2020年上海市中考數(shù)學(xué)試卷（解析版）

第18頁（共18頁）2020年上海市中考數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題：（本大題共6題，每題4分，滿分24分）【下列各題的四個選項中，有且只有一個選項是正確的，選擇正確項的代號并填涂在答題紙的相應(yīng)位置上】1．（4分）下列二次根式中，與是同類二次根式的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，先化簡，再判斷．【解答】解：A.與的被開方數(shù)不相同，故不是同類二次根式；B.，與不是同類二次根式；C.，與被開方數(shù)相同，故是同類二次根式；D.，與被開方數(shù)不同，故不是同類二次根式．故選：C．【點評】此題主要考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．2．（4分）用換元法解方程+＝2時，若設(shè)＝y(tǒng)，則原方程可化為關(guān)于y的方程是（）A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0【分析】方程的兩個分式具備倒數(shù)關(guān)系，設(shè)＝y(tǒng)，則原方程化為y+＝2，再轉(zhuǎn)化為整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．【解答】解：把＝y(tǒng)代入原方程得：y+＝2，轉(zhuǎn)化為整式方程為y2﹣2y+1＝0．故選：A．【點評】考查了換元法解分式方程，換元法解分式方程時常用方法之一，它能夠把一些分式方程化繁為簡，化難為易，對此應(yīng)注意總結(jié)能用換元法解的分式方程的特點，尋找解題技巧．3．（4分）我們經(jīng)常將調(diào)查、收集得來的數(shù)據(jù)用各類統(tǒng)計圖進行整理與表示．下列統(tǒng)計圖中，能凸顯由數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的部分與整體的關(guān)系的是（）A．條形圖 B．扇形圖 C．折線圖 D．頻數(shù)分布直方圖【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖的特點判定即可．【解答】解：統(tǒng)計圖中，能凸顯由數(shù)據(jù)所表現(xiàn)出來的部分與整體的關(guān)系的是扇形圖，故選：B．【點評】本題考查了統(tǒng)計圖，熟練掌握各統(tǒng)計圖的特點是解題的關(guān)鍵．4．（4分）已知反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，﹣4），那么這個反比例函數(shù)的解析式是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝﹣【分析】已知函數(shù)圖象上一點的坐標(biāo)求反比例函數(shù)解析式，可先設(shè)出解析式y(tǒng)＝，再將點的坐標(biāo)代入求出待定系數(shù)k的值，從而得出答案．【解答】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為y＝，將（2，﹣4）代入，得：﹣4＝，解得k＝﹣8，所以這個反比例函數(shù)解析式為y＝﹣，故選：D．【點評】本題主要考查待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式要注意：（1）設(shè)出含有待定系數(shù)的反比例函數(shù)解析式y(tǒng)＝（k為常數(shù)，k≠0）；（2）把已知條件（自變量與函數(shù)的對應(yīng)值）帶入解析式，得到待定系數(shù)的方程；（3）解方程，求出待定系數(shù)；（4）寫出解析式．5．（4分）下列命題中，真命題是（）A．對角線互相垂直的梯形是等腰梯形 B．對角線互相垂直的平行四邊形是正方形 C．對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形 D．對角線平分一組對角的梯形是直角梯形【分析】利用特殊四邊形的判定定理對每個選項逐一判斷后即可確定正確的選項．【解答】解：A、對角線相等的梯形是等腰梯形，故錯誤；B、對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故錯誤；C、正確；D、對角線平分一組對角的梯形是菱形，故錯誤；故選：C．【點評】本題考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解特殊四邊形的判定定理，難度不大．6．（4分）如果存在一條線把一個圖形分割成兩個部分，使其中一個部分沿某個方向平移后能與另一個部分重合，那么我們把這個圖形叫做平移重合圖形．下列圖形中，平移重合圖形是（）A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．正六邊形 D．圓【分析】證明平行四邊形是平移重合圖形即可．【解答】解：如圖，平行四邊形ABCD中，取BC，AD的中點E，F(xiàn)，連接EF．∵四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFDC重合，∴平行四邊形ABCD是平移重合圖形，故選：A．【點評】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．二、填空題：（本大題共12題，每題4分，滿分48分）【請將結(jié)果直接填入答題紙的相應(yīng)位置上】7．（4分）計算：2a?3ab＝6a2b．