命題-定理-證明-習題-(含答案)

V:1.0精細整理，僅供參考命題-定理-證明-習題-(含答案)日期：20xx年X月2019年4月16日初中數(shù)學作業(yè)學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列選項中，可以用來說明命題“若|x|>1，則x>1”是假命題的反例是（）A．x=-2 B．x=-1 C．x=1 D．x=2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)要證明一個結論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題．【詳解】用來證明命題“若|x|>1，則x>1”是假命題的反例可以是：x=-2，∵|-2|>1，但是x=?2<1，∴A正確；故選：A.【點睛】考查反證法，證明一個結論不成立，可以通過舉反例的方法來證明一個命題是假命題叫做反證法.2．下列命題：①內(nèi)錯角相等；②同旁內(nèi)角互補；③直角都相等；④若n＜1，則n2﹣1＜0．其中真命題的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角和直角以及平方進行判斷即可．【詳解】①內(nèi)錯角相等，是假命題；②同旁內(nèi)角互補，是假命題；③直角都相等，是真命題；④若n＜1，則n2-1＜0，是假命題．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．命題是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．3．下列命題中，是真命題的是（）A．若|a|=|b|，那么a=b B．如果ab>0，那么a，b都是正數(shù)C．兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補 D．兩條直線與第三條直線相交，同位角相等【答案】C【解析】【分析】分別根據(jù)絕對值、有理數(shù)乘法符號規(guī)律以及平行線性質分析得出即可．【詳解】解：A、若|a|=|b|，那么a=b，或a=-b，故此選項A錯誤；

B、如果ab>0，那么a，b都是同號，此選項B錯誤；C.兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補，故此選項C正確；

D、兩平行直線被第三條直線所截，同位角相等.選項中未指明兩直線是否平行，故此選項D錯誤；故選：C．【點睛】此題主要考查了命題與定理，正確靈活的掌握相關性質和定理是解題關鍵．4．下列命題：①有一個角為60°②等腰直角三角形一定是軸對稱圖形；③有一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等；④到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．正確的個數(shù)有()A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【解析】【分析】（1）分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論，從而利用排除法得出答案；（2）根據(jù)等邊三角形的判定、線段垂直平分線的性質、等腰三角形的性質以及直角三角形的性質求解即可求得答案【詳解】解：①有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形，故①正確；②等腰直角三角形一定是軸對稱圖形，故②正確；③有一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等，故③錯誤；④到線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上，故④正確；故選：B．【點睛】主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．5．在下列命題中：①過一點有且只有一條直線與已知直線平行；②平方根與立方根相等的數(shù)有1和0；③在同一平面內(nèi)，如果a⊥b，b⊥c，則a⊥c；④直線c外一點A與直線c上各點連接而成的所有線段中，最短線段的長是5cm，則點A到直線c的距離是5cm；⑤無理數(shù)包括正無理數(shù)、零和負無理數(shù).其中真命題的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【解析】【分析】利用平行公理、平方根與立方根的定義、兩直線的位置關系等知識分別判斷后即可確定正確的選項.【詳解】①過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故①是假命題；②平方根與立方根相等的數(shù)只有0，故②是假命題；③在同一平面內(nèi),如果a⊥b，b⊥c，，則a∥c，故③是假命題；④直線c外一點A與直線c上各點連接而成的所有線段中,最短線段的長是5cm,則點A到直線c的距離是5cm，故④是真命題；⑤無理數(shù)包括正無理數(shù)和負無理數(shù)，故⑤是假命題；故選A.【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是熟練掌握平行公理、平方根與立方根的定義、兩直線的位置關系等知識.6．下列命題是假命題的是()A．同位角相等B．在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直C．平行于同一條直線的兩直線平行D．兩直線平行，內(nèi)錯角相等【答案】A【解析】【分析】根據(jù)平行線的性質對A、C、D進行判斷；利用在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直對B進行判斷．【詳解】解：A、兩直線平行，同位角相等，所以A選項為假命題；B、在同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知垂直，所以B選項為真命題；C、平行于同一條直線的兩直線平行，所以C選項為真命題；D、兩直線平行，內(nèi)錯角相等，所以D選項為真命題．故選：A．【點睛】本題考查了命題與定理：命題寫成“如果…，那么…”的形式，這時，“如果”后面接的部分是題設，“那么”后面解的部分是結論.要說明一個命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個命題是假命題，只需舉出一個反例即可．7．下列命題為真命題的是（）A．三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角B．兩直線被第三條直線所截，同位角相等C．垂直于同一直線的兩直線互相垂直D．三角形的外角和為180【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形的外角性質、平行線的性質、平行公理的推論、三角形外角和定理判斷即可．【詳解】三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角，A是真命題；兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，B是假命題；在同一平面內(nèi)，垂直于同一直線的兩直線互相平行，C是假命題；三角形的外角和為360°，D是假命題；故選A．【點睛】本題考查的是命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．8．下列說法中，正確的是()A．所有的命題都有逆命題B．所有的定理都有逆定理C．真命題的逆命題一定是真命題D．假命題的逆命題一定是假命題【答案】A【解析】【分析】根據(jù)互逆命題的定義對A進行判斷；根據(jù)命題與逆命題的真假沒有聯(lián)系可對B、C、D進行判斷．【詳解】選項A，每個命題都有逆命題，所以A選項正確；選項B，每個定理不一定有逆定理，所以B選項錯誤；選項C，真命題的逆命題不一定是真命題，所以C選項錯誤；選項D，假命題的逆命題不一定是假命題，所以D選項錯誤．故選A．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題.許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式.有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．9．下列語句不是命題的是（）A．明天有可能下雨B．同位角相等C．∠A是銳角D．中國是世界上人口最多的國家【答案】A【解析】【分析】根據(jù)命題的概念逐一進行分析即可得到答案.【詳解】A、明天有可能下雨，不是判斷語句，故不是命題，符合題意；B、同位角相等是命題，故不符合題意；C、∠A是銳角是命題，故不符合題意；D、中國是世界上人口最多的國家是命題，故不符合題意，故選A．【點睛】本題主要考查了命題的概念．判斷一件事情的語句叫做命題．10．在期中考試中，同學甲、乙、丙、丁分別獲得第一、第二、第三、第四名．在期末考試中，他們又是班上的前四名．如果他們當中只有一位的排名與期中考試中的排名相同，那么排名情況有（）種可能．A．5B．6C．7D．8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)他們當中只有一位的排名與期中考試中的排名相同有4種可能，分別列舉，【詳解】解：他們當中只有一位的排名與期中考試中的排名相同有4種可能，第二位同學的排名有2種可能，第三位與第四位的排名是確定的．

