【九年級數(shù)學(xué)代數(shù)培優(yōu)競賽專題】專題13 巧解二次函數(shù)與圖形面積綜合題【含答案】

專題13巧解二次函數(shù)與圖形面積綜合題知識解讀因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的圖形面積問題，是拋物線與三角形、四邊形相結(jié)合的重要形式，解決這類問題常常用到以下技巧：（1）圖形的面積割補(bǔ)；（2）利用平行線的性質(zhì)作等積變形；（3）等量代換，即把面積之比轉(zhuǎn)化為線段之比；（4）“等底，等高，等面積”由二推一，即以其中任意兩個(gè)為條件，第三個(gè)為結(jié)論，命題總成立.培優(yōu)學(xué)案典例示范例1如圖13-1，已知拋物線y=ax2＋bx＋3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A的直線l與拋物線交于點(diǎn)C，其中A點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)是（4，3）.（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)E是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且位于直線AC的下方，試求△ACE的最大面積及E點(diǎn)的坐標(biāo).【提示】（1）只需將A點(diǎn)，C點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可；（2）思路一：△ACE的面積可由AC×h表示，因?yàn)锳C固定，若要它的面積最大，則只需h最大，即點(diǎn)E到直線AC的距離最大，如圖13-2，若設(shè)一條平行于AC的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，該點(diǎn)就是點(diǎn)E.不妨把這種方法形象的記憶為“平行切線法”。思路二：基于“分割圖形”考慮.如圖13-3，過點(diǎn)E作x軸的垂線，交AC于點(diǎn)F.設(shè)E（x，x2-4x＋3），則S△AEC=S△AEF＋S△CEF=EF，即△ACE的面積取決于EF的長。若把EF的長稱為△ACE的“豎直高”，把A，C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)之差的絕對值稱為△ACE的“水平寬”，則△ACE的面積可直接記為“×豎直高×水平寬”。思路三：基于“補(bǔ)全圖形”考慮。但要分點(diǎn)E在x軸下方和上方兩種情況討論（為什么要分兩種情況？），如圖13-4，同時(shí)一定要搞清楚線段長度與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，長度是正的，要用大坐標(biāo)減去小坐標(biāo)，若不能區(qū)分，加上絕對值，請讀者自行完成。【跟蹤訓(xùn)練】1.如圖13-5，拋物線交軸正半軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是線段方的拋物線上的一點(diǎn)，求的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)?！咎崾尽靠捎美?中的三種方法求解，即平行切線法；分割圖形法；補(bǔ)全圖形法.此個(gè)題還可連接，,具體的解答略，由讀者自己完成。圖13-5 2.如圖13-6，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，，，點(diǎn)在上，以為頂點(diǎn)的拋物線過點(diǎn)，且對稱軸交軸于點(diǎn).連接，.點(diǎn)，為動(dòng)點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒.（1）填空：點(diǎn)坐標(biāo)為；拋物線的解析式為.（2）在圖13-6①中，若點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)以個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上從點(diǎn)向點(diǎn)以個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)隨之停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)為何值時(shí)，為直角三角形？（3）在圖13-6②中，若點(diǎn)在對稱軸上從點(diǎn)開始向點(diǎn)以個(gè)單位/秒的速度運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，交拋物線于點(diǎn)，連接，.當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？最大值是多少？圖13-6(1)因?yàn)槭菕佄锞€的頂點(diǎn)，且拋物線的對稱軸為直線，則點(diǎn)橫坐標(biāo)為；又點(diǎn)在矩形的邊上，.點(diǎn)的縱坐標(biāo)與點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，為，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；設(shè)拋物線的解析式為，將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式，即可求得的值；（2）中，不可能是直角，所以應(yīng)分和兩種情況分別計(jì)算，可選用銳角三角函數(shù)值不變法，也可以利用與兩種不同對應(yīng)方式的相似求解；（3）先求出直線解析式，便于根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)及縱坐標(biāo)，進(jìn)而表示出相關(guān)線段的長度，△ACQ的面積可以看做是和的面積之和，采用“×豎直高×水平寬”來計(jì)算比較方便.例2如圖13-7，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，位于對稱軸的左側(cè)，并且不在坐標(biāo)軸上，過點(diǎn)作軸的平行線交軸于點(diǎn)，交拋物線于另一點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn).（1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo).【提示】（2）設(shè)出坐標(biāo)，然后求出直線的解析式，確定線段的長，根據(jù)拋物線的軸對稱性確定點(diǎn)的坐標(biāo)及長，然后求出兩個(gè)三角形的面積，根據(jù)圖形的面積關(guān)系列出關(guān)于點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程求解。