【分析】根據(jù)單項式與單項式相乘，把他們的系數(shù)分別相乘，相同字母的冪分別相加，其余字母連同他的指數(shù)不變，作為積的因式，計算即可．【解答】解：2a?3ab＝6a2b．故答案為：6a2b．【點評】本題考查了單項式與單項式相乘，熟練掌握運算法則是解題的關(guān)鍵．8．（4分）已知f（x）＝，那么f（3）的值是1．【分析】根據(jù)f（x）＝，可以求得f（3）的值，本題得以解決．【解答】解：∵f（x）＝，∴f（3）＝＝1，故答案為：1．【點評】本題考查函數(shù)值，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用題目中新定義解答．9．（4分）已知正比例函數(shù)y＝kx（k是常數(shù)，k≠0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么y的值隨著x的值增大而減?。ㄌ睢霸龃蟆被颉皽p小”）【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．【解答】解：函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象經(jīng)過第二、四象限，那么y的值隨x的值增大而減小，故答案為：減?。军c評】此題主要考查了正比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握正比例函數(shù)的性質(zhì)：正比例函數(shù)y＝kx（k≠0）的圖象是一條經(jīng)過原點的直線，當(dāng)k＞0時，該直線經(jīng)過第一、三象限，且y的值隨x的值增大而增大；當(dāng)k＜0時，該直線經(jīng)過第二、四象限，且y的值隨x的值增大而減小．10．（4分）如果關(guān)于x的方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，那么m的值是4．【分析】一元二次方程有兩個相等的實根，即根的判別式△＝b2﹣4ac＝0，即可求m值．【解答】解：依題意，∵方程x2﹣4x+m＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4m＝0，解得m＝4，故答案為：4．【點評】此題主要考查的是一元二次方程的根判別式，當(dāng)△＝b2﹣4ac＝0時，方程有兩個相等的實根，當(dāng)△＝b2﹣4ac＞0時，方程有兩個不相等的實根，當(dāng)△＝b2﹣4ac＜0時，方程無實數(shù)根．11．（4分）如果從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任意選取一個數(shù)，那么取到的數(shù)恰好是5的倍數(shù)的概率是．【分析】根據(jù)從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任意選取一個數(shù)，得出是5的倍數(shù)的數(shù)據(jù)，再根據(jù)概率公式即可得出答案．【解答】解：∵從1，2，3，4，5，6，7，8，9，10這10個數(shù)中任意選取一個數(shù)，是5的倍數(shù)的有：5，10，∴取到的數(shù)恰好是5的倍數(shù)的概率是＝．故答案為：．【點評】此題主要考查了概率公式，概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比求出是解決問題的關(guān)鍵．12．（4分）如果將拋物線y＝x2向上平移3個單位，那么所得新拋物線的表達式是y＝x2+3．【分析】直接根據(jù)拋物線向上平移的規(guī)律求解．【解答】解：拋物線y＝x2向上平移3個單位得到y(tǒng)＝x2+3．故答案為：y＝x2+3．【點評】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通?？衫脙煞N方法：一是求出原拋物線上任意兩點平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點坐標(biāo)，即可求出解析式．13．（4分）為了解某區(qū)六年級8400名學(xué)生中會游泳的學(xué)生人數(shù)，隨機調(diào)查了其中400名學(xué)生，結(jié)果有150名學(xué)生會游泳，那么估計該區(qū)會游泳的六年級學(xué)生人數(shù)約為3150名．【分析】用樣本中會游泳的學(xué)生人數(shù)所占的比例乘總?cè)藬?shù)即可得出答案．【解答】解：8400×＝3150（名）．答：估計該區(qū)會游泳的六年級學(xué)生人數(shù)約為3150名．故答案為：3150名．【點評】本題主要考查樣本估計總體，熟練掌握樣本估計總體的思想及計算方法是解題的關(guān)鍵．14．（4分）《九章算術(shù)》中記載了一種測量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點E，如果測得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么井深A(yù)C為7米．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），答：井深A(yù)C為7米．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，AC、BD是平行四邊形ABCD的對角線，設(shè)＝，＝，那么向量用向量、表示為2+．【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則求解即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∴＝＝，∵＝+＝+，∴＝＝+，∵＝+，∴＝++＝2+，故答案為：2+．