復合函數(shù)的定義域詳細講義及練習詳細答案

.z.復合函數(shù)復合函數(shù)的定義：設y是u的函數(shù)，即y=f(u),u是*的函數(shù)，即u=g(*)，且g(*)的值域與f(u)的定義域的交集非空，則y通過u的聯(lián)系成為*的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由y=f(u)，u=g(*)復合而成的復合函數(shù)，記作y=f[g(*)],其中u稱為中間變量。對高中復合函數(shù)的通解法——綜合分析法解復合函數(shù)題的關鍵之一是寫出復合過程例1：指出以下函數(shù)的復合過程。〔1〕y=√2-*2(2)y=sin3*(3)y=sin3*(4)y=3cos√1-*2解：(１)y=√2-*2是由y=√u,u=2-*2復合而成的?！?〕y=sin3*是由y=sinu,u=3*復合而成的?！?〕∵y=sin3*=(sin*)-3∴y=sin3*是由y=u-3,u=sin*復合而成的?！?〕y=3cos√1+*2是由y=3cosu,u=√r,r=1+*2復合而成的。2、解復合函數(shù)題的關鍵之二是正確理解復合函數(shù)的定義?？聪吕}：例２：f(*+3)的定義域為[1、2],求f(2*-5)的定義域。經(jīng)典誤解１：解：f(*+3)是由y=f(u),u=g(*)=*+3復合而成的。F(2*-5)是由y=f(u2),u2=g(*)=2*-5復合而成的。由g(*),G(*)得：u2=2*-11即：y=f(u2),u2=2*-11∵f(u1)的定義域為[1、2]∴１≤*﹤2∴-9≤2*-11﹤-6即：y=f(u2)的定義域為[-9、-6]∴f(2*-5)的定義域為[-9、-6]經(jīng)典誤解２：解：∵f(*+3)的定義域為[1、2]∴1≤*+3﹤2∴-2≤*﹤-1∴-4≤2*﹤-2∴-9≤2*-5﹤-7∴f(2*-5)的定義域為[-9、-7]〔下轉2頁〕注：通過以上兩例誤解可得，解高中復合函數(shù)題會出錯主要原因是對復合函數(shù)的概念的理解模棱兩可，從定義域中找出"y〞通過u的聯(lián)系成為*的函數(shù)，這個函數(shù)稱為由y=f(u),u=g(*)復合而成的復合函數(shù)，記作y=f[g(*)],其中u稱為"中間變量〞。從以上誤解中找出解題者易將f(*+3)的定義域理解成〔*+3〕的取值范圍，從而導致錯誤。而從定義中可以看出u僅僅是中間變量，即u既不是自變量也不是因變量。復合函數(shù)的定義域是指y=f(u),u=g(*)中u=g(*)中的*的取值范圍，即：f(*+3)是由f(u),u=*+3復合而成的復合函數(shù)，其定義域是*的取值范圍。正確解法：解:f(*+3)是由y=f(u1),u1=*1+3(1≤*﹤2)復合而成的。f(2*-5)是由y=f(u2),u2=2*2-5復合而成的∵１≤*1﹤2∴4≤u1﹤5∴4≤u2﹤5∴4≤2*2-5﹤5∴2≤*2﹤5∴f(2*-5)的定義域為[２、5]結論：解高中復合函數(shù)題要注意復合函數(shù)的分層，即u為第一層，*為第二層，一、二兩層是不可以直接建立關系的，在解題時，一定是同層考慮，不可異層考慮，假設異層考慮則會出現(xiàn)經(jīng)典誤解１與２的情況。三、高中復合函數(shù)的題型〔不包括抽象函數(shù)〕題型一：單對單，如：f(*)的定義域為[-1,4],求f(*2)的定義域。題型二：多對多，如：f(*+3)的定義域為[１、２],求f〔2*-5〕的定義域。〔下轉3頁〕題型三：單對多，如：f(*)的定義域為[0、1],求f(2*-1)的定義域。題型四：多對單，如：f(2*-1)的定義域為[0、1],求f(*)的定義域。注：通解法——綜合分析法的關鍵兩步：第一步：寫出復合函數(shù)的復合過程。第二步：找出復合函數(shù)定義域所真正指代的字母〔最為關鍵〕下面用綜合分析法解四個題型題型一：單對單：例3：f(*)的定義域為[-1、4],求f(*2)的定義域。第1步：寫出復合函數(shù)的復合過程：f(*2)是由y=f(u),u=*22復合而成的。〔由于要同層考慮，且u與*的取值范圍一樣，故可這樣變形〕f(*)是由y=f(u),u=*1復合而成的?！遞(*)的定義域為[-1、4]第2步：找出復合函數(shù)定義域的真正對應∴-1≤*1﹤4即-1≤u﹤4又∵u=*22∴-1≤*22﹤4(*2是所求f(*2)的定義域，此點由定義可找出)∴-2﹤*2﹤2∴f(*2)的定義域為(-2,2)結論：此題中的自變量*1,*2通過u聯(lián)系起來，故可求解。