專題04 立體幾何（理科）

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家課外補(bǔ)習(xí)專用PAGE歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。PAGE29高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。專題四立體幾何（理科）【高考考場實(shí)情】立體幾何是高中數(shù)學(xué)的主干知識．課程標(biāo)準(zhǔn)下的高中數(shù)學(xué)教材螺旋式地安排了兩部分內(nèi)容：《數(shù)學(xué)2》（必修）；《數(shù)學(xué)》（選修2－1）——“空間幾何體”、“點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系”、“空間直角坐標(biāo)系”和“空間向量與立體幾何”.作為高考必考內(nèi)容，立體幾何主要考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力等.縱觀2014~2017年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷，從年份、卷號、題號、分值、問題的載體、考查的知識點(diǎn)與方法等幾個(gè)方面，制成下面的表格，從中可以透視近五年立體幾何的命題視角和考查方向.年份卷別選擇題或填空題解答題2014年全國I卷理12：三視圖（求最長的棱長）文8：三視圖（判斷幾何體）理19：（1）證明線段相等；（2）求二面角的余弦值文19：（1）證明線線垂直；（2）求三棱柱的高全國II卷理6/文6：三視圖（毛坯體積比）理11：異面直線所成角的余弦值文7：三棱錐的體積理18：（1）證明線面平行；（2）已知二面角大小求三棱錐體積文18（1）證明線面平行；（2）求點(diǎn)到面的距離2015年全國I卷理6/文6：米堆（圓錐的四分之一）的體積（數(shù)學(xué)文化）理11/文11：三視圖（組合體，求球的半徑）理18：（1）證明面面垂直；（2）求異面直線所成角的余弦值文18（1）證明面面垂直；（2）求三棱錐的側(cè)面積全國II卷理6/文6：三視圖（體積比）理9/文9：球的表面積（球內(nèi)接三棱錐問題）理19：（1）作圖題；（2）求線面角的正弦值文19：（1）作圖題；（2）求幾何體體積比2016年全國I卷理6/文7：三視圖（求八分之七的球的表面積）理11/文11：求異面直線所成角的正弦值理18：（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值文18（1）證明中點(diǎn)問題；（2）作圖并求四面體的體積全國II卷理6/文7：三視圖（求組合體的表面積）理14：位置關(guān)系（符號語言）理19：（1）證明線面垂直；（2）求二面角的正弦值文19：（1）證明線線垂直；（2）求五棱錐的體積全國III卷理9/文10：三視圖（求平行六面體的表面積）理10/文11：與直三棱柱的上、下底面相切的球的體積理19：（1）證明線面平行；（2）求線面角的正弦值文19：（1）證明線面平行；（2）求四面體的體積2017年全國I卷理7：三視圖（組合體）理16；三棱錐的體積的最大值文6：線面平行文16：球的表面積（球內(nèi)接三棱錐）理18：（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值文18（1）證明面面垂直；（2）求四棱錐的側(cè)面積全國II卷理4/文6：三視圖（求體積）理10：異面直線所成角的余弦值文15：長方體的外接球的表面積理19：（1）證明線面平行；（2）求二面角的余弦值文18：（1）證明線面平行；（2）求四棱錐體積全國III卷理8/文9：圓柱外接球文10：線線垂直理16：線線所成角理19：（1）證明面面垂直；（2）求二面角的余弦值文19：（1）證明線線垂直；（2）求幾何體的體積比【考查重點(diǎn)難點(diǎn)】從2014~2017年新課標(biāo)全國高考數(shù)學(xué)卷匯總表可以看出，考查立體幾何的題型題序相對穩(wěn)定．試卷常常設(shè)置兩道小題（大部分以選擇題形式呈現(xiàn)，有時(shí)也以填空題的形式呈現(xiàn)），一道解答題，合計(jì)22分．小題一道相對容易、一道中等或中偏上難度（有時(shí)在壓軸題的位置）；解答題一般在18或19題的位置，屬中檔題，難度不是太大.下面主要以全國高考數(shù)學(xué)卷為例，分析學(xué)生解答立體幾何試題存在的問題，尋找解決問題的對策，并提出幾點(diǎn)備考對策，供老師們高三復(fù)習(xí)參考.