2009年北京市高考數學試卷(理科)(含解析版)

絕密★啟用前數本試卷共5120在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）15分）在復平面內，復數（1+2i）對應的點位于（．第一象限B．第二象限C．第三象限）．第四象限25分）已知向量（1001=k+（kR=﹣，如果∥，那么（）．k=1且c與d同向C．﹣1且c與d同向35分）為了得到函數y=lgB．k=1且c與d反向．k=﹣1且c與d反向的圖象，只需把函數y=lgx的圖象上所有的點（）．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度45分）若正四棱柱ABCD﹣ABCD的底面邊長為1AB與底面ABCD成1111160°角，則AC到底面ABCD的距離為（）11．B．1C．．55分）“α=+（k∈Z）是“cos2α=的（）．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件．既不充分也不必要條件65分）若（1+）=a+b（，b+b=（）5．45B．55C．70．80第1頁（共24頁）75分）用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（）．324B．328C．360．64885分）點P在直線：y=x﹣1上，若存在過P的直線交拋物線y=x于AB2PA|=|P為“點．直線l上的所有點都是“點”）B．直線l上僅有有限個點是“點”C．直線l上的所有點都不是“點”．直線l上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）95分）=．105分）若實數x，y滿足5分）設f（x）是偶函數，若曲線y=f（x）在點（1，f（1斜率為1，則該曲線在（﹣1，（﹣1則s=y﹣x的最小值為．．125分）橢圓|PF2|=+=1的焦點為F、F，點P在橢圓上，若|PF|=4，則121，∠FPF的大小為．12135分）若函數則不等式的解集為．145分）{a}滿足：a=1，a=0，a=a，nN則a2009=；*n4n34n12nn﹣﹣第2頁（共24頁）a=．2014三、解答題（共6小題，滿分80分）1513分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，．（）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．1614P﹣ABC中，PA⊥底面ABCPA=ABABC=60°，∠BCA=90°，點、E分別在棱、PC上，且∥．（1）求證：⊥平面PAC；（2）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在點E使得二面角﹣﹣P為直二面角？并說明理由．1713分）某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min．第3頁（共24頁）（）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（Ⅱ）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望．1813分）設函數（x）=xekx（k≠0（）求曲線y=f（x）在點（0，（0（Ⅱ）求函數（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）若函數（x）在區(qū)間（﹣1，1）內單調遞增，求k的取值范圍．1914分）已知雙曲線C：方程為x==1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準線（）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）設直線l是圓O：x+y=2上動點P（x，yxy≠0）處的切線，l與雙220000曲線C交于不同的兩點，，證明∠AOB的大小為定值．第4頁（共24頁）2013分）已知數集{a，a，…，a}（1≤a＜a＜…a，n≥2）具有性質12n12n；對任意的i，j（1≤i≤j≤naa與兩數中至少有一個屬于．ij（）分別判斷數集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質P，并說明理由；（Ⅱ）證明：1，且；，a，a，a，a成等比數列．