復變函數(shù)課件

第一節(jié)

復數(shù)項級數(shù)一、復數(shù)列的極限二、級數(shù)的概念

三、典型例題四、小結與思考2記作limn

.n此時也稱復數(shù)列{n

}收斂于

.一、復數(shù)列的極限1.定義

設{n

}(

n

1,2,)

為一復數(shù)列其中

n

an

ibn

,又設

a

ib

為一確定的復數(shù)如果任意給定

0,相應地都能找到一個正數(shù)N

(

),使n

在n

N

時成立,那末

稱為復數(shù)列{n

}當n

時的極限,32.復數(shù)列收斂的條件復數(shù)列{n}(n

1,2,)收斂于

的充要條件是liman

a

, limbn

b

.n

n如果limn

,那末對于任意給定的

0n就能找到一個正數(shù)N,當n

N

時,(an

ibn

)

(a

ib)

,證4從而有

an

a

(an

a)

i(bn

b)

,所以

liman

a.

同理

limbn

b.n

n反之,

如果

liman

a

, limbn

b,n

n那末當n

N

時,a

n

a

,bn

b

.2

2個實數(shù)列的斂散性.n定理一說明:可將復數(shù)列的斂散性轉化為判別兩從而有

n

(an

ibn)

(a

ib)

(an

a)

i(bn

b)

an

a

bn

b

,所以

li

mn

.

[證畢]課堂練習:下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.n1

ni(1)z

1

ni

;n

1(2)

z

(1)n

i

;nn1

ni(

3)

zn

e

2

.567二、級數(shù)的概念1.定義設{n

}

{an

bn

}(n

1,2,)為一復數(shù)列n

1

2

n

n1表達式稱為復數(shù)項無窮級數(shù).部分和其最前面n

項的和sn

1

2

n

稱為級數(shù)的部分和.8收斂與發(fā)散如果部分和數(shù)列{sn

}收斂,那末級數(shù)n收斂,n1并且極限lim

sn

s

稱為級數(shù)的和.nn性的基本方法是:利用極限limsn

s.如果部分和數(shù)列{sn

}不收斂,n那末級數(shù)

發(fā)散.n1說明:與實數(shù)項級數(shù)相同,判別復數(shù)項級數(shù)斂散9例如,級數(shù)z

n

:n02n-1ns

1

z

z

z(z

1),1

z1

zn由于當z

1時,limsn

lim,nn

1

z

1

z1

zn

1所以當z

1時級數(shù)收斂102.復數(shù)項級數(shù)收斂的條件

an

和bn

都收斂.n1

n1證

因為

sn

1

2

n

(a1

a2

an

)

i(b1

b2

bn

)

n

i

n

,定理二級數(shù)

n

(an

ibn)收斂的充要條件n1

n1

根據(jù){sn

}極限存在的充要條件{

n

}和{

n

}的極限存在,于是級數(shù)an

和bn

都收斂.n1

n1說明

復數(shù)項級數(shù)的審斂問題

(定理二)實數(shù)項級數(shù)的審斂問題

1n1in

n

1n1

n1

n解因為

an

發(fā)散;

n1

n1n

n2b

1

收斂.所以原級數(shù)發(fā)散.課堂練習

級數(shù)

(1

)

是否收斂？111213

因為實數(shù)項級數(shù)

an和

bn收斂的必要條件是n1

n1liman

0

和limbn

0.n

nnlimn

0必要條件n1n重要結論:lim

n

0

級數(shù)

n發(fā)散.所以復數(shù)項級數(shù)n收斂的必要條件是n114例如,級數(shù)ein

:n1n

n

n因為lim

limein

0,不滿足必要條件,

所以原級數(shù)發(fā)散.n啟示:

判別級數(shù)的斂散性時,

可先

lim

n

?

0n如果limn

0,

級數(shù)發(fā)散;nnlim

0,

應進一步判斷.15

且不等式n

n

成立.n1

n1注意

n

的各項都是非負的實數(shù)n1應用正項級數(shù)的審斂法則判定.3.絕對收斂與條件收斂

定理三如果

n

收斂,那末n

也收斂.n1

n116證n1

n1n

n由于

n

a

2

b

2

,n而

an

n

na

2

b

2

,

bn

a

2

bn

2

,根據(jù)實數(shù)項級數(shù)的比較準則,知

an

及

bn

都收斂,n1

n1

故

an

及

bn

也都收斂.n1

n1由定理二可得

n

是收斂的.n1n

n又由

k

k

,k1

k1n

nk1

k1n

n可知

lim

k

lim

k[證畢]

或

k

k

.k

1

k

1非絕對收斂的收斂級數(shù)稱為條件收斂級數(shù).n

n

n

na2

b2

a

b

,說明由2

2nnnk

1k

k

k

ka

b

a

b

,k

1

k

1知n1

nn1如果

收斂,

那末稱級數(shù)

n

為絕對收斂.定義171819

n絕對收斂

an與

bn絕對收斂

n1

n1

n1

.

所以

an與bn絕對收斂時,n1

n1

n也絕對收斂.

n1綜上:20ninnp1

ei

pn1

enn(1)

(1

)

;n

nnb

(1

1

)sin

.n

n所以a

(1

1

)cos

p

,n而liman

1

,

limbn

0n

n解(1)因為三、典型例題例1

下列數(shù)列是否收斂,

如果收斂,

求出其極限.1

(1

)

(1

)(cos

i

sin

),

n

n

nn(2)

n

cosin

.211ni

penn所以數(shù)列

(1

)收斂,且li

m

n

1.n解(2)由于

n

n

cos

in

ncoshn,當

n

時,

n

,所以數(shù)列發(fā)散.22是否收斂？例2n11級數(shù)1

i2

nn解

級數(shù)滿足必要條件,1

i2

n1

0,nn即lim但

n1

n1

1

(

1)nin

n

1

i

2

n1

1n1

n原級數(shù)仍發(fā)散.因為級數(shù)

發(fā)散,雖(1)收斂,n1n

1n

12

3

2

3n1

n

n1n1n

(1

1

1

)

i(1

1

1

)

i

(

1)是否絕對收斂？n1n!

(8i)n例3

級數(shù)n1

n!故原級數(shù)收斂,且為絕對收斂.所以由正項級數(shù)的比值判別法知:

8n收斂,n

n解

因為(8i)

8

,n!

n!n1(1)nn也收斂,

1n1

2n故原級數(shù)收斂.但

為條件收斂,n1

(1)nn所以原級數(shù)非絕對收斂.n1

n(

1)

1n例4

級數(shù)2n[

i]