【存在問題分析】（一）識圖、作圖、用圖能力弱【指點(diǎn)迷津】識圖、作圖、用圖能力的培養(yǎng)，直接影響著空間象能力的形成.學(xué)生的識圖、作圖、用圖能力弱，通常表現(xiàn)在不能正確地畫出幾何體的三視圖、不會還原三視圖或還原成錯(cuò)誤的幾何體、不會識別幾何體中的空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系、把握不清空間圖形中的數(shù)量關(guān)系、不能恰當(dāng)?shù)乩米儞Q處理圖形、不會運(yùn)用基本圖形思考問題和解決問題、混淆展開和折疊前后圖形中的變量與不變量等.【例1】(2013新課標(biāo)=2\*ROMANII卷理7改編)一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，則得到的正視圖可以為().【解析】如圖所示，該四面體在空間直角坐標(biāo)系O－xyz的圖像為右圖，選A.【名師點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生畫直觀圖和利用直觀圖畫三視圖的基本技能，試題以空間直角坐標(biāo)系為載體，并在指定的投影面畫三視圖，考查了空間想象能力和閱讀理解能力，較好地體現(xiàn)了試題的新穎性.學(xué)生主要是對所畫的直觀圖中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的錯(cuò)誤理解，以及畫三視圖時(shí)虛實(shí)不分導(dǎo)致失誤.事實(shí)上,正確地理解直觀圖的含義、理解三視圖的形成原理，并在解決問題過程中，將四面體放置在正方體中，問題就易于解決.【例2】（2014年新課標(biāo)=1\*ROMANI卷理12）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的個(gè)條棱中，最長的棱的長度為（）....6.4【解析】如圖所示，該幾何體為三棱錐，其中，，故最長的棱的長度為，選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查三視圖還原為幾何體，以及三棱錐中的棱長比較與計(jì)算.試題對空間想象能力要求比較高.學(xué)生的主要錯(cuò)誤在于對三視圖感知不全面，無法將三視圖還原為正確的幾何體或是部分學(xué)生判斷最長線段依賴直觀錯(cuò)選B.由三視圖還原到空間幾何體并不一定是唯一的，即使是唯一的，也需要有一個(gè)“組圖”的過程，這是問題的難點(diǎn)所在.解決問題關(guān)鍵在于首先要領(lǐng)會三視圖的形成原理、厘清三視圖之間的關(guān)系，遵循“長對正，高平齊，寬相等”的基本原則，其內(nèi)涵為正視圖的高是幾何體的高，長是幾何體的長；俯視圖的長是幾何體的長，寬是幾何體的寬；側(cè)視圖的高是幾何體的高，寬是幾何體的寬．其次要明確由三視圖畫出直觀圖的步驟和思考方法：1.定底面：根據(jù)俯視圖確定；2.定棱及側(cè)面：觀察正視圖和側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱及側(cè)面特征，調(diào)整實(shí)線、虛線對應(yīng)棱的位置；3.定形狀：確定幾何體的形狀．本題“組圖”過程如下圖所示：【例3】（2013新課標(biāo)Ⅰ卷理6）如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為_________.【解析】設(shè)球的半徑為R，由題可知R，R－2，正方體棱長一半可構(gòu)成直角三角形，即△OBA為直角三角形，如圖．BA＝4，OA＝R－2，OB＝R，由R2＝(R－2)2＋42，解得R＝5，則球的體積為.【名師點(diǎn)睛】球的問題是高考的?？键c(diǎn)，主要在球與簡單幾何體的接與切的背景下，考查立體幾何的相關(guān)問題，屬中等偏易或中等的試題.這類問題的解決的首要步驟也是關(guān)鍵點(diǎn)就是畫出正確的直觀圖.本題主要考查球的截面性質(zhì)和球的體積等基礎(chǔ)知識，在對具體實(shí)物的抽象和建模中，考查學(xué)生的閱讀理解能力、空間想象能力、運(yùn)算求解能力.學(xué)生錯(cuò)誤的主要原因在于，沒能抽象出正方體容器的上面（空的平面）與水深（高）關(guān)系的直觀模型.事實(shí)上，球的直觀圖的畫法，已經(jīng)暗示了解決球的問題的基本方法，如圖所示：1.