（如：甲的排名沒有變，仍為第一，則乙到了第三或第四．假設乙到了第四，則丙就是第二，丁第三．）

所以有2×4=8種．

故選：D．【點睛】此題主要考查了枚舉法的應用，根據(jù)已知得出所有的結果，以及分類討論得出是解題關鍵．11．一座大樓有4部電梯，每部電梯可?？苛鶎樱ú灰欢ㄊ沁B續(xù)六層，也不一定停最底層）．對大樓中任意的兩層，至少有一部電梯可同時?？浚瑒t這座大樓最多有（）層．A．11 B．12 C．13 D．14【答案】A【解析】【分析】首先把樓層看作點，大樓中任意的兩層，有一部電梯都可?？?，則兩層所代表的點之間可以連一條線段，進而得出四部電梯最多可以連15×4=60條線段，再求出樓層與線段條數(shù)關系，進而得出答案．【詳解】解：首先把樓層看作點，

大樓中任意的兩層，有一部電梯都可?？浚瑒t兩層所代表的點之間可以連一條線段，

每部電梯可停靠六層，則這六層所代表的點之間可以連：5+4+3+2+1=15條線段，

則四部電梯最多可以連15×4=60條線段，

∵7層樓需要：6+5+4+3+2+1=21條線段，

8層樓需要：7+6+5+4+3+2+1=28條線段，

9層樓需要：8+7+6+5+4+3+2+1=36條線段，

10層樓需要：9+8+7+6+5+4+3+2+1=45條線段，

11層樓需要：10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55條線段，

12層樓需要：11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=66條線段，

∴這個大樓的層數(shù)不超過11層．

故選：A．【點睛】此題主要考查了推理與論證，將樓層看作點數(shù)進而求出線段條數(shù)進而求出是解題關鍵．12．“兩點確定一條直線”這句話是（）A．定理 B．基本事實 C．結論 D．定義【答案】B【解析】【分析】兩點確定一條直線是個陳述句，是事實存在的，屬于基本事實．【詳解】解：“兩點確定一條直線”這句話是基本事實；