【點評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形法則等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．16．（4分）小明從家步行到學(xué)校需走的路程為1800米．圖中的折線OAB反映了小明從家步行到學(xué)校所走的路程s（米）與時間t（分鐘）的函數(shù)關(guān)系，根據(jù)圖象提供的信息，當(dāng)小明從家出發(fā)去學(xué)校步行15分鐘時，到學(xué)校還需步行350米．【分析】當(dāng)8≤t≤20時，設(shè)s＝kt+b，將（8，960）、（20，1800）代入求得s＝70t+400，求出t＝15時s的值，從而得出答案．【解答】解：當(dāng)8≤t≤20時，設(shè)s＝kt+b，將（8，960）、（20，1800）代入，得：，解得：，∴s＝70t+400；當(dāng)t＝15時，s＝1450，1800﹣1450＝350，∴當(dāng)小明從家出發(fā)去學(xué)校步行15分鐘時，到學(xué)校還需步行350米，故答案為：350．【點評】本題主要考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，從實際問題中抽象出一次函數(shù)的模型，并熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式．17．（4分）如圖，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，點D在邊BC上，CD＝3，聯(lián)結(jié)AD．如果將△ACD沿直線AD翻折后，點C的對應(yīng)點為點E，那么點E到直線BD的距離為．【分析】如圖，過點E作EH⊥BC于H．首先證明△ABD是等邊三角形，解直角三角形求出EH即可．【解答】解：如圖，過點E作EH⊥BC于H．∵BC＝7，CD＝3，∴BD＝BC﹣CD＝4，∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∴ADB＝60°，∴∠ADC＝∠ADE＝120°，∴∠EDH＝60°，∵EH⊥BC，∴∠EHD＝90°，∵DE＝DC＝3，∴EH＝DE?sin60°＝，∴E到直線BD的距離為，故答案為．【點評】本題考查翻折變換，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．18．（4分）在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點O在對角線AC上，圓O的半徑為2，如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜．【分析】根據(jù)勾股定理得到AC＝10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【解答】解：在矩形ABCD中，∵∠D＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，如圖1，設(shè)⊙O與AD邊相切于E，連接OE，則OE⊥AD，∴OE∥CD，∴△AOE∽△ACD，∴，∴＝，∴AO＝，如圖2，設(shè)⊙O與BC邊相切于F，連接OF，則OF⊥BC，∴OF∥AB，∴△COF∽△CAB，∴＝，∴＝，∴OC＝，∴AO＝，∴如果圓O與矩形ABCD的各邊都沒有公共點，那么線段AO長的取值范圍是＜AO＜，故答案為：＜AO＜．【點評】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．三、解答題：（本大題共7題，滿分78分）19．（10分）計算：+﹣（）﹣2+|3﹣|．【分析】利用分數(shù)的指數(shù)冪的意義，分母有理化，負指數(shù)冪的意義，絕對值的性質(zhì)計算后合并即可．【解答】解：原式＝（33）+﹣2﹣4+3﹣＝3+﹣2﹣4+3﹣＝0．【點評】本題考查了分數(shù)指數(shù)冪的運算，負指數(shù)冪的運算，絕對值的意義以及分母有理化運算，熟練掌握實數(shù)的運算法則是解題的關(guān)鍵．20．（10分）解不等式組：【分析】先求出不等式組中每一個不等式的解集，再求出它們的公共部分即可求解．【解答】解：，解不等式①得x＞2，解不等式②得x＜5．故原不等式組的解集是2＜x＜5．【點評】本題考查解一元一次不等式組，解集的規(guī)律：同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到．21．（10分）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠DAB＝90°，AB＝8，CD＝5，BC＝3．（1）求梯形ABCD的面積；（2）聯(lián)結(jié)BD，求∠DBC的正切值．【分析】（1）過C作CE⊥AB于E，推出四邊形ADCE是矩形，得到AD＝CE，AE＝CD＝5，根據(jù)勾股定理得到CE＝＝6，于是得到梯形ABCD的面積＝×（5+8）×6＝39；（2）過C作CH⊥BD于H，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到BD＝＝＝10，BH＝＝＝6，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）過C作CE⊥AB于E，∵AB∥DC，∠DAB＝90°，∴∠D＝90°，∴∠A＝∠D＝∠AEC＝90°，∴四邊形ADCE是矩形，∴AD＝CE，AE＝CD＝5，∴BE＝AB﹣AE＝3，∵BC＝3，∴CE＝＝6，∴梯形ABCD的面積＝×（5+8）×6＝39；（2）過C作CH⊥BD于H，∵CD∥AB，∴∠CDB＝∠ABD，∵∠CHD＝∠A＝90°，∴△CDH∽△DBA，∴，∵BD＝＝＝10，∴＝，∴CH＝3，∴BH＝＝＝6，∴∠DBC的正切值＝＝＝．