找出問題中的兩個(gè)關(guān)鍵截面，即水平截面以及與水平截面垂直的大圓面（軸截面），以此為框架，畫出直觀圖，定出球心的位置；2.將問題中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系轉(zhuǎn)化到兩個(gè)截面中.這樣，問題往往就迎刃而解了.立何幾何中，簡單幾何體的直觀圖，不僅僅是為了畫的好看，更重要的是它能直觀地反映出幾何體的各種關(guān)系.在簡單幾何體的直觀圖中構(gòu)造出問題的圖形，在關(guān)鍵的截面（含底面）中思考數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，是實(shí)現(xiàn)空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題的橋粱，這一定要引起我們的重視.【例4】（2015新課標(biāo)=2\*ROMANII卷理19）如圖，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4.過點(diǎn)E，F(xiàn)（=1\*ROMANI）在圖中畫出這個(gè)正方形（不必說明畫法和理由）；下略【解析】（Ⅰ）交線圍成的正方形如圖：【名師點(diǎn)睛】本題通過幾體何截面的確定（作圖），考查空間線面的位置關(guān)系，考查推理論證能力和空間想象能力.學(xué)生的主要失誤在于：其一是教學(xué)上的誤區(qū)——不夠重視，其二是思維的局限，忘了作圖不僅可以通過定性的分析，也可以通過定量的計(jì)算輔助分析.如本小題中點(diǎn)位置的確定，必須通過計(jì)算輔助，而G點(diǎn)的確定是通過線面的位置關(guān)系推理、化歸，最后在平面上作出的.它的依據(jù)是幾何的公理、定理.值得注意的是,常識不能忘！點(diǎn)是線的交點(diǎn)，線是面的交線，在已知平面上移動(dòng)直線，在垂面上畫垂線！還有，立體幾何的問題，多數(shù)可以理解為與作圖相關(guān)，如證明線面平行，可以理解為在已知平面上作（找）一條直線與已知直線平行，而所作（找）的直線又可以看作為，過已知直線作一個(gè)平面與已知平面的交線.【例5】（2016年新課標(biāo)Ⅱ卷理19）如圖，菱形的對角線與交于點(diǎn)，，點(diǎn)分別在上，，交于點(diǎn)．將沿折到位置，．（Ⅰ）證明：⊥平面；（Ⅱ）下略.【解析】（Ⅰ）由已知得又由得故因此，從而由得由得所以于是故.又因，所以.【名師點(diǎn)睛】本題屬于翻折問題，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力，考查推理論證能力.在運(yùn)動(dòng)變化中探究幾何性質(zhì)，在變中探究不變，是對學(xué)生高層次思維能力的考查.本題出錯(cuò)的原因?yàn)椋阂皇窃谡郫B過程中沒有厘清“變量”和“不變量”，導(dǎo)致條件認(rèn)識不清楚；二是推理的理由不充分，以想當(dāng)然的方式代替必要的證明，如問題中的的證明.事實(shí)上，解決翻折問題的關(guān)鍵：1.弄清翻折前后保持不變的元素.通常情況，若原圖中的一部分仍在同一個(gè)半平面內(nèi)，則組成這部分圖形的元素保持著原有的數(shù)量和位置關(guān)系；2.將不變的條件整合到空間圖形中，形成條件確定的立體幾何問題.【例6】（2003年全國卷理12）一個(gè)四面體的所有棱長都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則些球的表面積為（）（A）（B）（C）（D）【解析】將四面體補(bǔ)成正方體，則正方體的棱長是1，正方體的對角線長為，則此球的表面積為：4π=3π，選A．【名師點(diǎn)睛】本題以球的四面體為載體，考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力.學(xué)生的解題是通過大圓軸截面計(jì)算，因運(yùn)算的復(fù)雜性產(chǎn)生錯(cuò)誤的.在立體幾何的學(xué)習(xí)中，我們不僅要學(xué)會讀圖、識圖、作圖，還要注意會用圖，通過對圖形重新構(gòu)造和變換（割、補(bǔ)、拼等），在簡單和新的幾何體中考慮問題，使得問題更易于解決.（二）定義概念模糊不清【指點(diǎn)迷津】數(shù)學(xué)概念不僅僅是明晰研究對象，也是數(shù)學(xué)思考問題、解決問題的出發(fā)點(diǎn).立體幾何中的概念、定義模糊不清主要表現(xiàn)為：1.