第34講　一元二次不等式及其解法

第34講一元二次不等式及其解法考試大綱1．會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型．2．通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應的二次函數(shù)、一元二次方程的聯(lián)系．3．會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，會設計求解的程序框圖.——知識聚焦——1．一元二次不等式只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的不等式叫作一元二次不等式．2．一元二次不等式與相應的二次函數(shù)以一元二次方程的關系如下表判別式Δ＝b2－4Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖像一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集________________________一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集________________________——正本清源——?鏈接教材1．[教材改編]不等式－x2－x＋2≥0的解集是________．2．[教材改編]已知集合A＝{x|3x－2－x2＜0}，B＝{x|x－a＜0}，若B?A，則實數(shù)a的取值范圍是________．3．[教材改編]若關于x的不等式m(x－1)>x2－x的解集為{x|1<x<2}，則實數(shù)m的值為________．4．[教材改編]若關于x的方程x2＋ax＋a2－1＝0有一正根和一負根，則a的取值范圍為________．?易錯易混5．解不等式的兩個易錯點：二次項系數(shù)為負；二次項系數(shù)為0.(1)不等式x(1－2x)＞0的解集是________；(2)不等式(ax－1)(x＋2)＜0(－eq\f(1,2)<a≤0)的解集是________．?通性通法6．求一元二次不等式中參數(shù)的值的兩個方法：判別式；根與系數(shù)的關系．(1)若關于x的不等式ax2＋x－1≤0的解集為R，則常數(shù)a的取值范圍是________．(2)若關于x的不等式ax2＋3x＋c≥0的解集為[1，2]，則a＝________，c＝________．7．一元二次不等式的兩個應用：不等式在R上恒成立；不等式的解集為R.(1)已知關于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________(2)若不等式mx2＋2mx＋1>0的解集為R，則m的取值范圍________．?探究點一一元二次不等式的解法例1(1)[2014·珠海二檢]不等式－2x2＋x＋3<0的解集是()A．{x|x<－1} B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x>\f(3,2)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(－1<x<\f(3,2))))) D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(3,2)))))(2)[2014·山東文登期末]已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x<－1或x>\f(1,2)))))，則f(10x)>0的解集為________．[思路點撥](1)把不等式化為ax2＋bx＋c>0(a>0)的形式，求出相應二次方程的兩根，從而得出不等式的解集；(2)由已知得到不等式f(x)＞0的解集，即得到10x的取值范圍，從而得出原不等式的解集．[總結反思]解一元二次不等式的一般步驟是：①化為標準形式(a>0)；②確定判別式Δ的符號；③若Δ≥0，則求出該不等式對應的二次方程的根，若Δ＜0，則對應的二次方程無根；④結合二次函數(shù)的圖像得出不等式的解集．【配例1使用】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．變式題解關于x的不等式：x2－(3＋a)x＋3a?探究點二一元二次不等式恒成立問題?考向一形如f(x)≥0(x∈R)例2(1)[2014·武漢調研]若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)<0對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍為()A．(－3，0] B．[－3，0)C．[－3，0] D．(－3，0)(2)[2014·泉州四校聯(lián)考]設a為常數(shù)，?x∈R，ax2＋ax＋1＞0，則a的取值范圍是()A．(0，4) B．[0，4)C．(0，＋∞) D．(－∞，4)[總結反思]解決含參一元二次不等式恒成立問題，通常有兩種方法：一是函數(shù)性質法，借助相應的函數(shù)圖像，構造含參數(shù)的不等式(組)；二是分離參數(shù)法，把不等式等價轉化，使之轉化為求函數(shù)的最值問題．?考向二形如f(x)≥0(x∈[a，b])例3(1)在R上定義運算：xy＝x(1－y)．若對任意x＞2，不等式(x－a)x≤a＋2都成立，則實數(shù)a的取值范圍是()A．[－1，7] B．(－∞，3]C．(－∞，7] D．(－∞，－1]∪[7，＋∞)(2)[2014·鄭州模擬]設函數(shù)f(x)＝x2－1，對任意x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，－\f(3,4)))，feq\f(x,m)－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________．[思路點撥](1)先由定義得到一元二次不等式，討論其相應的二次函數(shù)在區(qū)間(2，＋∞)上的最小值都不小于0，從而確定參數(shù)的范圍；(2)把變量與參數(shù)分離，將問題轉化eq\f(1,m2)－4m2≤－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1，再求－eq\f(3,x2)－eq\f(2,x)＋1在區(qū)間[－eq\f(3,2)，－eq\f(3,4)]上的最小值．【配例3使用】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，當x∈[－1，＋∞)時，f(x)≥a恒成立，求a的取值范圍．?考向三形如f(x)≥0(參數(shù)m∈[a，b])例4[2014·云南聯(lián)考]已知a∈[－1，1]，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a>0恒成立，求x[思路點撥]可把x當作a的系數(shù)，把不等式化為關于a的不等式，則問題轉化為一次函數(shù)在區(qū)間[－1，1]恒成立．?探究點三一元二次不等式的應用例5某商品每件成本價為80元，售價為100元，每天售出100件．若售價降低x成(1成＝10%)，則售出商品數(shù)量就增加eq\f(8,5)x成，要求售價不能低于成本價．(1)設該商店一天的營業(yè)額為y元，試求y與x之間的函數(shù)關系式y(tǒng)＝f(x)，并寫出定義域；(2)若要求該商品一天的營業(yè)額至少為10260元，求x的取值范圍．[思路點撥](1)根據(jù)商品的原售價及銷售量表示出降價后的售價及銷售量，進而求得函數(shù)關系式；(2)可根據(jù)營業(yè)額的取值范圍，列出不等式，解不等式得x的取值范圍．[總結反思]解不等式應用題，一般可按如下四步進行：①閱讀理解，認真審題，把握問題中的關鍵量，找準不等關系；②引進數(shù)學符號，用不等式表示不等關系；③解不等式；④回答實際問題．【配例5使用】行駛中的汽車，在剎車時由于慣性作用要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫作剎車距離．在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離s(m)與汽車的車速v(km/h)滿足關系式：s＝eq\f(nv,100)＋eq\f(v2,400)(n為常數(shù)，且n∈N)，做了兩次剎車試驗，有關試驗數(shù)據(jù)如圖所示，其中eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6<s1<8，,14<s2<17.))(1)求n的值．(2)要使剎車距離不超過12.6m變式題國家為了加強對煙酒生產(chǎn)的宏觀調控，實行征收附加稅政策，現(xiàn)知某種酒每瓶70元，不征收附加稅時，每年大約銷售100萬瓶，若政府征收附加稅，每銷售100元要征稅R元，則每年的銷售量將減少10R萬瓶，要使每年在此項經(jīng)營中所收附加稅的金額不少于112萬元，求R的取值范圍．創(chuàng)新應用4.一元二次不等式與二次函數(shù)、二次方程的交匯問題【典例】已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像過A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，且滿足a2＋(y1＋y2)a＋y1y2＝0.(1)證明：y1＝－a或y2＝－a；(2)證明：函數(shù)f(x)的圖像必與x軸有兩個不同的交點；(3)若關于x的不等式f(x)>0的解集為{x|x>m或x<n，n<m<0}，求關于x的不等式cx2－bx＋a>0的解集．[思路](1)分解因式求解；(2)利用圖像求得；(3)根據(jù)解集的端點值與對應方程根的關系求解．[方法解讀]一元二次不等式與一元二次方程以及二次函數(shù)圖像之間存在著緊密的聯(lián)系，利用數(shù)形結合