2023版高三一輪總復習數學新教材新高考第5章 第5節(jié)復數

8/8復數[考試要求]1.通過方程的解，認識復數.2.結合復數的代數表示及其幾何意義，考查復數的實部、虛部，共軛復數，復數的模等概念的認識.3.結合復數的運算法則，考查復數的加、減、乘、除運算．1．復數的有關概念(1)復數的定義形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中實部是a，虛部是b.(2)復數的分類eq\o(復數z＝a＋bia，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實數b＝0，,\o(虛數b≠0)\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(純虛數a＝0，b≠0，,非純虛數a≠0，b≠0.))))(3)復數相等a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(4)共軛復數a＋bi與c＋di共軛?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)．(5)復數的模向量eq\o(OZ,\s\up8(→))的模叫做復數z＝a＋bi的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)．2．復數的幾何意義復數z＝a＋bi與復平面內的點Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up8(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一對應關系．3．復數的運算(1)復數的加、減、乘、除運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．(2)復數加法的運算定律復數的加法滿足交換律、結合律，即對任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．eq\o([常用結論])1．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.2．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)．3．z·eq\x\to(z)＝|z|2＝|eq\x\to(z)|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(z1,z2)))＝eq\f(|z1|,|z2|)，|zn|＝|z|n.一、易錯易誤辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)若a∈C，則a2≥0. ()(2)復數中有相等復數的概念，因此復數可以比較大?。?()(3)復數z＝a＋bi(a，b∈R)的虛部為bi. ()(4)方程x2＋x＋1＝0沒有解． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材習題衍生1．若復數z＝(x2－1)＋(x－1)i為純虛數，則實數x的值為()A．－1 B．0C．1 D．－1或1A[因為z為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－1＝0，,x－1≠0，))所以x＝－1.]2．復數eq\f(1＋i,i)的虛部是()A．1 B．－1C．i D．－iB[∵eq\f(1＋i,i)＝eq\f(1＋i－i,－i2)＝1－i，∴eq\f(1＋i,i)的虛部為－1.故選B．]3．方程x2＋3＝0在復數范圍內的解為x＝________.[答案]±eq\r(3)i4．如圖，在復平面內，復數z1，z2對應的向量分別是eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，則z1·z2＝________.－4－3i[z1＝－2＋i，z2＝1＋2i，z1·z2＝(－2＋i)(1＋2i)＝－4－3i.]考點一復數的有關概念 1．如果復數z＝eq\f(2,－1＋i)，則()A．z的共軛復數為1＋i B．z的虛部為－iC．|z|＝2 D．z的實部為－1D[∵z＝eq\f(2,－1＋i)＝eq\f(2－1－i,－1＋i－1－i)＝eq\f(－2－2i,2)＝－1－i，∴z的實部為－1，故選D．]2．若復數z滿足(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|(其中i是虛數單位)，則復數z的共軛復數eq\x\to(z)的虛部為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)iC．－eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)iC[由(eq\r(3)－i)z＝|eq\r(3)＋i|得(eq\r(3)－i)z＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2，所以z＝eq\f(2,\r(3)－i)＝eq\f(2\r(3)＋i,\r(3)－i\r(3)＋i)＝eq\f(2\r(3)＋i,4)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)＝eq\f(\r(3),2)－eq\f(1,2)i，所以eq\x\to(z)的虛部為－eq\f(1,2).]3．如果復數eq\f(m2＋i,1＋mi)是純虛數，那么實數m等于()A．－1 B．0C．0或1 D．0或－1D[eq\f(m2＋i,1＋mi)＝eq\f(m2＋i1－mi,1＋mi1－mi)＝eq\f(m2＋m＋1－m3i,1＋m2)，因為此復數為純虛數，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋m＝0，,1－m3≠0，))解得m＝－1或0，故選D．]4．(多選)(2021·江蘇南通模擬)下列結論正確的是()A．若復數z滿足z＋eq\x\to(z)＝0，則z為純虛數B．若復數z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈RC．若復數z滿足z2≥0，則z∈RD．若復數z1，z2滿足zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，則z1＝z2＝0BC[對于A選項，設復數z＝0，z＋eq\x\to(z)＝0滿足，z不為純虛數，故A選項錯誤；對于B選項，設復數z＝a＋bieq(\a\vs4\al\co1(a，b∈R))，則eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，所以b＝0，即z∈R，故B選項正確；對于C選項，設復數z＝a＋bieq(\a\vs4\al\co1(a，b∈R))，則z2＝eq(\a\vs4\al\co1(a＋bi))2＝a2－b2＋2abi≥0，所以ab＝0且a2－b2≥0，所以b＝0，即z∈R，故C選項正確；對于D選項，設復數z1＝1，z2＝i，所以zeq\o\al(2,1)＋zeq\o\al(2,2)＝0，但z1＝z2＝0不成立，故D選項錯誤．故選BC．]解決復數概念問題的方法及注意事項(1)復數的分類及對應點的位置問題都可以轉化為復數的實部與虛部應該滿足的條件問題，只需把復數化為代數形式，列出實部和虛部滿足的方程(不等式)組即可．(2)解題時一定要先看復數是否為a＋bi(a，b∈R)的形式，以確定實部和虛部．考點二復數的四則運算 1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，則z(eq\x\to(z)＋i)＝()A．6－2i B．4－2iC．6＋2i D．4＋2iC[因為z＝2－i，所以z(eq\x\to(z)＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i，故選C．]2．(2021·全國甲卷)已知(1－i)2z＝3＋2i，則z＝()A．－1－eq\f(3,2)i B．－1＋eq\f(3,2)iC．