文本描述與幾何體形狀無法匹配，即看到概念的文本描述，頭腦中無法形成與之相應(yīng)的幾何體；2.沒考慮定義的限制條件，如各類角的取值范圍，如很多學(xué)生就常常忘記異面直線所成的角的取值范圍而導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤等.【例7】（2008全國Ⅰ卷理16）等邊三角形與正方形有一公共邊，二面角的余弦值為，分別是的中點(diǎn)，則所成角的余弦值等于．【答案】.【解析】設(shè)，作，則，為二面角的平面角.，結(jié)合等邊三角形與正方形可知此四棱錐為正四棱錐，則,,所以，故所成角的余弦值.【另解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則點(diǎn),,則,所以，故所成角的余弦值.C.o.【名師點(diǎn)睛】本題以四棱錐為載體，考查空間異面直線所成角的求解.學(xué)生在概念上的錯(cuò)誤在表現(xiàn)在：1.不能利用空間向量法求兩異面直線所成的角；2.建系求異面直線所成角用或計(jì)算時(shí)，對求出的向量夾角的余弦值為，沒有用異面直線所成角的取值范圍進(jìn)行修正.事實(shí)上，只要緊扣異面直線所成角的概念，利用向量的知識計(jì)算相關(guān)量，最后根據(jù)角的限制調(diào)整所求的值.（三）定理性質(zhì)理解不透【指點(diǎn)迷津】定理性質(zhì)理解不透，會導(dǎo)致推理論證欠嚴(yán)謹(jǐn)或思路不明.學(xué)生在使用定理進(jìn)行推理時(shí)，往往表現(xiàn)出如下的錯(cuò)誤：1.定理?xiàng)l件掌握不全，如學(xué)生們在使用直線與平面平行的判定定理時(shí)，常常遺忘“已知直線一定要在平面外”這個(gè)關(guān)鍵的條件；2.受初中平面定理的負(fù)遷移影響導(dǎo)致對立體幾何相關(guān)定理的理解錯(cuò)誤；3.符號書寫不規(guī)范.如直線與平面是包含與不包含的關(guān)系，卻常寫成是屬于與不屬于的關(guān)系等.【例8】（2015年江蘇）如圖，在直三棱柱中，已知，，設(shè)的中點(diǎn)為，.求證：（=1\*ROMANI）；（=2\*ROMANII）.【解析】（=1\*ROMANI）（=2\*ROMANII）【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何線面位置關(guān)系的證明，考察直線與平面平行，直線與平面垂直直線與直線垂直等基礎(chǔ)知識.與平面幾何知識相結(jié)合考察學(xué)生的空間想象和推理論證能力.學(xué)生的主要錯(cuò)誤在于：1.遺漏等；2.沒有考慮到，側(cè)面為正方形，因此得不到；3.要證，考生無法找對哪條線垂直哪個(gè)面，推理的方向不對.事實(shí)上，規(guī)范、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)慕忸}思路來自對立體幾何相關(guān)定義、定理、和公理的準(zhǔn)確理解，推理論證時(shí)，務(wù)必緊扣定理的條件，要避免“跳步”、“濫用符號”、“語言隨意”和“以圖代證”等；同時(shí)，采用執(zhí)果索因的分析方法、知因索果的推理論證，引導(dǎo)學(xué)生會從已知條件中甄別推理需要的信息，將條件有效地運(yùn)用到解題過程中去，否則不僅會失去部分的分?jǐn)?shù)，甚至因邏輯的源由，完全失分都有可能的.（四）建系的合理性欠思考【例9】（2015年新課標(biāo)1卷理18）如圖，四邊形ABCD為菱形，∠ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.（Ⅰ）證明：平面AEC⊥平面AFC.（Ⅱ）求直線AE與直線CF所成角的余弦值.【解析】（Ⅰ）連結(jié)在菱形中，不妨設(shè),由，可得，可得.又因?yàn)樵谠谥苯翘菪沃校?，∴EG⊥FG，∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.（Ⅱ）如圖，以G為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S，y軸正方向，為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E(1,0,)，F(xiàn)（－1,0，），C（0，，0），∴.故.所以直線AE與CF所成的角的余弦值為.