《空間幾何體、三視圖和直觀圖》導(dǎo)學(xué)案

PAGE13空間幾何體、三視圖和直觀圖

導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)2能畫出簡單空間圖形長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡易組合的三視圖，能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型，并且會(huì)用斜二測(cè)畫法畫出它們的直觀圖3會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫出簡單空間圖形的三視圖與直觀圖，了解空間圖形的不同表示形式4會(huì)畫某些建筑物的三視圖與直觀圖．

自主梳理1．多面體的結(jié)構(gòu)特征1棱柱的上下底面________，側(cè)棱都________且____________，上底面和下底面是________的多邊形．2棱錐的底面是任意多邊形，側(cè)面是有一個(gè)________的三角形．3棱臺(tái)可由__________________的平面截棱錐得到，其上下底面的兩個(gè)多邊形________．2．旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征1圓柱可以由矩形繞其____________旋轉(zhuǎn)得到．2圓錐可以由直角三角形繞其__________________旋轉(zhuǎn)得到．3圓臺(tái)可以由直角梯形繞__________________或等腰梯形繞上下底中點(diǎn)的連線旋轉(zhuǎn)得到，也可由平行于圓錐底面的平面截圓錐得到．4球可以由半圓或圓繞其________旋轉(zhuǎn)得到．3．空間幾何體的三視圖空間幾何體的三視圖是用正投影得到，這種投影下與投影面平行的平面圖形留下的影子與平面圖形的形狀和大小是完全相同的，三視圖包括________、____________、________4．空間幾何體的直觀圖畫空間幾何體的直觀圖常用________畫法，基本步驟是：1在已知圖形中取互相垂直的軸、y軸，兩軸相交于點(diǎn)O，畫直觀圖時(shí)，把它們畫成對(duì)應(yīng)的′軸、y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，且使∠′O′y′＝________2已知圖形中平行于軸、y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于__________的線段．3已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中保持原長度________，平行于y軸的線段，長度變?yōu)開__________________．4在已知圖形中過O點(diǎn)作軸垂直于Oy平面，在直觀圖中對(duì)應(yīng)的′軸也垂直于′O′y′平面，已知圖形中平行于軸的線段，在直觀圖中仍平行于′軸且長度________．5．中心投影與平行投影1平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線相交于一點(diǎn)．2從投影的角度看，三視圖和用斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖都是在平行投影下畫出來的圖形．自我檢測(cè)1．如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是

A．①② B．①③ C．①④ D．②④2．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是

3．將正三棱柱截去三個(gè)角如圖1所示，A，B，C分別是△GHI三邊的中點(diǎn)，得到幾何體如圖2，則該幾何體按圖2所示方向的側(cè)視圖或稱左視圖為

4

如圖，△ABC為正三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC且3AA′＝eq\f3,2BB′＝CC′＝AB，則多面體ABC－A′B′C′的正視圖也稱主視圖是

5．如圖是長和寬分別相等的兩個(gè)矩形，給定下列三個(gè)命題：①存在三棱柱，其正主視圖、俯視圖如右圖；②存在四棱柱，其正主視圖、俯視圖如右圖；③存在圓柱，其正主視圖、俯視圖如右圖．其中真命題的個(gè)數(shù)是A．3 B．2 C．1 D．0

探究點(diǎn)一空間幾何體的結(jié)構(gòu)例1給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分是棱臺(tái)；③若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；④若有兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；⑤存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；⑥棱臺(tái)的側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．變式遷移1下列結(jié)論正確的是A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐C．棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線都是母線探究點(diǎn)二空間幾何體的三視圖例2如圖，某幾何體的正視圖與側(cè)視圖都是邊長為1的正方形，且體積為eq\f1,2，則該幾何體的俯視圖可以是

變式遷移2在一個(gè)幾何體的三視圖中，正視圖和俯視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖可以為

探究點(diǎn)三直觀圖及斜二測(cè)畫法例3

用斜二測(cè)畫法畫一個(gè)水平放置的平面圖形的直觀圖為如圖所示的一個(gè)正方形，則原來的圖形是

變式遷移3一個(gè)平面四邊形的斜二測(cè)畫法的直觀圖是一個(gè)邊長為a的正方形，則原平面四邊形的面積等于\f\r2,4a2 B．2eq\r2a2 \f\r2,2a2 \f2\r2,3a2

