過反比例函數(shù)y＝（k＞0，x＞0）圖象上的四點P1，P2，P3，P4分別作x軸的垂線，垂足分別為A1，A2，A3，A4，再過P1，P2，P3，P4分別作y軸，P1A1，P2A2，P3A3的垂線，構(gòu)造了四個相鄰的矩形．若這四個矩形的面積從左到右依次為S1，S2，S3，S4，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，則S1與S4的數(shù)量關(guān)系為S1＝4S4．【分析】過雙曲線上任意一點、向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積S是個定值，S＝k，由OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，得出S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，即可得出S1＝4S4．【解答】解：∵過雙曲線上任意一點、向坐標軸作垂線所圍成的矩形面積S是個定值，OA1＝A1A2＝A2A3＝A3A4，∴S1＝k，S2＝k，S3＝k，S4＝k，∴S1＝4S4．故答案為：S1＝4S4．三、解答題(本大題共有8個小題，共72分)17．（8分）先化簡，再求值：÷（1+），其中a＝2．【分析】根據(jù)分式的加法和除法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題．【解答】解：÷（1+）＝÷＝＝，當(dāng)a＝2時，原式＝＝．18．（8分）已知：a是不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7的最小整數(shù)解，請用配方法解關(guān)于x的方程x2+2ax+a+1＝0．【分析】解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，所以最小整數(shù)解為﹣2，于是將a＝﹣2代入方程x2﹣4x﹣1＝0．利用配方法解方程即可．【解答】解：解不等式5（a﹣2）+8＜6（a﹣1）+7，得a＞﹣3，∴最小整數(shù)解為﹣2，將a＝﹣2代入方程x2+2ax+a+1＝0，得x2﹣4x﹣1＝0，配方，得（x﹣2）2＝5．直接開平方，得x﹣2＝±．解得x1＝2+，x2＝2﹣．19．（8分）如圖，在5×5的正方形網(wǎng)格圖形中，小正方形的邊長都為1，線段ED與AD的端點都在網(wǎng)格小正方形的頂點（稱為格點）上．請在網(wǎng)格圖形中畫圖：（1）以線段AD為邊畫正方形ABCD，再以線段DE為斜邊畫等腰直角三角形DEF，其中頂點F在正方形ABCD外；（2）在（1）中所畫圖形基礎(chǔ)上，以點B為其中一個頂點畫一個新正方形，使新正方形的面積為正方形ABCD和△DEF面積之和，其它頂點也在格點上．【分析】（1）根據(jù)正方形，等腰直角三角形的定義畫出圖形即可．（2）畫出邊長為的正方形即可．【解答】解：（1）如圖，正方形ABCD，△DEF即為所求．（2）如圖，正方形BKFG即為所求．20．（8分）高爾基說：“書，是人類進步的階梯．”閱讀可以啟智增慧，拓展視野，…為了解學(xué)生寒假閱讀情況，開學(xué)初學(xué)校進行了問卷調(diào)查，并對部分學(xué)生假期（24天）的閱讀總時間作了隨機抽樣分析．設(shè)被抽樣的每位同學(xué)寒假閱讀的總時間為t（小時），閱讀總時間分為四個類別：A（0≤t＜12），B（12≤t＜24），C（24≤t＜36），D（t≥36），將分類結(jié)果制成兩幅統(tǒng)計圖（尚不完整）．根據(jù)以上信息，回答下列問題：（1）本次抽樣的樣本容量為60；（2）補全條形統(tǒng)計圖；（3）扇形統(tǒng)計圖中a的值為20，圓心角β的度數(shù)為144°；（4）若該校有2000名學(xué)生，估計寒假閱讀的總時間少于24小時的學(xué)生有多少名？對這些學(xué)生用一句話提一條閱讀方面的建議．【分析】（1）根據(jù)D組的人數(shù)和百分比即可求出樣本容量；（2）根據(jù)C組所占的百分比即可求出C組的人數(shù)；（3）根據(jù)A組的人數(shù)即可求出A組所占的百分比，根據(jù)C組所占的百分比即可求出對應(yīng)的圓心角；（4）先算出低于24小時的學(xué)生的百分比，在估算出全校低于24小時的學(xué)生的人數(shù)．【解答】解：（1）本次抽樣的人數(shù)為（人），∴樣本容量為60，故答案為60；（2）C組的人數(shù)為40%×60＝24（人），統(tǒng)計圖如下：（3）A組所占的百分比為，∴a的值為20，β＝40%×360°＝144°，故答案為20，144°；（4）總時間少于24小時的學(xué)生的百分比為，∴全校寒假閱讀的總時間少于24小時的學(xué)生有2000×50%＝1000（名），建議：讀書是人類文明進步的階梯，建議每天讀書至少1小時．21．（8分）小愛同學(xué)學(xué)習(xí)二次函數(shù)后，對函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2進行了探究．在經(jīng)歷列表、描點、連線步驟后，得到如圖的函數(shù)圖象．