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查立體幾何的線面、面面位置關(guān)系，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、空間想象能力.本題的學(xué)生的主要失誤點(diǎn)：一是沒有建好坐標(biāo)系，被“圖”迷惑了雙眼，一下子盯住點(diǎn)B、D，把點(diǎn)B或點(diǎn)D視為空間直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)導(dǎo)致整題失分．二是因貪快，導(dǎo)致圖形中的坐標(biāo)系漏畫，例如：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，但圖中是空的．三是空間直角坐標(biāo)系建成左手系，而不是建成右手系．事實(shí)上，建立合理的坐標(biāo)系是代數(shù)法解立體幾題的關(guān)鍵.建立坐標(biāo)系就是構(gòu)造（尋找）三線兩兩垂直，可分步處理，先找兩線垂直或先找平面的垂線（在垂面上找，即通過線面、面面垂直尋找，即本題中的平面EFDB和垂線EB、DF），再移動(dòng)位置定出原點(diǎn)的位置，這是基本功，一定要通過合理地訓(xùn)練，讓學(xué)生過關(guān).當(dāng)然，建系時(shí)證明三線兩兩垂直是不可缺少的.【解決問題對策】（一）重樹圖形觀念【指點(diǎn)迷津】立體幾何的研究對象是空間圖形，重點(diǎn)研究的是空間圖形的形狀、大小及其相互關(guān)系，其主要特點(diǎn)是借助于圖形進(jìn)行推理，圖形成了思維的重要載體，圖形能幫我們直觀地感受空間線線、線面、面面的位置關(guān)系，培養(yǎng)空間想能力．因此，我們重視圖形觀念的樹立，正確地識別空間圖形、合理地構(gòu)建空間圖形、靈活地運(yùn)用空間圖形，這是求解立體幾何問題的關(guān)鍵之一.【例1】（2015新課標(biāo)2卷理9）已知A,B是球O的球面上兩點(diǎn),∠AOB=90°,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn).若三棱錐O-ABC體積的最大值為36,則球O的表面積為()（A）36π（B）64π（C）144π （D）256π【解析】解答本題關(guān)鍵是學(xué)生能以A,B，O為所在的圓面為“襯托面”畫出球與三棱錐結(jié)合的模型圖，然后使用等體積思想，快速將體積的最值轉(zhuǎn)化為求高的最值.如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，解得，則球的表面積為，故選C．【例2】（2016年新課標(biāo)Ⅱ卷理14）是兩個(gè)平面，是兩條直線，有下列四個(gè)命題：=1\*GB3①如果，那么.②如果，那么.③如果，那么.④如果，那么與所成的角和與所成的角相等.其中正確的命題有．(填寫所有正確命題的序號）【解析】在正方體或長方體模型中找線或畫線與面，借助“直觀感知，操作確認(rèn)”，填②③④.【例3】（2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理4，文6）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為（）（A）（B）（C）（D）【解析】由題意，該幾何體是一個(gè)組合體，下半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為4的圓柱，其體積，上半部分是一個(gè)底面半徑為3，高為6的圓柱的一半，其體積，故該組合體的體積．故選B．【例4】（2016年新課標(biāo)Ⅰ卷文18）如圖,已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形,PA=6,頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)E,連接PE并延長交AB于點(diǎn)G.（=1\*ROMANI）證明G是AB的中點(diǎn)；（=2\*ROMANII）在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由）,并求四面體PDEF的體積．【解析】（I）因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為,所以因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為,所以所以平面,故又由已知可得,,從而是的中點(diǎn).