高中數(shù)學(xué)《等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及相關(guān)性質(zhì)第一課時(shí)》復(fù)習(xí)課件

4.2.2等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式第一課時(shí)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及相關(guān)性質(zhì)課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.2.理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.在探索等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式及相關(guān)性質(zhì)的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).南方繞彎新知探究在我國古代，9是數(shù)字之極，代表尊貴之意，所以中國古代皇帝建筑中包含許多與9相關(guān)的設(shè)計(jì).例如，北京天壇圓丘的地面由扇環(huán)的石板鋪成(如圖)，最高一層的中心是一塊天心石，圍繞它的第1圈有9塊石板，從第2圈開始，每一圈比前一圈多9塊，共有9圈.問題文中所提到的最高一層的石板一共有多少塊？提示9＋2×9＋3×9＋…＋8×9＋9×9＝405(塊).1.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求Sn的條件：已知n，a1，an或n，a1，d(1)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式南方繞彎2.等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)南方繞彎拓展深化[微判斷]1.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則Sn與an不可能相等.()

提示當(dāng)an＝0時(shí)，Sn＝an.2.等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn是關(guān)于n的二次函數(shù).()

提示

當(dāng)公差d＝0時(shí)，Sn＝na1不是關(guān)于n的二次函數(shù).××√

[微訓(xùn)練]1.等差數(shù)列{an}中a1＝2，a2＝3，則其前10項(xiàng)的和S10＝________.答案65南方繞彎2.等差數(shù)列{an}中，若a1＝－1，S25＝30，則公差d＝________.3.數(shù)列{an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，則λ的值是________.

解析等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的形式為Sn＝an2＋bn，∴λ＝－1.

答案－1南方繞彎[微思考]1.高斯用1＋2＋3＋…＋100＝(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50迅速求出了等差數(shù)列前100項(xiàng)的和.如果是求1＋2＋3＋…＋n，不知道共有奇數(shù)項(xiàng)還是偶數(shù)項(xiàng)怎么辦？2.能否用“倒序相加法”求首項(xiàng)為a1，公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn呢？提示由上節(jié)課學(xué)到的性質(zhì)：在有窮等差數(shù)列中，與首末兩項(xiàng)“等距離”的兩項(xiàng)之和等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….“倒序相加法”可以推廣到一般等差數(shù)列求前n項(xiàng)和，其方法如下：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝a1＋(a1＋d)＋(a1＋2d)＋…＋[a1＋(n－2)d]＋[a1＋(n－1)d]；Sn＝an＋an－1＋an－2＋…＋a2＋a1＝an＋(an－d)＋(an－2d)＋…＋[an－(n－2)d]＋[an－(n－1)d].兩式相加，得2Sn＝(a1＋an)·n，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝a1＋(n－1)d，南方繞彎題型一等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的基本運(yùn)算【例1】在等差數(shù)列{an}中：(1)已知a5＋a10＝58，a4＋a9＝50，求S10；(2)已知S7＝42，Sn＝510，an－3＝45，求n.解

(1)法一由已知條件得南方繞彎∴n＝20.規(guī)律方法等差數(shù)列中基本計(jì)算的兩個(gè)技巧(1)利用基本量求值.(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)解題.南方繞彎【訓(xùn)練1】

(1)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a1＝－2018，S6－2S3＝18，則S2020＝(

) A.－2018 B.2018 C.2019 D.2020 (2)(多選題)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，當(dāng)首項(xiàng)a1和公差d變化時(shí)，若a1＋a8＋a15是定值，則下列各項(xiàng)中為定值的是(

) A.a7 B.a8 C.S15 D.S16答案(1)D

(2)BC南方繞彎題型二等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用【例2】

(1)等差數(shù)列{an}的前m項(xiàng)和為30，前2m項(xiàng)和為100，求數(shù)列{an}的前3m項(xiàng)的和S3m；解

(1)法一在等差數(shù)列中，∵Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，∴30，70，S3m－100成等差數(shù)列.∴2×70＝30＋(S3m－100)，∴S3m＝210.即S3m＝3(S2m－Sm)＝3×(100－30)＝210.南方繞彎【訓(xùn)練2】

(1)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S3＝－6，S18－S15＝18，則S18等于(

)南方繞彎答案(1)A

(2)C題型三求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和【例3】若等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝13，d＝－4，記Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.解

∵a1＝13，d＝－4，∴an＝17－4n.當(dāng)n≤4時(shí)，南方繞彎當(dāng)n≥5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(a5＋a6＋…＋an)＝S4－(Sn－S4)＝2S4－Sn規(guī)律方法已知{an}為等差數(shù)列，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和的步驟第一步，解不等式an≥0(或an≤0)尋找{an}的正負(fù)項(xiàng)分界點(diǎn).第二步，求和：①若an各項(xiàng)均為正數(shù)(或均為負(fù)數(shù))，則{|an|}各項(xiàng)的和等于{an}的各項(xiàng)的和(或其相反數(shù))；②若a1＞0，d＜0(或a1＜0，d＞0)，這時(shí)數(shù)列{an}只有前面有限項(xiàng)為正數(shù)(或負(fù)數(shù))，可分段求和再相加.南方繞彎【訓(xùn)練3】已知等差數(shù)列{an}中，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S2＝16，S4＝24，求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.解設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，所以等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝11－2n(n∈N*).①當(dāng)n≤5時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n.②當(dāng)n≥6時(shí)，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n)＝n2－10n＋50，一、素養(yǎng)落地1.通過學(xué)習(xí)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程及性質(zhì)，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).2.等差數(shù)列的兩個(gè)求和公式中，一共涉及a1，an，Sn，n，d五個(gè)量，若已知其中三個(gè)量，通過方程思想可求另外兩個(gè)量.在利用求和公式時(shí)，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下面結(jié)論的運(yùn)用：若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.3.求等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)的絕對(duì)值之和，關(guān)鍵是找到{an}的正負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn).南方繞彎二、素養(yǎng)訓(xùn)練1.在等差數(shù)列{an}中，S10＝120，那么a1＋a10的值是(

)A.12 B.24C.36 D.48答案B2.記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(

) A.1 B.2 C.4 D.8答案C南方繞彎答案A4.設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝2，S8＝6，則S12＝________.

解析因?yàn)?/p>

S4，S8－S4，S12－S8成等差數(shù)列，故2(S8－S4