－eq\f(3,2)＋i D．－eq\f(3,2)－iB[z＝eq\f(3＋2i,1－i2)＝eq\f(3＋2i,－2i)＝eq\f(3i－2,2)＝－1＋eq\f(3,2)i.]3．(多選)(2021·湖南雅禮中學二模)設z1，z2是復數，則下列命題中的真命題是()A．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1－z2))＝0，則eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，則eq\x\to(z)1＝z2C．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z2))，則z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z2))，則zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)ABC[對于A，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1－z2))＝0，則z1－z2＝0，z1＝z2，所以eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2為真；對于B，若z1＝eq\x\to(z)2，則z1和z2互為共軛復數，所以eq\x\to(z)1＝z2為真；對于C，設z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，a1，b1，a2，b2∈R，若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z2))，則eq\r(a\o\al(2,1)＋b\o\al(2,1))＝eq\r(a\o\al(2,2)＋b\o\al(2,2))，即aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)，所以z1·eq\x\to(z)1＝aeq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,1)＝aeq\o\al(2,2)＋beq\o\al(2,2)＝z2·eq\x\to(z)2，所以z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2為真；對于D，若z1＝1，z2＝i，則eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z1))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(z2))，而zeq\o\al(2,1)＝1，zeq\o\al(2,2)＝－1，所以zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)為假．故選ABC．]4．eq\f(1－i2021,1＋i)＝________.－i[eq\f(1－i2021,1＋i)＝eq\f(1－i,1＋i)＝eq\f(1－i2,1－i1＋i)＝eq\f(－2i,2)＝－i.]復數運算的常見類型及解題策略(1)復數的乘法復數的乘法類似于多項式的乘法，可將含有虛數單位i的項看作一類同類項，不含i的項看作另一類同類項，分別合并即可．(2)復數的除法除法的關鍵是分子、分母同乘分母的共軛復數，解題中要注意把i的冪寫成最簡形式．(3)復數的綜合運算運用復數的四則運算法則進行運算，要注意運算順序．考點三復數的幾何意義 eq[典例](1)(2021·新高考Ⅱ卷)復數eq\f(2－i,1－3i)在復平面內對應點所在的象限為()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限(2)(多選)(2021·福州模擬)已知復數z0＝1＋2i(i為虛數單位)在復平面內對應的點為P0，復數z滿足|z－1|＝|z－i|，下列結論正確的是()A．P0點的坐標為(1,2)B．復數z0的共軛復數對應的點與點P0關于虛軸對稱C．復數z對應的點Z在一條直線上D．P0與z對應的點Z間的距離的最小值為eq\f(\r(2),2)(3)(2020·全國Ⅱ卷)設復數z1，z2滿足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq\r(3)＋i，則|z1－z2|＝________.(1)A(2)ACD(3)2eq\r(3)[(1)∵eq\f(2－i,1－3i)＝eq\f(2－i1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq\f(2＋6i－i－3i2,12＋－32)＝eq\f(5＋5i,10)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，∴在復平面內，復數eq\f(2－i,1－3i)對應的點的坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))，位于第一象限．故選A．(2)復數z0＝1＋2i在復平面內對應的點為P0(1,2)，A正確；復數z0的共軛復數對應的點與點P0關于實軸對稱，B錯誤；設z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yieq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(＝))x＋(y－1)i|，即eq\r(x－12＋y2)＝eq\r(x2＋y－12)，整理得y＝x，即Z點在直線y＝x上，C正確；易知點P0到直線y＝x的垂線段的長度即為P0、Z之間距離的最小值，結合點到直線的距離公式可知，最小值為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－2)),\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故D正確．故選ACD．(3)法一：(代數法)設z1－z2＝a＋bi，a，b∈R，因為z1＋z2＝eq\r(3)＋i，所以2z1＝(eq\r(3)＋a)＋(1＋b)i,2z2＝(eq\r(3)－a)＋(1－b)i.因為|z1|＝|z2|＝2，所以|2z1|＝|2z2|＝4，所以eq\r(\r(3)＋a2＋1＋b2)＝4，①eq\r(\r(3)－a2＋1－b2)＝4，②①2＋②2，得a2＋b2＝12.所以|z1－z2|＝eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(3).法二：(幾何法)設復數z1，z2在復平面內分別對應向量eq\o(OA,\s\up8(→))，eq\o(OB,\s\up8(→))，則z1＋z2對應向量eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→)).由題意知|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(OB,\s\up8(→))|＝|eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))|＝2，如圖所示，以OA，OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則z1－z2對應向量eq\o(BA,\s\up8(→))，且|eq\o(OA,\s\up8(→))|＝|eq\o(AC,\s\up8(→))|＝|eq\o(OC,\s\up8(→))|＝2，可得|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝2|eq\o(OA,\s\up8(→))|sin60°＝2eq\r(3).故|z1－z2|＝|eq\o(BA,\s\up8(→))|＝2eq\r(3).]與復數幾何意義相關的問題的一般解法eq\o([跟進訓練])1．已知z＝(m＋3)＋(m－1)i在復平面內對應的點在第四象限，則實數m的取值范圍是()A．(－3,1) B．(－1,3)C．(1，＋∞) D．(－∞，－3)A[