（II）關(guān)鍵是讀懂圖形，平面平面平面平面故在平面內(nèi),過點(diǎn)作的平行線交于點(diǎn),即為在平面內(nèi)的正投影.理由如下：由已知可得,,又,所以,因此平面,即點(diǎn)為在平面內(nèi)的正投影.連接,因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的正投影為,所以是正三角形的中心.由（I）知,是的中點(diǎn),所以在上,故由題設(shè)可得平面,平面,所以,因此由已知,正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且,可得在等腰直角三角形中,可得所以四面體的體積（二）構(gòu)建認(rèn)知結(jié)構(gòu)【指點(diǎn)迷津】把立幾知識網(wǎng)絡(luò)生成知識樹形圖，把樹形圖畫在筆記本上，真真切切形成自己可以隨取隨用的知識樹、知識網(wǎng)，便于在解答問題時(shí)引起條件反射，并聯(lián)系到相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念、公式、公理、判定定理和性質(zhì)定理，運(yùn)用恰當(dāng)?shù)姆椒ń忸}．立體幾何的解題過程就是邏輯推理的過程，也是不斷進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、幾何直觀的過程.如點(diǎn)、線、平面之間的位置關(guān)系的知識結(jié)構(gòu)圖：對學(xué)生而言，還應(yīng)將下面第五點(diǎn)中的解題方法融入其中，才能形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).（三）領(lǐng)悟兩種互化【指點(diǎn)迷津】1.數(shù)學(xué)語言的相互轉(zhuǎn)化.線線、線面、面面的判定定理和性質(zhì)定理的文字語言、符號語言、圖形語言的相互轉(zhuǎn)化，是證明空間平行（垂直）的前提.如我們常把“面面平行（垂直）問題”轉(zhuǎn)化為“線面平行（垂直）問題”，再轉(zhuǎn)化為“線線平行（垂直）問題”．在解決平行（垂直）關(guān)系的判定時(shí)，一般遵循從“低維”向“高維”的轉(zhuǎn)化；而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí)，其順序則正好相反．2.空間與平面的相互轉(zhuǎn)化.空間問題平面化是解決立體幾何問題的基本策略，不能僅是當(dāng)成一句口號，要將它落實(shí)到對立體幾何的定義、定理中，應(yīng)用到求解立體幾何問題中，這是我們研究和解決立何幾何問題的思維模式.上述的兩種轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)對立統(tǒng)一的辯證思維，它可以幫助學(xué)生學(xué)會數(shù)學(xué)地閱讀、理解、交流，進(jìn)而更深刻地理解立體幾何問題，并學(xué)會解決問題.【例5】（2016年新課標(biāo)1卷理18）如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是．（=1\*ROMANI）證明：平面ABEF平面EFDC；（=2\*ROMANII）求二面角E-BC-A的余弦值．【解析】（I）由已知可得，，所以平面．又平面，故平面平面．（II）過作，垂足為，由（I）知平面．以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．由（I）知為二面角的平面角，故，則，，可得，，，．由已知，，所以平面．又平面平面，故，．由，可得平面，因此BE⊥EF，BE⊥EC，所以為二面角的平面角，．從而可得．所以，，，．設(shè)是平面的法向量，則，即，所以可?。O(shè)是平面的法向量，則，同理可?。畡t．故二面角的余弦值為．【名師點(diǎn)睛】上述證明用到了六個(gè)線面平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理及其相互轉(zhuǎn)化，以及蘊(yùn)涵證題過程中空間與平面的相互轉(zhuǎn)化的思維策略.（四）分析與綜合并用【指點(diǎn)迷津】分析法與綜合法是數(shù)學(xué)的基本思維方式之一，必須要遵循的，它有助于推理論證能力的培養(yǎng).事實(shí)上，求解立何幾何問題中，在觀察圖形并弄清條件和結(jié)論的基礎(chǔ)上，我們要兩頭并進(jìn)，常常需要進(jìn)行這樣的追問：1.