題型三：單對多：例4：f(*)的定義域為[0,1],求f(2*-1)的定義域。第1步：寫出復合函數(shù)的復合過程：f(*)是由y=f(u),u=*1復合而成的。f(2*-1)是由y=f(u),u=2*2-1復合而成.第2步：找出復合函數(shù)定義域的真正對應：∵0≤*1≤1∴0≤u≤1∴0≤2*2-1≤1∴*2≤1∴f(2*-1)的定義域為[，1]結論：由此題的解答過程可以推出：f(*)的定義域可求出y=[g(*)]的定義域。下轉4頁題型四：多對單：如：例5：f(2*-1)的定義域為[0、1],求f(*)的定義域。第1步：寫出復合函數(shù)的復合過程：f(2*-1)是由f(u),u=2*1-1復合而成的。f(*)是由f(u),u=*2復合而成的。第2步：找出復合函數(shù)定義域對應的真正值：∵0≤*1≤1∴0≤2*1≤2∴-1≤2*1-1≤1∴-1≤u≤1∴-1≤*2≤1∴f(*)的定義域為[-1、1]結論：由此題的解答過程可以推出：y=f[g(*)]的定義域可求出f(*)的定義域。小結：通過觀察題型一、題型三、題型四的解法可以看出，解題的關鍵在于通過u這個橋梁將*1與*2聯(lián)系起來解題。題型二：多對多：如例6：f(*+3)的定義域為[1、2],求f(2*-5)的定義域。解析：多對多的求解是比擬復雜的，但由解題型三與題型四的結論：f(*)的定義域可求出y=f[g(*)]的定義域〞y=f[g(*)]的定義域可求出f(*)的定義域可以推出f(*)與y=f[g(*)]可以互求。假設y1=f(*+3),y2=f(2*-5),同理，y1=f(*+3)的定義域，故這里f(*)成為了聯(lián)系y1=f(*+3),y2=f(2*-5)的一個橋梁，其作用與以上解題中u所充當?shù)淖饔靡粯印Ｋ?，在多對多的題型中，可先利用開場給出的復合函數(shù)的定義域先求出f(*)，再以f(*)為跳板求出所需求的復合函數(shù)的定義域，具體步驟如下：第一步：寫出復合函數(shù)的復合過程:f(*+3)是由y=f(u)u=*+3復合而成的。f(2*-5)是由y2=f(u)u=2*-5復合而成的。第二步：求橋梁f(*)的定義域：∵1≤*≤2∴4≤*+3≤5∴4≤u≤5設：函數(shù)y3=(u),u=*下轉4頁∴y3=f(*)的定義域為[4、5]第三步：通過橋梁f(*)進而求出y2=f(2*-5):f(*)是由y3=f(u),u=*復合而成的∵4≤*≤5∴4≤u≤5∴4≤2*-5≤5∴≤*2≤5∴f(2*-5)的定義域為：[5]小結：實際上，此題也可以u為橋梁求出f(2*-5),詳參照例2的解法。四、將以上解答過程有機轉化為高中的標準解答模式。如：例7：函數(shù)y=f(*)的定義域為[0、1]，求函數(shù)y=f(*2+1)的定義域。解：∵函數(shù)f(*2+1)中的*2+1相當于f(*)中的*(即u=*2+1,與u=*)∴0≤*2+1≤1∴-1≤*2≤0∴*=0∴定義域為{0}小結：此題解答的實質是以u為橋梁求解。例8：y=f(2*-1)的定義域為[0、1],求函數(shù)y=f(*)的定義域。解：由題意：0≤*≤1〔即略去第二步，先找出定義域的真正對象〕?！?1≤2*-1≤1(即求出u,以u為橋梁求出f(*)視2*-1為一個整體〔即u與u的交換〕則2*-1相關于f(*)中的*(即u與u的交換，f(*)由y=f(u),u=*復合而成，-1≤u≤1,∴-1≤*≤1)∴函數(shù)f(*)的定義域為[-1、1]總結：綜合分析法分了３個步驟寫出復合函數(shù)的復合過程。找出復合函數(shù)定義域所指的代數(shù)。找出解題中的橋梁〔u或f(*)可為橋梁〕淺析復合函數(shù)的定義域問題一、復合函數(shù)的構成設是到的函數(shù)，是到上的函數(shù)，且，當取遍中的元素時，取遍，則就是到上的函數(shù)。此函數(shù)稱為由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)復合而成的復合函數(shù)。說明：⑴復合函數(shù)的定義域，就是復合函數(shù)中的取值范圍。⑵稱為直接變量，稱為中間變量，的取值范圍即為的值域。⑶與表示不同的復合函數(shù)。例1．設函數(shù)，求．⑷假設的定義域為，則復合函數(shù)中，．注意：的值域．例2：⑴假設函數(shù)的定義域是[0，1]，求的定義域；⑵假設的定義域是[-1，1]，求函數(shù)的定義域；⑶定義域是，求定義域．要點1：解決復合函數(shù)問題，一般先將復合函數(shù)分解，即它是哪個內(nèi)函數(shù)和哪個外函數(shù)復合而成的．