（Ⅲ）證明：當n=5時，a12345第5頁（共24頁）2009年北京市高考數學試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題5分，滿分40分）15分）在復平面內，復數（1+2i）對應的點位于（．第一象限B．第二象限C．第三象限）．第四象限【考點】A1：虛數單位i、復數；A5：復數的運算．【專題】：計算題．【分析】按多項式乘法運算法則展開，化簡為+bi（a，b∈R）的形式，即可確定復數z所在象限．【解答】解：∵（1+2i）=i+2i=﹣2+，∴復數z所對應的點為（﹣2，1故選：B．【點評】考查．25分）已知向量（1001=k+（kR=﹣，如果∥，那么（）．k=1且c與d同向C．﹣1且c與d同向B．k=1且c與d反向．k=﹣1且c與d反向【考點】9K：平面向量共線（平行）的坐標表示．【專題】：計算題．【分析】根據所給的選項特點，檢驗k=1是否滿足條件，再檢驗k=﹣1是否滿足條件，從而選出應選的選項．【解答】解：∵（1，0（0，1k=1，第6頁（共24頁）則=+（1，1=﹣（1，﹣1顯然，與不平行，排除、B．若﹣1，則﹣+=（﹣1，1=﹣（1，﹣1即∥且與反向，排除，故選：．【點評】于另一個向量坐標的若干倍．35分）為了得到函數y=lg的圖象，只需把函數y=lgx的圖象上所有的點（）．向左平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度B．向右平移3個單位長度，再向上平移1個單位長度C．向左平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度．向右平移3個單位長度，再向下平移1個單位長度【考點】3A：函數的圖象與圖象的變換．【分析】先根據對數函數的運算法則對函數進行化簡，即可選出答案．【解答】解：∵，∴只需把函數y=lgx的圖象上所有的點向左平移31個單位長度故選：C．【點評】本題主要考查函數圖象的平移變換．屬于基礎知識、基本運算的考查．45分）若正四棱柱ABCD﹣ABCD的底面邊長為1AB與底面ABCD成1111160°角，則AC到底面ABCD的距離為（）11．B．1C．．第7頁（共24頁）【考點】LS：直線與平面平行．【專題】：計算題；13：作圖題；16：壓軸題．【分析】畫出圖象，利用線段的關系，角的三角函數，求解即可．的長度即AC到上面ABCD的距離，【解答】解：依題意，111AB=60°，BB×tan60°=，∠B11故選：．【點評】距離等概念，屬于基礎知識、基本運算的考查．55分）“α=+（k∈Z）是“cos2α=的（）．充分而不必要條件C．充分必要條件B．必要而不充分條件．既不充分也不必要條件29G9：任意角的三角函數的定義；：二倍角的三角函數．【分析】基礎知識、基本運算的考查．將a=+2kπ代入cos2a易得cos2a=成立，但cos2a=時，a=+2kπk∈Z）卻不一定成立，根據充要條件的定義，即可得到結論．【解答】解：當a=+2kπ（kZ）時，cos2a=cos（+）=cos=第8頁（共24頁）反之，當cos2a=時，有2a=2kπ+?a=kπ+（kZ或2a=2kπ﹣?a=kπ﹣（kZ故選：．判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且qp為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若pq為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若pq為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若pq為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關系．65分）若（1+）=a+b（，b+b=（）5．45B．55C．70．80【考點】：二項式定理．【專題】：計算題．【分析】展開式求出，b，求出a+b【解答】解析：由二項式定理得：（1+）5=1+5122334455?（）5+C（）+C（）+C（）+C555+5+20+20+20+4=41+29，∴，b=29，+b=70．故選：C．【點評】本題考查二項式定理求二項展開式、組合數公式求二項式系數．