故選：B．【點睛】此題考查了命題與定理、公理，要熟悉課本中的性質定理是解題的關鍵，是一道基礎題．13．下列命題中，真命題是（）A．當路程一定時，時間與速度成正比例B．“全等三角形的面積相等”的逆命題是真命題C．a(chǎn)2D．到直線AB的距離等于1厘米的點的軌跡是平行于直線AB且和AB距離為1cm的一條直線【答案】C【解析】【分析】利用路程、速度、時間的關系、全等三角形的性質、最簡二次根式的定義及軌跡的定義分別判斷后即可確定正確的選項．【詳解】A、當路程一定時，時間與速度成反比例，故本選項錯誤；B、“全等三角形的面積相等”的逆命題是面積相等的三角形全等，是假命題，故本選項錯誤；C、a2D、空間內(nèi)與直線AB距離等于1厘米的點的軌跡是平行于直線AB且和AB距離為1cm的無數(shù)條直線，故本選項錯誤；故選：C．【點睛】本題考查命題與定理，解題的關鍵是根據(jù)相關知識點判斷每個命題的真假.14．用反證法證明“在一個三角形中，至少有一個內(nèi)角小于或等于60°”時應假設（）A．三角形中有一個內(nèi)角小于或等于60°B．三角形中有兩個內(nèi)角小于或等于60°C．三角形中有三個內(nèi)角小于或等于60°D．三角形中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°【答案】D【解析】【分析】熟記反證法的步驟，直接選擇即可．【詳解】根據(jù)反證法的步驟，第一步應假設結論的反面成立，即假設三角形中沒有一個內(nèi)角小于或等于60°．故選：D.【點睛】此題主要考查了反證法的步驟，解此題關鍵要懂得反證法的意義及步驟．15．下列命題正確的是（）A．一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形B．對角線相互垂直的四邊形是菱形C．對角線相等的四邊形是矩形D．對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)矩形、菱形、平行四邊形的知識可判斷出各選項，從而得出答案．【詳解】解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是平行四邊形也可能是等腰梯形，此選項錯誤；B、對角線相互垂直的四邊形是菱形也可能是梯形，此選項錯誤；C、對角線相等的四邊形是矩形也可能是等腰梯形，此選項錯誤；D、對角線相互垂直平分且相等的四邊形是正方形，此選項正確；故選：D．【點睛】本題主要考查了命題與定理的知識，解答本題的關鍵是熟練掌握平行四邊形、菱形以及矩形的性質，此題難度不大．二、解答題16．將下列命題改寫成“如果...那么...”形式，并判斷命題的真假，若是假命題請舉反例。（1）相等角是對頂角.（2）直角三角形的兩個銳角互余.【答案】(1)見解析;(2)見解析【解析】【分析】先根據(jù)有關性質與定理，對命題的真假進行判斷，如果是假命題，再舉出反例即可．【詳解】解：（1）如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角；假命題；反例：角平分線形成的兩個角相等，但不是對頂角；（表述不唯一）（2）如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩銳角互余；真命題；【點睛】此題考查了命題與定理，關鍵是掌握有關性質與定理，對命題的真假進行判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．17．寫出下列命題的逆命題，并判斷真假性．（1）直角三角形的兩銳角互余；（2）若a=b，則a＝b；（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0；（4）兩個圖形關于某條直線對稱，則這兩個圖形一定全等．【答案】見解析.【解析】【分析】分析是否為真命題，需要分別分析各題設是否能推出結論．【詳解】（1）直角三角形的兩銳角互余的逆命題是兩銳角互余的三角形是直角三角形，真命題；（2）若a=b，則a=b的逆命題是若a=b，則a=b，真命題；（3）如果a+b>0，那么a>0，b>0的逆命題是若a>0，b>0，則a+b>0，真命題；（4）兩個圖形關于某條直線對稱，則這兩個圖形一定全等的逆命題是若兩個圖形全等，則這兩個圖形關于某條直線對稱，假命題．【點睛】本題考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題．判斷命題的真假關鍵是要熟悉課本中的性質定理．18．寫出命題“有兩角互余的三角形是直角三角形”的逆命題并證明．【答案】見解析.【解析】【分析】把原命題的題設和結論部分交換得到其逆命題，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理證明逆命題．【詳解】命題“有兩角互余的三角形是直角三角形”的逆命題為直角三角形有兩角互余．已知：△ABC中，∠C=90°．求證：∠A+∠B=90°．證明：∵∠A+∠B+∠C=180°，而∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，即∠A與∠B互余．【點睛】本題考查命題：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題．也考查了逆命題．19．寫出下列命題的逆命題，并判斷真假．（1）若x=3，則x2=9；（2）三角形任何兩邊之和大于第三邊；（3）面積相等的三角形全等．【答案】見解析.【解析】【分析】（1）首先找出命題中的題設和結論，然后交換位置即可，如果是正確的命題就是真命題，如果是錯誤的命題就是假命題；