【點評】本題考查了直角梯形，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．22．（10分）去年某商店“十一黃金周”進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%．（1）求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額；（2）去年，該商店7月份的營業(yè)額為350萬元，8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等．求該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率．【分析】（1）根據(jù)該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額＝前六天的總營業(yè)額+第七天的營業(yè)額，即可求出結(jié)論；（2）設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，根據(jù)該商店去年7月份及9月份的營業(yè)額，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）450+450×12%＝504（萬元）．答：該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元．（2）設(shè)該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為x，依題意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合題意，舍去）．答：該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%．【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．23．（12分）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE＝DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB?AE，求證：AG＝DF．【分析】（1）想辦法證明∠BCE＝∠H即可解決問題．（2）利用平行線分線段成比例定理結(jié)合已知條件解決問題即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB，∵DF＝BE，∴△CDF≌CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠BCE＝∠H，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）證明：∵BE2＝AB?AE，∴＝，∵AG∥BC，∴＝，∴＝，∵DF＝BE，BC＝AB，∴BE＝AG＝DF，即AG＝DF．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．24．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝﹣x+5與x軸、y軸分別交于點A、B（如圖）．拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過點A．（1）求線段AB的長；（2）如果拋物線y＝ax2+bx經(jīng)過線段AB上的另一點C，且BC＝，求這條拋物線的表達式；（3）如果拋物線y＝ax2+bx的頂點D位于△AOB內(nèi)，求a的取值范圍．【分析】（1）先求出A，B坐標(biāo)，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)點C（m，﹣m+5），則BC＝|m，進而求出點C（2，4），最后將點A，C代入拋物線解析式中，即可得出結(jié)論；（3）將點A坐標(biāo)代入拋物線解析式中得出b＝﹣10a，代入拋物線解析式中得出頂點D坐標(biāo)為（5，﹣25a），即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）針對于直線y＝﹣x+5，令x＝0，y＝5，∴B（0，5），令y＝0，則﹣x+5＝0，∴x＝10，∴A（10，0），∴AB＝＝5；（2）設(shè)點C（m，﹣m+5），∵B（0，5），∴BC＝＝|m|，∵BC＝，∴|m|＝，∴m＝±2，∵點C在線段AB上，∴m＝2，∴C（2，4），將點A（10，0），C（2，4）代入拋物線y＝ax2+bx（a≠0）中，得，∴，∴拋物線y＝﹣x2+x；（3）∵點A（10，0）在拋物線y＝ax2+bx中，得100a+10b＝0，∴b＝﹣10a，∴拋物線的解析式為y＝ax2﹣10ax＝a（x﹣5）2﹣25a，∴拋物線的頂點D坐標(biāo)為（5，﹣25a），將x＝5代入y＝﹣x+5中，得y＝﹣×5+5＝，∵頂點D位于△AOB內(nèi)，∴0＜﹣25a＜，∴﹣＜a＜0；【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，兩點間的距離公式，拋物線的頂點坐標(biāo)的求法，求出點D的坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵．25．（14分）如圖，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圓，BO的延長線交邊AC于點D．（1）求證：∠BAC＝2∠ABD；（2）