跟蹤訓(xùn)練已知直線與軸，軸分別交于，兩點(diǎn)，拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，點(diǎn)是拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn).（1）求這條拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)是直線上一點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)。【提示】（1）由直線解析式確定A，D兩點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求出b，c的值，再令y=0，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在和中，它們的高都可視作點(diǎn)到直線的距離，所以面積的比可以轉(zhuǎn)化為底邊的比，即，顯然，所以只需考慮點(diǎn)在線段上和點(diǎn)在線段的延長線上這兩種情況，可過點(diǎn)作軸的垂線，通過構(gòu)建相似三角形來求出點(diǎn)的坐標(biāo).例3如圖13-8，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為（0，1），（2，0），（0，0），將此三角板繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到三角形.（1）一拋物線經(jīng)過點(diǎn)、、，求該拋物線的解析式；（2）設(shè)點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積是面積的倍？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【提示】1.四邊形的面積是面積的倍，可以轉(zhuǎn)化為四邊形的面積是面積的倍.2.連接，四邊形可以分割為兩個(gè)三角形。3.如圖13-9，過點(diǎn)向軸作垂線，四邊形也可以分割為一個(gè)直角梯形和一個(gè)直角三角形。讀者可繼續(xù)思考：若點(diǎn)是第一象限的拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出四邊形的最大面積.圖13-9【跟蹤訓(xùn)練】如圖13-10，二次函數(shù)的圖象交軸于、兩點(diǎn)，并經(jīng)過點(diǎn)，已知點(diǎn)坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是.（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)及點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）該二次函數(shù)的對稱軸交軸于點(diǎn).連接，并延長交拋物線于點(diǎn)，連接，，求的面積；（4）拋物線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與，兩點(diǎn)構(gòu)成，是否存在？若存在，請求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在.請說明理由.【提示】（3）由待定系數(shù)法可求出所在的直線解析式，與拋物線方程組成方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用的面積=的面積+的面積，求出的面積；（4）設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，由求出的值，根據(jù)的正，負(fù)值求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求出點(diǎn)的坐標(biāo)。

例4如圖13-11，已知拋物線（、是常數(shù)，且）與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為.（1），點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（上述結(jié)果均用含的代數(shù)式表示）；（2）連接，過點(diǎn)作直線∥，與拋物線交于點(diǎn)點(diǎn)是軸上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，當(dāng)，，三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，點(diǎn)是軸下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接，.設(shè)的面積為.①求的取值范圍；②若的面積為正整數(shù)，則這樣的共有個(gè).圖18-11【提示】1.用表示以后，把拋物線的一般式改寫為兩點(diǎn)式，會發(fā)現(xiàn).當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，∽，∽.3.求面積的取值范圍，要分兩種情況計(jì)算，在上方或下方。4.求得了的取值范圍，然后羅列從經(jīng)過運(yùn)動(dòng)到的過程中，面積的正整數(shù)值，再數(shù)一數(shù)個(gè)數(shù).注意排除點(diǎn)，，三個(gè)時(shí)刻的值?！靖櫽?xùn)練】如圖13-12，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.