無窮小與無窮大和極限的關系

關于無窮小與無窮大和極限的關系第1頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五一、無窮小與無窮大的概念極限為零的變量稱為無窮小.1.無窮小第2頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五例如,注意1.無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;2.零是可以作為無窮小的唯一的數(shù).第3頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五2.無窮大定義2

如果對于任意給定的正數(shù)M(不論它多么小),總存在正數(shù)

d(或正數(shù)X),使得對于適合不等式d<-<00xx(或>xX)的一切x,所對應的函數(shù)值)(xf都滿足不等式

Mxf>)(,

則稱函數(shù))(xf當0xx(或x)時為無窮小,記作

).)(()(==xfxf或

絕對值無限增大的變量稱為無窮大.第4頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五特殊情形：正無窮大，負無窮大．注意1.無窮大是變量,不能與很大的數(shù)混淆;3.無窮大是一種特殊的無界變量,但是無界變量未必是無窮大.第5頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五),3,2,1,0(221kL=+=kkxpp取(1),22)(kpp+=kxy.)(,kMxy>充分大時當k),3,2,1,0(21kL==kkxp取(2)不是無窮大．無界，第6頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證第7頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五1.無窮小與函數(shù)極限的關系:證必要性充分性二、無窮小與無窮大和極限的關系是時無窮小.第8頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五2.無窮小與無窮大的關系即：無窮大的倒數(shù)為無窮小，非零無窮小的倒數(shù)是無窮大.第9頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五證(2)注

關于無窮大的討論,都可歸結為關于無窮小的討論.第10頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五.0)(,0)(

)1(=xfxf且設

第11頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五意義1.將一般的極限問題轉化為特殊的極限問題(無窮小）；

2.給出了函數(shù)在附近的近似表達式

第12頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五三、無窮小的運算性質(zhì)

定理3同一過程中，有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.證：第13頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五注意：無限個無窮小量的和不一定是無窮小.例如，第14頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五定理4有界函數(shù)與無窮小量的積仍是無窮小.證

恒有又設是當時的無窮小，使得當取則當

時恒有時第15頁，共17頁，2022年，5月20日，0點19分，星期五推論1在同一過程中，有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個無窮小的乘積也是無窮小.例