小學(xué)奧數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)

小學(xué)奧數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)小學(xué)奧數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)4/4小學(xué)奧數(shù)公因數(shù)和公倍數(shù)第三講：公因數(shù)和公倍數(shù)知識(shí)點(diǎn)撥一、合約數(shù)的看法與最大合約數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的合約數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)。0被消除在約數(shù)與倍數(shù)之外。比方：12的約數(shù)有：1,2,3,4,6,1218的約數(shù)有：1,2,3,6,9,1812和18的合約數(shù)有：1,2,3,6，其中6是12和18的最大合約數(shù)，記作（12，18）=61．求最大合約數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，爾后把同樣的因數(shù)連乘起來(lái)．比方：23122，所以(231,252)3721；3711，25223721812②短除法：先找出所有共有的約數(shù)，爾后相乘．比方：396，所以(12,18)236；32③輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大合約數(shù)．用輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)的步驟以下：先用小的一個(gè)數(shù)除大的一個(gè)數(shù)，得第一個(gè)余數(shù)；再用第一個(gè)余數(shù)除小的一個(gè)數(shù)，得第二個(gè)余數(shù)；又用第二個(gè)余數(shù)除第一個(gè)余數(shù)，得第三個(gè)余數(shù)；這樣逐次用后一個(gè)余數(shù)去除前一個(gè)余數(shù)，直到余數(shù)是0為止．那么，最后一個(gè)除數(shù)就是所求的最大合約數(shù)．(若是最后的除數(shù)是1，那么原來(lái)的兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)的)．比方，求600和1515的最大合約數(shù)：15156002L315；6003151L285；3152851L30；285309L15；30152L0；所以1515和600的最大合約數(shù)是15．2．最大合約數(shù)的性質(zhì)①幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大合約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)；②幾個(gè)數(shù)的合約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)的約數(shù)；③幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù)n，所得的積的最大合約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)乘以n．二、公倍數(shù)的看法與最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。比方：12的倍數(shù)有：12,24,36,48,60,72,84...18的倍數(shù)有：18,36,54,72,90...12和18的公倍數(shù)有：36,72...，其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作[12，18]=36求最小公倍數(shù)的方法①分解質(zhì)因數(shù)的方法；比方：2313711，25222327，所以231,25222327112772；②短除法求最小公倍數(shù)；21812比方：396，所以18,12233236；32③[

a,

b]