解答：⑴函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)．函數(shù)的定義域是[0，1]，∴B=[0,1]，即函數(shù)的值域為[0，1]．∴，∴，即，∴函數(shù)的定義域[0，]．⑵函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)．的定義域是[-1，1]，∴A=[-1,1]，即-1，∴,即的值域是[-3，1]，∴的定義域是[-3，1]．要點2：假設的定義域為，則的定義域就是不等式的的集合；假設的定義域為，則的定義域就是函數(shù)的值域。⑶函數(shù)是由A到B上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)．的定義域是[-4，5),∴A=[-4,5)即，∴即的值域B=[-1，8〕又是由到上的函數(shù)與B到C上的函數(shù)復合而成的函數(shù)，而,從而的值域∴∴∴∴的定義域是[1，〕．例3：函數(shù)定義域是〔a,b〕，求的定義域．解：由題，，，當，即時，不表示函數(shù)；當，即時，表示函數(shù)，其定義域為．說明：①的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：的定義域為，求的定義域。實際上是中間變量的的取值范圍，即，。通過解不等式求得的范圍，即為的定義域。②的定義域為(a,b)，求的定義域的方法：假設的定義域為，求的定義域。實際上是復合函數(shù)直接變量的取值范圍，即。先利用求得的范圍，則的范圍即是的定義域,即使函數(shù)的解析式形式所要求定義域真包含的值域，也應以的值域做為所求的定義域，因為要確保所求外含數(shù)與條件下所要求的外含數(shù)是同一函數(shù)，否則所求外含數(shù)將失去解決問題的有效性。換元法其實質就是求復合函數(shù)的外函數(shù)，如果外函數(shù)的定義域不等于內(nèi)函數(shù)的值域，則就確定不了的最值或值域。例4：函數(shù),求的值域。分析：令，；則有，復合函數(shù)是由與復合而成，而，的值域即的值域，但的本身定義域為,其值域則不等于復合函數(shù)的值域了。例5：函數(shù)，求函數(shù)的解析式，定義域及奇偶性。分析：因為定義域為{或}令，；則，且所以，定義域不關于原點對稱，故是非奇非偶函數(shù)。1．在等比數(shù)列中，，則n為〔〕A．2 B．3 C．4 D．52．設是公差為－2的等差數(shù)列，假設，則等于 〔〕A．82 B．－82 C．132 D．－1323．數(shù)列中以后各項由公式給出，則〔〕A．eq\f(7,4)B．－eq\f(7,4) C． D．4．成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則等于〔〕A．B． C．8 D．－85．在3和9之間插入兩個正數(shù)，使前三個成等比數(shù)列，后三個成等差數(shù)列，則這兩個數(shù)的和是 〔〕A． B． C． D．96．等差數(shù)列的前項和為，假設，則= 〔〕A．190 B．95 C．170 D．857．是等比數(shù)列，對恒成立，且，則等于 〔〕A．36 B． C．－6 D．68．等差數(shù)列中，，公差；是數(shù)列的前n項和，則〔〕A． B． C． D．9．一個等比數(shù)列首項為1，項數(shù)是偶數(shù)，其奇數(shù)項之和為85，偶數(shù)項之和為170，則這個數(shù)列的項數(shù)為 〔〕A．2 B．4 C．8 D．1610．數(shù)列滿足：，定義使叫做希望數(shù)，則區(qū)間[1，2010]內(nèi)所有希望數(shù)的和〔〕A．2026 B．2036 C．2046 D．204811．數(shù)列、都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為、，且，，，則數(shù)列的前10項的和等于 〔〕A．65 B．75 C．85 D．9512．等差數(shù)列的前n項和為，，,則〔〕A．38 B．20 C．10 D．9二、填空題：本大題共4小題，每題4分，共16分．把答案填在橫線上．13．數(shù)列前4項為4,6,8,10，則其一個通項公式為_.14．1,a1,a2,4成等差數(shù)列，1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列，則______．