由條件想性質(zhì)：“由條件可以得到什么”，如題目中有直線與平面平行或垂直、平面與平面平。行或垂直這樣的條件，可以聯(lián)想這種位置關(guān)系的性質(zhì)定理是什么？能得到什么？需要添加什么樣的輔助線（或面）？這樣一想，有時(shí)解題思路會很快在頭腦中形成.2.由結(jié)論想判定：“結(jié)論需要什么條件才能成立”如果題目要證直線與平面平行或垂直、平面與平面平行或垂直這樣的結(jié)論，可以聯(lián)想這種位置關(guān)系的判定定理是什么？根據(jù)這個(gè)判定定理，結(jié)合已知條件，定理中哪些條件已經(jīng)有了？還需要什么條件？需要添加什么樣的輔助線或輔助面？【例6】(2008全國大綱卷文18)四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面底面，，，．（Ⅰ）證明：；（Ⅱ）略．【解析】條件中給出面面垂直，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知，可以在其中一個(gè)平面內(nèi)作（找）一條直線與交線垂直，同時(shí)還能由線面垂直得到線面垂直，結(jié)合條件，故過A點(diǎn)可引中垂線.而結(jié)論要求（Ⅰ）證，可設(shè)想其中一直線垂直于過另一直線的垂線，兩頭一對接，思路就產(chǎn)生了.（Ⅰ）取中點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，，，又面平面，平面，．與相似，，即，平面，．（五）活用求解方法 【指點(diǎn)迷津】1.一般來說，解決立體幾何問題的方法包括傳統(tǒng)法與向量法.用傳統(tǒng)法解決問題時(shí)，能夠看清問題的實(shí)質(zhì)，但面對復(fù)雜的問題時(shí)，有難度，需要較強(qiáng)的空間想象能力和邏輯思維能力；用向量法解決立體問題，具有模式可遵循，體現(xiàn)了它的優(yōu)勢.具體解決問題時(shí)，要具體分析，靈活選用，才能提高解決問題的能力.2.重視對典型問題求解的基本思想方法的掌握，做到應(yīng)用自如，形成技巧.如有關(guān)多面體的三視圖問題，常構(gòu)造“長方體”或“正方體”，即可輕松破解此類問題．以球?yàn)楸尘暗亩嗝骟w或旋轉(zhuǎn)體與其切接問題，常需利用“優(yōu)美直角三角形”或構(gòu)造長方體給予解決．求不規(guī)則的幾何體的體積常用“割補(bǔ)法”和“等體積變換法”等．常用向量法求空間角：求異面直線所成的角就是先求出兩異面直線的方向向量，再求出這兩向量的夾角的余弦值的絕對值，即為該兩異面所成角的余弦值．求線面所成角就是求出該直線的方向向量與該平面的法向量，再利用兩向量的夾角的余弦值的絕對值，即可得到線面所成角的正弦值．求二面角就是求出兩個(gè)平面的法向量，再求出這兩向量的夾角的余弦值，判斷空間幾何體的特征，從而得空間二面角的大小，注意這三種角的取值范圍與所成角公式的區(qū)別點(diǎn)．對不易直接求點(diǎn)面距離的問題，通過構(gòu)造三棱錐，把問題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的高，再利用等體積法，轉(zhuǎn)化為易求的三棱錐的高的體積，通過方程思想，即可求出三棱錐的高，從而得到所求的點(diǎn)面距離．【例7】（2017年新課標(biāo)Ⅱ卷理19）如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，E是PD的中點(diǎn)．（I）證明：直線平面PAB；（II）略【解析】1.要證線面平行，根據(jù)直線與平面平行的判定定理，需要在平面PAB中找一條直線與直線平行；2.要證線面平行，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理，需要過直線作一個(gè)與平面PAB平行的平面；3.通過向量運(yùn)算解決平行問題.解法1（作相交截面）如圖1，過沿作截面，交平面于，證.解法2（作平行截面）如圖2，過作平行于平面的截面，交于，證，.解法3（空間向量）由.知直線平面PAB.【名師點(diǎn)評】空間向量是解決立體幾何的一個(gè)新工具，處理立體幾何問題往往可以省去許多不必要的麻煩，其突出的特點(diǎn)是以算代證．