請根據(jù)函數(shù)圖象，回答下列問題：（1）觀察探究：①寫出該函數(shù)的一條性質(zhì)：函數(shù)關(guān)于y軸對稱；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是﹣1＜a＜0．（2）延伸思考：將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象經(jīng)過怎樣的平移可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象？寫出平移過程，并直接寫出當(dāng)2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)圖象即可求得；（2）根據(jù)“上加下減”的平移規(guī)律，畫出函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象，根據(jù)圖象即可得到結(jié)論．【解答】解：（1）觀察探究：①該函數(shù)的一條性質(zhì)為：函數(shù)關(guān)于y軸對稱；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解為：x＝﹣2或x＝0或x＝2；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝a有四個實數(shù)根，則a的取值范圍是﹣1＜a＜0．故答案為函數(shù)關(guān)于y軸對稱；x＝﹣2或x＝0或x＝2；﹣1＜a＜0．（2）將函數(shù)y＝﹣（|x|﹣1）2的圖象向右平移2個單位，向上平移3個單位可得到函數(shù)y1＝﹣（|x﹣2|﹣1）2+3的圖象，當(dāng)2＜y1≤3時，自變量x的取值范圍是0＜x＜4．22．（10分）小美打算買一束百合和康乃馨組合的鮮花，在“母親節(jié)”祝福媽媽．已知買2支百合和1支康乃馨共需花費14元，3支康乃馨的價格比2支百合的價格多2元．（1）求買一支康乃馨和一支百合各需多少元？（2）小美準備買康乃馨和百合共11支，且百合不少于2支．設(shè)買這束鮮花所需費用為w元，康乃馨有x支，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計一種使費用最少的買花方案，寫出最少費用．【分析】（1）設(shè)買一支康乃馨需x元，買一支百合需y元，根據(jù)題意列方程組求解即可；（2）根據(jù)康乃馨和百合的費用之和列出函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和百合不少于2支求函數(shù)的最小值即可．【解答】解：（1）設(shè)買一支康乃馨需x元，買一支百合需y元，則根據(jù)題意得：，解得：，答：買一支康乃馨需4元，買一支百合需5元；（2）根據(jù)題意得：w＝4x+5（11﹣x）＝﹣x+55，∵百合不少于2支，∴11﹣x≥2，解得：x≤9，∵﹣1＜0，∴w隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝9時，w最小，即買9支康乃馨，買11﹣9＝2支百合費用最少，wmin＝﹣9+55＝46（元），答：w與x之間的函數(shù)關(guān)系式：w＝﹣x+55，買9支康乃馨，買2支百合費用最少，最少費用為46元．23．（10分）在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，F(xiàn)是對角線AC上不與點A，C重合的一點，過F作FE⊥AD于E，將△AEF沿EF翻折得到△GEF，點G在射線AD上，連接CG．（1）如圖1，若點A的對稱點G落在AD上，∠FGC＝90°，延長GF交AB于H，連接CH．①求證：△CDG∽△GAH；②求tan∠GHC．（2）如圖2，若點A的對稱點G落在AD延長線上，∠GCF＝90°，判斷△GCF與△AEF是否全等，并說明理由．【分析】（1）①由矩形的性質(zhì)和同角的余角相等證明△CDG與△GAH的兩組對應(yīng)角相等，從而證明△CDG∽△GAH；②由翻折得∠AGB＝∠DAC＝∠DCG，而tan∠DAC＝，可求出DG的長，進而求出GA的長，由tan∠GHC即∠GHC的對邊與鄰邊的比恰好等于相似三角形△CDG與△GAH的一組對應(yīng)邊的比，由此可求出tan∠GHC的值；（2）△GCF與△AEF都是直角三角形，由tan∠DAC＝可分別求出CG、AG、AE、EF、AF、CF的長，再由直角邊的比不相等判斷△GCF與△AEF不全等．【解答】（1）如圖1，①證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠GAH＝90°，∴∠DCG+∠DGC＝90°，∵∠FGC＝90°，∴∠AGH+∠DGC＝90°，∴∠DCG＝∠AGH，∴△CDG∽△GAH．②由翻折得∠EGF＝∠EAF，∴∠AGH＝∠DAC＝∠DCG，∵CD＝AB＝2，AD＝4，∴＝tan∠DAC＝＝，∴DG＝CD＝×2＝1，∴GA＝4﹣1＝3，∵△CDG∽△GAH，∴，∴tan∠GHC＝＝．（2）不全等，理由如下：∵AD＝4，CD＝2，∴AC＝＝，∵∠GCF＝90°，∴＝tan∠DAC＝，∴CG＝AC＝×2＝，∴AG＝＝5，∴EA＝AG＝，∴EF＝EA?tan∠DAC＝＝，∴AF＝＝，∴CF＝2