點(diǎn)是直線下方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，作于點(diǎn).（1）求，及的值；（2）設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.①用含的代數(shù)式表示線段的長，并求出線段長的最大值；②連接，線段把分成兩個(gè)三角形，是否存在適合的的值，使這兩個(gè)三角形的面積比為？若存在，直接寫出的值；若不存在，請說明理由.【提示】1.第（1）題由于∥軸，把轉(zhuǎn)化為它的同位角。2.第（2）題中，，第（1）題已經(jīng)做好了鋪墊。圖13-123.與是同底邊的兩個(gè)三角形，將面積比轉(zhuǎn)化為對應(yīng)高的比。4.兩個(gè)三角形的面積比為，要分兩種情況討論.【競賽鏈接】例5如圖13－13，在平面直角坐標(biāo)系中，A是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，AE⊥y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，2），直線AB交x軸于點(diǎn)C，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于y軸對稱，直線DE與AB相交于點(diǎn)F，連接BD，設(shè)線段AE的長為m，△BED的面積為S．（1）當(dāng)m＝時(shí)，求S的值；（2）求S關(guān)于m（m≠2）的函數(shù)解析式；（3）①若S＝時(shí)，求的值；②m＞2時(shí)，設(shè)＝k，猜想k與m的數(shù)量關(guān)系并證明．【提示】（1）先由m＝可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)及AE，由點(diǎn)B的坐標(biāo)可求得BE、OE，再由△ABE∽△CBO求出CO，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出DO的長度，從而求得△BED的面積．（2）當(dāng)0＜m＜2時(shí)，點(diǎn)C在x軸正半軸，△BED在y軸左側(cè)；當(dāng)m＝2時(shí)，AB//x軸，此時(shí)點(diǎn)C和點(diǎn)D不存在，從而△BED不存在；當(dāng)m＞2時(shí)，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，△BED在y軸右側(cè)，故此問應(yīng)分兩種情況求解．【跟蹤訓(xùn)練】如圖13－14，二次函數(shù)（a≠0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（1，4），對稱軸是直線x＝，線段AD平行于x軸，交拋物線于點(diǎn)D．在y軸上取一點(diǎn)C（O，2），直線AC交拋物線于點(diǎn)B，連接OA，OB，OD，BD．（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）求坐標(biāo)平面內(nèi)使△EOD∽△AOB的點(diǎn)E坐標(biāo)；（3）設(shè)點(diǎn)F是BD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段DO上的動(dòng)點(diǎn)，問PD為何值時(shí)，將△BPF沿邊PF翻折，使△BPF與△DPF重疊部分的面積是△BDP的面積的？【提示】（2）由相似三角形的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)就可以得出E的坐標(biāo)；（3）分情況討論當(dāng)點(diǎn)B落在FD的左下方，點(diǎn)B，D重合，點(diǎn)B落在OD的右上方，由三角形的面積公式和菱形的性質(zhì)的運(yùn)用就可以求出結(jié)論．培優(yōu)訓(xùn)練【直擊中考】1．★如圖13－15，拋物線y＝－x2＋mx＋n與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，拋物線的對稱軸交x軸于點(diǎn)D，已知A（－1，0），C（0，2）．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作x軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大？求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．2．★★如圖13－16，直線AB的解析式為y＝2x＋4，交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，以A為頂點(diǎn)的拋物線交直線AB于點(diǎn)D，交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C（0，－4）．（1）求拋物線解析式；（2）將拋物線頂點(diǎn)沿著直線AB平移，此時(shí)頂點(diǎn)記為E，與y軸的交點(diǎn)記為F，記平移后拋物線與AB另一個(gè)交點(diǎn)為G，則與是否存在8倍的關(guān)系？若存在，寫出F點(diǎn)坐標(biāo)．【挑戰(zhàn)競賽】1．★★如圖13－17，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2＋bx＋c經(jīng)過點(diǎn)（1，－1），且對稱軸為直線x＝2，點(diǎn)P、Q均在拋物線上，點(diǎn)P位于對稱軸右側(cè)，點(diǎn)Q位于對稱軸左側(cè)，PA垂直于對稱軸于點(diǎn)A，QB垂直于對稱軸于點(diǎn)B，且QB＝PA＋1，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；（2）求點(diǎn)Q的坐標(biāo)（用含m的式子表示）；（3）請?zhí)骄縋A＋QB＝AB是否成立，并說明理由；（4）拋物線y＝a1x2＋b1x＋c1（a1≠0）經(jīng)過Q、B、P三點(diǎn)，若其對稱軸把四邊形PAQB分成面積比為1：5的兩部分，直接寫出此時(shí)m的值．2．★★★如圖13－18，