75分）用0到9這10個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（）第9頁（共24頁）．324B．328C．360．648【考點】D3：計數原理的應用．【專題】：計算題；16：壓軸題．【分析】本題要分類來解，當尾數為2、4、6、8時，個位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，個位有8種，寫出結果數，當尾數為0時，百位有9種選法，十位有8種結果，寫出結果，根據分類計數原理得到共有的結果數．【解答】解：由題意知本題要分類來解，當尾數為2、4、6、8時，個位有4種選法，因百位不能為0，所以百位有8種，十位有8種，共有8×8×4=256當尾數為0時，百位有9種選法，十位有8種結果，共有9×8×1=72根據分類計數原理知共有256+72=328故選：B．【點評】字問題中，解題的關鍵是看清題目的實質，很多題目要分類討論，要做到不重不漏．85分）點P在直線：y=x﹣1上，若存在過P的直線交拋物線y=x2于ABPA|=|P為“點．直線l上的所有點都是“點”）B．直線l上僅有有限個點是“點”C．直線l上的所有點都不是“點”．直線l上有無窮多個點（點不是所有的點）是“點”【考點】IR：兩點間的距離公式．【專題】：計算題；16：壓軸題；2：創(chuàng)新題型．第10頁（共24頁）【分析】根據題設方程分別設出，P的坐標，進而B的坐標可表示出，把，B的坐標代入拋物線方程聯(lián)立消去y0程有解，進而可推斷出直線l上的所有點都符合．【解答】解：設（m，n（x，x﹣1）則，B（2m﹣x，2n﹣x+1）∵，B在y=x上2∴n=m，2n﹣x+（2m﹣x）22消去n，整理得關于x的方程x﹣（4m﹣1）x+2m﹣1=022∵△=8m﹣8m+5＞0恒成立，2∴方程恒有實數解，∴故選．【點評】方程聯(lián)立，解決直線與圓錐曲線的交點個數時，利用判別式來判斷．二、填空題（共6小題，每小題5分，滿分30分）95分）=．【考點】：極限及其運算．【專題】：計算題．【分析】通過因式分解把原式轉化為=，由此能夠得到，消除零因子后得到的值．【解答】解：==第頁（共24頁）=．故答案為：．【點評】本題考查函數的極限，解題時要注意消除零因子．105分）若實數x，y滿足則s=y﹣x的最小值為﹣6．【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】①畫可行域如圖②目標函數s為該直線縱截距③平移目標函數可知直線過（4，﹣2）點時s有最小值．【解答】解：畫可行域如圖陰影部分，令s=0作直線l：y﹣x=0平移l過點A（4，﹣2）時s有最小值﹣6，故答案為﹣6．【點評】本題考查線性規(guī)劃問題：可行域畫法目標函數幾何意義5分）設f（x）是偶函數，若曲線y=f（x）在點（1，f（1斜率為1，則該曲線在（﹣1，（﹣1﹣1．【考點】：奇函數、偶函數；62：導數及其幾何意義．【分析】偶函數關于y軸對稱，結合圖象，根據對稱性即可解決本題．【解答】解；取（x）=x﹣1，如圖，第12頁（共24頁）易得該曲線在（﹣1，（﹣11．故應填﹣1．【點評】意培養(yǎng)數形結合的思想方法．125+=1的焦點為FFPPF|=4PF|=12122，∠FPF的大小為120°．12【考點】K4：橢圓的性質．【專題】：計算題；16：壓軸題．|+|PF|=6，且|PF|=4，易得|PF|；第二問【分析】第一問用定義法，由|PF1212如圖所示：角所在三角形三邊已求得，用余弦定理求解．|+|PF|=2a=6，【解答】解：∵|PF12|=6﹣|PF|=2．∴|PF21PF中，在△12cos∠FPF12第13頁（共24頁）===﹣，PF=120°．∴∠12故答案為：2；120°【點評】本題主要考查橢圓定義的應用及焦點三角形問題，這類題是?？碱愋?，難度不大，考查靈活，特別是對曲線的定義和性質考查的很到位．135則不等式的解集為[﹣31]．【考點】7E：其他不等式的解法．【專題】：計算題；16：壓軸題；35：轉化思想．【分析】法和絕對值不等式的解法分別求解，最后兩種結果取并集．【解答】解：①由．②由．∴不等式的解集為x|﹣3≤x≤1，故答案為：[﹣3，1]．【點評】本運算．145分）{a}滿足：a=1，a=0，a=a，nN=1；a=*則a2009n4n34n12nn2014﹣﹣0．