高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)練《數(shù)列中的討論奇偶求和（一）》突破解析

一輪復(fù)習(xí)大題專(zhuān)練30—數(shù)列（討論奇偶求和）1．設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是和的等比中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足．（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，是和的等比中?xiàng)，所以，即，解得或．又因?yàn)椋裕裕驗(yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，所以，所以，即．當(dāng)時(shí)，，又因?yàn)?，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)、3為公比的等比數(shù)列．所以．（2）因?yàn)?，故?shù)列的前項(xiàng)和為．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿(mǎn)足，，，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)，使得對(duì)不等式恒成立；（3）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由，，，，可得，，解得，，所以，，，所以，；（2）由（1）可得，，即為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以滿(mǎn)足條件的最小正整數(shù)為5；（3），所以；，則，，兩式相減可得，化簡(jiǎn)可得，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為．3．已知數(shù)列滿(mǎn)足，（1）記，寫(xiě)出，，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求的前20項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，，所以，，，所以，，，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以．（2）由（1）可得，，則，，當(dāng)時(shí)，也適合上式，所以，，所以數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)分別為等差數(shù)列，則的前20項(xiàng)和為．4．已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2＝an+d（d∈R，d≠1），n∈N*，a1＝1，a2＝1，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數(shù)列．（Ⅰ）求d的值和{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列{bn}的前2n項(xiàng)和T2n．解：（Ⅰ）數(shù)列{an}滿(mǎn)足an+2＝an+d（d∈R，d≠1），所以a3＝a1+d，a8＝a6+d＝a2+3d，a9＝a1+4d，所以a2+a3＝a1+a2+d，由于a1＝1，a2＝1，所以a2+a3＝2+d，a8+a9＝2+7d，且a1，a2+a3，a8+a9成等比數(shù)列，所以，整理得d＝1或2（1舍去）．故an+2＝an+2，所以n為奇數(shù)時(shí)，an＝n，n為偶數(shù)時(shí)，an＝n﹣1．所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為．（Ⅱ）由于，所以．所以T2n＝b1+b2+...+b2n＝﹣20×12+20×22﹣22×32+22×42+...+[﹣22n﹣2?（2n﹣1）2]+22n﹣2?（2n）2，＝20×（22﹣12）+22×（42﹣32）+...+22n﹣2?[（2n）2﹣（2n﹣1）2]．＝20×3+22×7+...+22n﹣2?（4n﹣1）①，所以，②，①﹣②得：﹣3T2n＝20×3+22×4+...+22n﹣2×4﹣22n×（4n﹣1），＝3+4×﹣22n×（4n﹣1），＝，所以．5．已知等差數(shù)列滿(mǎn)足，，為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，證明：．解：（1）（基本量法求等差等比通項(xiàng)）等差數(shù)列的公差設(shè)為，，，可得，，解得，可得；由得，，兩式相減整理得，可得公比，由，解得，；（2）證法（應(yīng)用放縮和錯(cuò)位相減求和證明