（2）首先找出命題中的題設和結論，然后交換位置即可，如果是正確的命題就是真命題，如果是錯誤的命題就是假命題；

（3）首先找出命題中的題設和結論，然后交換位置即可，如果是正確的命題就是真命題，如果是錯誤的命題就是假命題．【詳解】（1）若x2=9，則x=3，是假命題；（2）如果兩線段之和大于第三條線段，那么此三條線段可以組成三角形，是假命題；（3）如果三角形全等，那么它們的面積相等，是真命題．【點睛】本題考查命題與定理，解題關鍵是掌握命題由題設和結論兩部分組成．20．A，B，C，D，E五名學生猜測自己的數(shù)學成績.A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒有說錯，但只有三個人得優(yōu)，請問：得優(yōu)的是哪三個人？

【答案】C，D，E【解析】【分析】分別從A同學得優(yōu)進行推論判斷．【詳解】得優(yōu)的同學是C、D、E．因為若A得優(yōu)，則5個同學都得優(yōu)；若B得優(yōu)，則4個同學都得優(yōu)．【點睛】本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設和結論兩部分組成，題設是已知事項，結論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成“如果…那么…”形式．2、有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理．三、填空題21．寫出命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題__________．【答案】兩個角相等的三角形是等腰三角形【解析】【分析】先找到原命題的題設和結論，再將題設和結論互換，即可而得到原命題的逆命題．【詳解】“等腰三角形的兩個底角相等”的題設是：一個三角形是等腰三角形，結論是：這個三角形的兩個底角相等.命題“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題為：兩個角相等的三角形是等腰三角形.故答案為：兩個角相等的三角形是等腰三角形【點睛】考查命題，熟練中的找出原命題的題設和結論是解題的關鍵.22．命題中①平行于同一條直線的兩條直線平行；②垂直于同一條直線的兩條直線平行；③過一點有且只有一條直線與已知直線平行；④過一點有且只有一條直線與已知直線垂直.為真命題的是________.【答案】①④【解析】【分析】根據(jù)直線的性質，平行線公理，垂線的性質，以及平行線的性質對各小題分析判斷即可．【詳解】①平行于同一條直線的兩條直線平行，正確；

②應為在同一平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線平行，故本小題錯誤；③應為過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行，故本小題錯誤；④過一點有且只有一條直線和已知直線垂直，正確.故答案為：①④.【點睛】本題考查平行線的性質，直線的性質，平行公理以及垂線的性質，，熟記性質與概念是解題的關鍵．23．命題“同角的補角相等”，它的逆命題是_____．【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的補角．【解析】【分析】把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【詳解】“同角的補角相等”的逆命題為“如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的補角”．故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角是同一個角的補角．【點睛】本題考查了互逆命題的知識，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆題．24．把命題“等角的補角相等”改寫成“如果…，那么…”的形式為________________________.題設是：________________________.結論是：________________________.【答案】如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等兩個角相等這兩個角的補角相等【解析】【分析】根據(jù)任何一個命題都可以寫成“如果…，那么…”的形式如果后面是題設，那么后面是結論，進而得出答案即可.【詳解】命題“等角的補角相等”的題設是“兩個角相等”，結論是“這兩個角的補角相等”．

故命題“等角的補角相等”寫成“如果…，那么…”的形式是：如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等．故答案為：如果兩個角相等，那么這兩個角的補角相等；兩個角相等；這兩個角的補角相等．【點睛】本題考查了命題的改寫問題．找準原命題的題設與結論是正確解答本題的關鍵．命題的一般敘述形式為“如果…..，那么……”，其中，“如果”所引出的部分是題設（條件），“那么”所引出的部分是結論.25．“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命題是_______________________________________【答案】如果ab<0,那么a>0,b<0.【解析】【分析】根據(jù)互逆命題的定義，把原命題的題設和結論交換即可．【詳解】解：“如果a>0,b<0,那么ab<0”的逆命題為“如果ab<0,那么a>0,b<0”．

故答案為:如果ab<0,那么a>0,b<0．【點睛】本題考查的是命題和定理，兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題．其中一個命題稱為另一個命題的逆命題．26．把“同角的余角相等”寫成“如果…，那么…”的形式為______．【答案】如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等【解析】【分析】先分清命題“同角的余角相等”的題設與結論，然后把題設寫在“如果”的后面，結論寫在“那么”的后面．【詳解】命題“同角的余角相等”改寫成“如果…那么…”的形式為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.故答案為：如果兩個角是同一個角的余角，那么這兩個角相等.【點睛】本題考查命題的定義，根據(jù)命題的定義，命題有題設和結論兩部分組成．27．命題”兩條對角線相等的平行四邊形是矩形“的逆命題是_____．【答案】矩形是兩條對角線相等的平行四邊形．【解析】【分析】把命題的條件和結論互換就得到它的逆命題．【詳解】命題”兩條對角線相等的平行四邊形是