第14頁（共24頁）【考點】81：數列的概念及簡單表示法．【專題】16：壓軸題．，a，a=a，知第一項是1，第二項是1，第三項是0，﹣【分析】由a4n34n12nn﹣第2009項的2009可寫為503×4﹣32009項是12014項等于1007項，而1007=252×4﹣1，所以第2014項是0．【解答】解：∵2009=503×4﹣3，∴2009=1，=a，∵201410071007=252×4﹣1，∴2014=0，故答案為：1，0．【點評】培養(yǎng)學生善于分析題意，富于聯(lián)想，以適應新的背景，新的設問方式，提高學生用函數的思想、方程的思想研究數列問題的自覺性、培養(yǎng)學生主動探索的精神和科學理性的思維方法．三、解答題（共6小題，滿分80分）1513分）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為，．（）求sinC的值；（Ⅱ）求△ABC的面積．【考點】：同角三角函數間的基本關系；HP：正弦定理．【專題】：計算題．【分析】（ⅠcosA=得到A為銳角且利用同角三角函數間的基本關系求出sinA﹣﹣AC的值代入sinC，利用兩角差的正弦函數公式化簡后，將sinA和cosA代入即可求出值；（Ⅱ）要求三角形的面積，根據面積公式S=absinC和（Ⅰ）可知公式里邊的a不知道，所以利用正弦定理求出a即可．第15頁（共24頁）【解答】）∵、B、C為△ABC的內角，且∴A為銳角，＞0，則sinA=∴=∴sinC=sin（﹣A）=cosA+sinA=；（Ⅱ）由（）知sinA=，sinC=又∵∴在△ABC中，由正弦定理，得∴a==，∴△ABC的面積S=absinC=×××，，=．【點評】本關系化簡求值．靈活運用兩角和與差的正弦函數公式化簡求值．1614P﹣ABC中，PA⊥底面ABCPA=ABABC=60°，∠BCA=90°，點、E分別在棱、PC上，且∥．（1）求證：⊥平面PAC；（2）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；（3）是否存在點E使得二面角﹣﹣P為直二面角？并說明理由．【考點】MI：直線與平面所成的角；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】：計算題；14：證明題．【分析】（1）欲證⊥平面PAC，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證第16頁（共24頁）BC與平面PAC內兩相交直線垂直，根據線面垂直的性質可知PA⊥BC，而AC⊥，滿足定理所需條件；（2⊥平面PACEDAE是AD與平面PAC△ADE中，求出AD與平面PAC所成角即可；（3DE⊥⊥PEAEP為二面角A﹣﹣P的平面角，而PA⊥AC，則在棱PC上存在一點E，使得⊥PC，從而存在點E使得二面角﹣﹣P是直二面角．1）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥．又∠BCA=90°，∴AC⊥，∴⊥平面PAC．（2）∵D為PB的中點，∥BC，∴DE=．又由（1）知，⊥平面PAC，∴⊥平面PAC，垂足為點E，∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB．又PA=AB，∴△ABP為等腰直角三角形，∴AD=AB．在△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=AB，∴在△ADE中，sin∠DAE===，即AD與平面PAC所成角的正弦值為．（3）∵∥BC，又由（1）知，⊥平面PAC，∴⊥平面PAC．又∵?平面PAC，PE?平面PBC，∴⊥，DE⊥，∴∠AEP為二面角﹣﹣P的平面角．∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°，∴在棱PC上存在一點E，使得⊥．這時，∠AEP=90°，第17頁（共24頁）故存在點E使得二面角﹣﹣P是直二面角．【點評】識點比較多，知識性技巧性都很強．1713分）某學生在上學路上要經過4個路口，假設在各路口是否遇到紅燈是相互獨立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2min．