1．畫幾何體三視圖的基本要求是：正視圖與俯視圖長對(duì)正；正視圖與側(cè)視圖高平齊；側(cè)視圖與俯視圖寬相等．2．三視圖的安排規(guī)則是：正視圖與側(cè)視圖分別在左右兩邊，俯視圖畫在正視圖的下方．3．用斜二測(cè)畫法畫出的平面圖形的直觀圖的面積S′與原平面圖形的面積S之間的關(guān)系是S′＝eq\f\r2,4S

空間幾何體、三視圖和直觀圖答案自主梳理1．1平行平行長度相等全等2公共頂點(diǎn)3平行于棱錐底面相似21一邊所在直線2一條直角邊所在直線3垂直于底邊的腰所在直線4直徑3正視圖側(cè)視圖俯視圖4斜二測(cè)145°或135°2′軸、y′軸3不變?cè)瓉淼囊话?不變自我檢測(cè)1．D[在各自的三視圖中①正方體的三個(gè)視圖都相同；②圓錐有兩個(gè)視圖相同；③三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不同；④正四棱錐有兩個(gè)視圖相同．]2．D[A，B的正視圖不符合要求，C的俯視圖顯然不符合要求，答案選D]3．A[∵原幾何體是正三棱柱，且AE在平面EG中，∴在側(cè)視圖中，AE應(yīng)為豎直的．]4．D[由AA′∥BB′∥CC′及CC′⊥平面ABC，知BB′⊥′＝eq\f3,2BB′，且△ABC為正三角形，故正視圖應(yīng)為D中的圖形．]5．A[底面是等腰直角三角形的三棱柱，當(dāng)它的一個(gè)矩形側(cè)面放置在水平面上時(shí)，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此①正確；若長方體的高和寬相等，則存在滿足題意的兩個(gè)相等的矩形，因此②正確；當(dāng)圓柱側(cè)放時(shí)即側(cè)視圖為圓時(shí)，它的正視圖和俯視圖可以是全等的矩形，因此③正確．]課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引解決這種判斷題的關(guān)鍵是：①準(zhǔn)確理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念；②正確運(yùn)用平行、垂直的判定及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，整體把握立體幾何知識(shí)．③④⑤⑥解析

①錯(cuò)誤，因?yàn)槔庵牡酌娌灰欢ㄊ钦噙呅?，故?cè)面不一定都全等；②錯(cuò)誤，必須用平行于底面的平面去截棱錐，才能得到棱臺(tái)；③正確，因?yàn)槿齻€(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；④正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；⑤正確，如圖所示，正方體AC1中的四棱錐C1—ABC，四個(gè)面都是直角三角形；⑥正確，由棱臺(tái)的概念可知．因此，正確命題的序號(hào)是③④⑤⑥變式遷移1D[

A錯(cuò)誤．如圖所示，由兩個(gè)結(jié)構(gòu)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體，各面都是三角形，但它不是棱錐．B錯(cuò)誤．如下圖，若△ABC不是直角三角形或是直角三角形，但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊，所得的幾何體都不是圓錐．

C錯(cuò)誤．若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形．由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長．D正確．]例2解題導(dǎo)引三視圖的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．解決此類問題的關(guān)鍵是弄清三視圖“長、寬、高”的關(guān)系．C[當(dāng)俯視圖為A中正方形時(shí)，幾何體為邊長為1的正方體，體積為1；當(dāng)俯視圖為B中圓時(shí)，幾何體為底面半徑為eq\f1,2，高為1的圓柱，體積為eq\fπ,4；當(dāng)俯視圖為C中三角形時(shí)，幾何體為三棱柱，且底面為直角邊長為1的等腰直角三角形，高為1，體積為eq\f1,2；當(dāng)俯視圖為D中扇形時(shí)，幾何體為圓柱的eq\f1,4，且體積為eq\fπ,4]變式遷移2D[由幾何體的正視圖和俯視圖可知，該幾何體的底面為半圓和等腰三角形，其側(cè)視圖可以是一個(gè)由等腰三角形及底邊上的高構(gòu)成的平面圖形，故應(yīng)選D]例3解題導(dǎo)引本題是已知直觀圖，探求原平面圖形，考查逆向思維能力．要熟悉運(yùn)用斜二測(cè)畫法畫水平放置的直觀圖的基本規(guī)則，注意直觀圖中的線段、角與原圖中的對(duì)應(yīng)線段、角的關(guān)系．A[按照斜二測(cè)畫法的作圖規(guī)則，對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證，可知只有選項(xiàng)A符合題意．]變式遷移3B[根據(jù)斜二測(cè)畫法畫平面圖形的直觀圖的規(guī)則可知，在軸上或與軸平行