ab

．(a,b)最小公倍數(shù)的性質(zhì)①兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)．②兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)的最小公倍數(shù)是這兩個(gè)數(shù)的乘積．③兩個(gè)數(shù)擁有倍數(shù)關(guān)系，則它們的最大合約數(shù)是其中較小的數(shù)，最小公倍數(shù)是較大的數(shù)．三、最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)的常用性質(zhì)1．兩個(gè)自然數(shù)分別除以它們的最大合約數(shù)，所得的商互質(zhì)。若是m為A、B的最大合約數(shù)，且Ama，Bmb，那么a、b互質(zhì)，所以A、B的最小公倍數(shù)為mab，所以最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)有以下一些基本關(guān)系：①ABmambmmab，即兩個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)與最小公倍數(shù)之積等于這兩個(gè)數(shù)的積；②最大合約數(shù)是A、B、AB、AB及最小公倍數(shù)的約數(shù)．2．兩個(gè)數(shù)的最大合約和最小公倍的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。即(a,b)[a,b]ab，此性質(zhì)比較簡(jiǎn)單，學(xué)生比較簡(jiǎn)單掌握。3．對(duì)于任意3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，若是三個(gè)連續(xù)數(shù)的奇偶性為a)奇偶奇，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)比方：567210，210就是567的最小公倍數(shù)b)偶奇偶，那么這三個(gè)數(shù)的乘積等于這三個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的2倍比方：678336，而6,7,8的最小公倍數(shù)為3362168性質(zhì)（3）不是一個(gè)常有考點(diǎn)，但是也比較有助于學(xué)生理解最小公倍數(shù)與數(shù)字乘積之間的大小關(guān)系，即“幾個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)必然不會(huì)比他們的乘積大”。例題精講【例1】?jī)筛娋€分別長(zhǎng)24m和16m，現(xiàn)將兩根電線剪成相等的小段而且沒(méi)有節(jié)余，剪成的小段最長(zhǎng)能夠是多少米？【牢固】求12和18的最大公因數(shù)?！纠?】找出下面每組數(shù)的最大公因數(shù)，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？4和206和367和86和19【牢固】說(shuō)出下面各組數(shù)的最大公因數(shù)。4和1615和22【例3】用一個(gè)數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個(gè)數(shù)最大是多少？【牢固】一個(gè)數(shù)用3、4、5除都能整除，這個(gè)數(shù)最小是多少？【例4】有三根鐵絲，長(zhǎng)度分別是120厘米、180厘米和300厘米.現(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能夠有節(jié)余，每小段最長(zhǎng)多少厘米？一共能夠截成多少段？【牢固】加工某種機(jī)器零件，要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成3個(gè)零件，第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成10個(gè)，第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)可完成5個(gè)，要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序最少各分配幾個(gè)工人？【牢固】有三根鋼管，它們的長(zhǎng)度分別為240cm，200cm，480cm，若是把它們截成同樣長(zhǎng)的小段，且禁止有節(jié)余，每小段最長(zhǎng)能夠是多少厘米？【例5】一張長(zhǎng)方形的紙，長(zhǎng)7分米5厘米、寬6分米?，F(xiàn)在要把它裁成一塊正方形，而且正方形邊長(zhǎng)為整厘米數(shù)，有幾種裁法？若是要使裁得的正方形面積最大，可以裁多少塊？【牢固】把1米3分米5厘米長(zhǎng)、1米5厘米寬的長(zhǎng)方形紙，裁成同樣大小的正方形而無(wú)節(jié)余，最少能裁幾塊？【例6】用一張長(zhǎng)1072毫米、寬469毫米的長(zhǎng)方形紙，剪成面積相等的正方形，而且最后沒(méi)有節(jié)余，這些正方形的邊長(zhǎng)最長(zhǎng)是多少？（輾轉(zhuǎn)相除法）【牢固】用輾轉(zhuǎn)相除法判斷1547和3135可否互質(zhì)。【例7】用輾轉(zhuǎn)相除法求4811和1981的最大合約數(shù)?！纠喂獭壳?008、1260、882和1134四個(gè)數(shù)的最大合約數(shù)是多少？【例8】求21672和11352的最小公倍數(shù)?！纠?】已知兩個(gè)自然數(shù)的最大合約數(shù)為4，最小公倍數(shù)為120，求這兩個(gè)數(shù)．【牢固】?jī)蓚€(gè)數(shù)的最大合約數(shù)是15，最小公倍數(shù)是90，求這兩個(gè)數(shù)分別是多少？【牢固】已知兩數(shù)的最大合約數(shù)是21，最小公倍數(shù)是126，求這兩個(gè)數(shù)的和是多少？【例10】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的積是360，最小公倍數(shù)是120，這兩個(gè)數(shù)各是多少？【牢固】已知兩數(shù)的最小公倍數(shù)是210，它們的積是1260，它們的和是72，求這兩個(gè)數(shù)的差？【例11】?jī)蓚€(gè)自然數(shù)的和是125，它們的最大合約數(shù)是25，試求這兩個(gè)數(shù)．【例12】甲乙丙三人是朋友，他們每隔不同樣的天數(shù)到圖書(shū)館去一次，甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次，有一天，他們?nèi)苏液脠D書(shū)館相會(huì)。問(wèn)最少再過(guò)多少天他們?nèi)擞謺?huì)在圖書(shū)館相會(huì)？【牢固】1路、2路和5路都從東站發(fā)車，1路車每隔10分鐘發(fā)一輛，2路車每隔15分鐘發(fā)一輛，而5路車每隔20分鐘發(fā)一輛。當(dāng)這三種路線的車同時(shí)發(fā)車后，最少要過(guò)多少分鐘又有這三種路線的車同時(shí)發(fā)車？【牢固】甲、乙、丙從同一起點(diǎn)出發(fā)沿同一方向在圓形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒，問(wèn)：再過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間三人第二次從同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)？【例13】一所學(xué)校的同學(xué)排隊(duì)做操，排成14行、16行、18行都正好能成長(zhǎng)方形。這所學(xué)校最少有多少人？【牢固】有一批乒乓球，總數(shù)在1000個(gè)以內(nèi)，4個(gè)裝一袋，5個(gè)裝一袋或6個(gè)、7個(gè)、個(gè)裝一袋最后都剩下一個(gè)。這批乒乓球終究有多少個(gè)？【例14】學(xué)校六年級(jí)有若干同學(xué)排隊(duì)做操，若是3人一行余2人，7人一行余2人，11人一行也余2人。六年級(jí)最稀有多少人？【牢固】一袋糖，平均分給15個(gè)小朋友或20各小朋友后，最后都余下5塊。這袋糖最少有多少塊？【牢固】一個(gè)數(shù)能被3、5、7整除，但是被11除余1，這個(gè)數(shù)最少是多少？【例15】一盒圍棋子，4顆4顆數(shù)多3顆，6顆6顆數(shù)多5顆，15顆15顆數(shù)多14顆，這盒棋子在150-200顆之間，問(wèn)共有多少顆？【牢固】五一班的五十多位同學(xué)去大打掃，平均分成4組多2人，平均分成5組多3人，請(qǐng)你算一算，五一班有多少位同學(xué)？【牢固】有一批水果，每箱放30個(gè)則多20個(gè)，每箱放35個(gè)則少10個(gè)。這批水果至稀有多少個(gè)？【例16】從學(xué)校到少年宮的這段公路上，一共有37根電線桿，原來(lái)每?jī)筛娋€桿之間相距50,米，現(xiàn)在要改成每?jī)筛g相距60米，除兩端兩根不需搬動(dòng)外，中途還有多少根不用搬動(dòng)？【牢固】插一排紅旗共26面。原