（）求這名學生在上學路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；（Ⅱ）求這名學生在上學路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望．【考點】C8：相互獨立事件和相互獨立事件的概率乘法公式；CG：離散型隨機變量及其分布列；CH：離散型隨機變量的期望與方差．【專題】：計算題．【分析】（1一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈是相互獨立事件同時發(fā)生的概率，根據公式得到結果．（2）由題意知變量的可能取值，根據所給的條件可知本題符合獨立重復試驗，根據獨立重復試驗公式得到變量的分布列，算出期望．【解答】ⅠA，∵事件A等于事件“這名學生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈，∴事件A的概率為（Ⅱ）由題意可得可能取的值為0，2，4，6，8（單位：min）事件“ξ=2k”等價于事件該學生在路上遇到k次紅燈（k=0，1，2，3，4∴，第18頁（共24頁）∴即的分布列是0∴的期望是【點評】生的概率互不影響，而對立事件是指同一次試驗中，不會同時發(fā)生的事件，遇到求用至少來表述的事件的概率時，往往先求它的對立事件的概率．1813分）設函數（x）=xekx（k≠0（）求曲線y=f（x）在點（0，（0（Ⅱ）求函數（x）的單調區(qū)間；（Ⅲ）若函數（x）在區(qū)間（﹣1，1）內單調遞增，求k的取值范圍．【考點】6B：利用導數研究函數的單調性；6H：利用導數研究曲線上某點切線方程．【專題】：計算題；16：壓軸題．【分析】（）欲求出切線方程，只須求出其斜率即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率．從而問題解決．（II）先求出（x）的導數，根據f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調減區(qū)間即可；（III）由（）知，若k＞0，則當且僅當﹣≤﹣1時，函數（x11）內單調遞增，若k＜0，則當且僅當﹣≥1時，函數（x11）內單調遞增，由此即可求k的取值范圍．【解答】）f′（x）=（1+kx）e，f′（0），（0）=0，kx曲線y=f（x）在點（0，（0y=x；（Ⅱ）由f′（x）（1+kx）kx，得x=﹣（k≠0若k＞0，則當x（﹣∞，﹣）時，第19頁（共24頁）f′（x）＜0，函數（x）單調遞減，當x（﹣f′（x）＞0，函數（x）單調遞增，若k＜0，則當x（﹣∞，﹣）時，f′（x）＞0，函數（x）單調遞增，當x（﹣f′（x）＜0，函數（x）單調遞減；（Ⅲ）由（）知，若k＞0，則當且僅當﹣≤﹣1，即k≤1時，函數（x1，1）內單調遞增，若k＜0，則當且僅當﹣≥1，即k≥﹣1時，函數（x1，1）內單調遞增，綜上可知，函數（x1，1）內單調遞增時，k的取值范圍是[﹣1，0）∪（0，1]．【點評】于基礎題．1914分）已知雙曲線C：方程為x==1（a＞0，b＞0）的離心率為，右準線（）求雙曲線C的方程；（Ⅱ）設直線l是圓O：x+y=2上動點P（x，yxy≠0）處的切線，l與雙220000曲線C交于不同的兩點，，證明∠AOB的大小為定值．【考點】KJ：圓與圓錐曲線的綜合．【專題】：計算題；15：綜合題；16：壓軸題；35：轉化思想．【分析】（I）先利用條件列出關于a，c的方程解方程求出a，c，b；即可求出第20頁（共24頁）雙曲線方程．（II）先求出圓的切線方程，再把切線與雙曲線方程聯(lián)立求出關于點，B坐標之間的方程，再代入求出∠AOB的余弦值即可證明∠AOB的大小為定值．）由題意，解得，c=，，b=c2，22﹣a∴所求雙曲C的方程．=2上，2（Ⅱ）設（m，n≠0）在x+y2圓在點（m，n）處的切線方程為y﹣n=﹣（x﹣m化簡得+ny=2．=2得2以及m+n2，2（3m﹣4）x﹣4mx+8﹣2m22∵切L與雙曲線C交于不同的兩點A、B，且0＜m＜2，23m﹣4≠0，且△=16m﹣4（3m﹣48﹣2m）＞0，2222，yx，y設、B兩點的坐標分別（x1122x+x=，xx=．1212∵且，=xx+[4﹣2m（x+x）+mxx]2121212=+[4﹣+]第21頁（共24頁）=﹣．∴∠AOB的大小為90．0【點評】本題主要考查雙曲線的標準方程、圓的切線方程等基礎知識，考