（六）規(guī)范解題過程【指點(diǎn)迷津】在平時(shí)的立體幾何的考試訓(xùn)練中，加強(qiáng)審題能力（讀題與觀圖），強(qiáng)化立體幾何解題的規(guī)范性訓(xùn)練，同時(shí)加強(qiáng)邏輯表達(dá)能力的訓(xùn)練，并提升運(yùn)算求解能力（如空間的點(diǎn)的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)，以及法向量的計(jì)算一定不要出錯(cuò)）．加強(qiáng)規(guī)范化訓(xùn)練是提高成績的保證，立體幾何解答題的證明過程要做到“步步有理有據(jù)”，要分清主次，要理清哪些步驟是必須寫的（如建立空間直角坐標(biāo)系方面，不被“圖”迷惑了雙眼，需找準(zhǔn)或盯準(zhǔn)兩兩垂直的“三只腳”．建立空間直角坐標(biāo)系，既要注意建成右手系，還需注意圖形的畫與標(biāo)注），即得分點(diǎn)，哪些步驟是可以在演草紙上演算的，只有“精”寫過程，才能節(jié)約時(shí)間，答題過程也才能簡捷、清晰．當(dāng)然“精”寫過程是建立在寫全步驟的基礎(chǔ)之上的，任何的“跳步”書寫都容易產(chǎn)生歧義，都是要失分的．除了步驟要寫“精”以外，結(jié)果還要做“對”．“會而不對”的現(xiàn)象是很常見的，這也是制約“得分”的“致命點(diǎn)”．在訓(xùn)練之后，應(yīng)盡可能的及時(shí)訂正，從根源上找到錯(cuò)因所在，適時(shí)總結(jié)知識上存在的不足,真正做到審題到位，思維全，下筆準(zhǔn)，答題快．【新題好題訓(xùn)練】1．已知底面是正方形的直四棱柱的外接球的表面積為，且，則與底面所成角的正切值為（）A.B.C.D.【答案】C2．在三棱錐中，，，，，，且三棱錐的外接球的表面積為，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】∵，，∴∴∵，∴三棱錐的外接球是以，，為棱的長方體的外接球，長方體的對角線為外接球的直徑.∵三棱錐的外接球的表面積為∴外接球的半徑為，即.∴，即.故選B.點(diǎn)睛：本題考查了有關(guān)球的組合體問題，解答時(shí)要認(rèn)真審題，注意球的性質(zhì)的合理運(yùn)用，求解球的組合體問題常用方法有（1）三條棱兩兩互相垂直時(shí)，可恢復(fù)為長方體，利用長方體的體對角線為外接球的直徑，求出球的半徑；（2）利用球的截面的性質(zhì)，球心與截面圓心的連線垂直截面，同時(shí)球的半徑，小圓的半徑和球心到截面的距離滿足勾股定理，求得球的半徑，即可求解求得表面積與體積．3．甲、乙兩個(gè)幾何體的三視圖如圖所示（單位相同），記甲、乙兩個(gè)幾何體的體積分別為，，則（）A.B.C.D.【答案】D∴故選D.點(diǎn)睛：本題利用空間幾何體的三視圖重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力和抽象思維能力，屬于難題.三視圖問題是考查學(xué)生空間想象能力最常見題型，也是高考熱點(diǎn).觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關(guān)鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實(shí)線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側(cè)視圖，確定組合體的形狀.4．設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是40π，AB=AC=AA1，∠BAC=120°，則此直三棱柱的高是________.【答案】【解析】設(shè)三角形BAC邊長為，則三角形BAC外接圓半徑為，因?yàn)樗约粗比庵母呤?5．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．【答案】【解析】由三視圖可知,該幾何體是由半個(gè)圓柱和一個(gè)三棱錐構(gòu)成,故體積為.6．如圖，在四棱錐中，，且.(Ⅰ)證明：平面平面；(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.【答案】①見解析；②.【解析】試題分析：（1）由,可證明，進(jìn)而證出面面垂直；（2）取的重點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令,則，則，求出兩個(gè)面的法向量，即可利用向量夾角公式求出.②取的重點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令,則，則所以令平面的法向