15．數(shù)列的前n項的和滿足,則=．16．甲型h1n1流感病毒是寄生在宿主的細胞內(nèi)的，假設該細胞開場時2個，記為，它們按以下規(guī)律進展分裂，1小時后分裂成4個并死去1個，2小時后分裂成6個并死去1個，3小時后分裂成10個并死去1個，……,記n小時后細胞的個數(shù)為，則=________(用n表示)．三、解答題：本大題共6小題，共74分．解容許寫出文字說明，證明過程或演算步驟．17．〔本小題總分值12分〕數(shù)列是一個等差數(shù)列，且，．〔1〕求的通項；〔2〕求前n項和的最小值．18．〔本小題總分值12分〕是首項為1，公差為1的等差數(shù)列；假設數(shù)列滿足，.〔1〕求數(shù)列的通項公式；〔2〕求證：.參考答案一、選擇題1．C；解析：等比數(shù)列中，；∴∴；2．B；解析：因為是公差為－2的等差數(shù)列，∴；3．A；解析：因為，所以，，；4．D；解析：∵－9，a1，a2，－1成等差數(shù)列，所以；∵成等比數(shù)列，所以；∴；5．A；解析：設中間兩數(shù)為，則；解得，所以；6．B；解析：；7．D；解析：；，∴；8．D；解析：∵，，∴，且，∴，，；∴；9．C；解析：設該等比數(shù)列的公比為q，項數(shù)為2n，則有，∴q＝eq\f(170,85)＝2；又，∴，∴2n＝8，故這個數(shù)列的項數(shù)為8；10．A；解析：，∴由為整數(shù)得為整數(shù)，設為，則，∴；因為，∴區(qū)內(nèi)所有希望數(shù)為，其和；11．C；解析：應用等差數(shù)列的通項公式得∴數(shù)列也是等差數(shù)列，且前10項和為；12．C；解析：因為是等差數(shù)列，所以，由，得：2－＝0，所以＝2，又，即＝38，即〔2m－1〕×2＝38，解得m＝10．二、填空題13．；解析：該數(shù)列的前項分別可寫成：，所以數(shù)列的通項公式為；14．；解析：∵1,a1,a2,4成等差數(shù)列，∴；∵1,b1,b2,b3,4成等比數(shù)列，∴，又，∴；∴；15．；解析：由得，∴，∴，；∴=；16．；解析：按規(guī)律，，，，……，；∴，即是等比數(shù)列，其首項為2，公比為2，故，∴=．〔此題也可由，，，……，猜測出=．〕三、解答題17．解：〔1〕設的公差為，由條件，，解出，．所以．…………6分〔2〕．所以時，取到最小值．…………12分18．解：〔1〕由得.從而，即.〔…………2分〕∴.〔…………6分〕〔2〕因為，∴.〔…………12分〕19．解：〔1〕由得，∴當時，；∴，即，∴當時，；∴數(shù)列為等比數(shù)列，且公比；〔…………4分〕又當時，，即，∴；∴.〔…………6分〕〔2〕∵，∴；〔…………9分〕∴的前項和.〔…………12分〕1.等比數(shù)列的公比為正數(shù)，且·=2，=1，則=A.B.C.D.2【解析】設公比為,由得,即,又因為等比數(shù)列的公比為正數(shù)，所以,故,選B3.公差不為零的等差數(shù)列的前項和為.假設是的等比中項,,則等于A.18B.24C【解析】由得得,再由得則,所以,.應選C4.設是等差數(shù)列的前n項和，，，則等于()A．13B．35C．49D．63【解析】應選C.或由,所以應選C.的前n項和為，且=6，=4，則公差d等于A．1BC.-2D3[解析]∵且.應選C6.為等差數(shù)列，且－2＝－1,＝0,則公差d＝A.－2B.－C.【解析】a7－2a4＝a3＋4d－2(a3＋d)＝2d＝－1d＝－7.〔等差數(shù)列｛｝的公差不為零，首項＝1，是和的等比中項，則數(shù)列的前10項之和是A.90B.100C.145D.190【解析】設公差為，則.∵≠0，解得＝2，∴＝100然而只就解析式而言，定義域是關于原點對稱的，且，所以是奇函數(shù)。就此題而言就是外函數(shù)其定義域決定于內(nèi)函數(shù)，的值域，而不是外函數(shù)其解析式本身決定的定義域了。2．求有關復合函數(shù)的解析式，例6．①求；②，求．例7．①，求；②，求．要點3：求復合函數(shù)的解析式，直接把中的換成即可。求的常用方法有：配湊法和換元法。配湊法就是在中把關于變量的表達式先湊成整體的表達式，再直接把換成而得。換元法就是先設，從中解出〔即用表示〕，再把〔關于的式子〕直接代入中消去得到，最后把中的直接換成即得，這種代換遵循了同一函數(shù)的原則。例8．①是一次函數(shù)，滿足，求