線性代數(shù)第一章行列式的知識

教材：

線性代數(shù)吳天毅等主編第一章行列式?行列式的定義?行列式的性質(zhì)?克萊姆（Cramer）法則主要內(nèi)容：?行列式按行（列）展開§1·1行列式定義用消元法解二元一次方程組：一、二階和三階行列式

分母為的系數(shù)交叉相乘相減：定義二階行列式：主對角線元素圖示記憶法例用消元法解三元線性方程組：可得的分母為(若不為零）：定義三階行列式：＋－圖示記憶法例

解例

計算三階行列式的例子：對于數(shù)碼is和it：逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)，例

求132、436512的逆序數(shù)解逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列，n階（級）排列：由n個不同的數(shù)碼1,2,…n組成的有序數(shù)組132是奇排列，436512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列與逆序數(shù)大前小后叫逆序(反序)記為：為奇數(shù)的稱為奇排列。可見：交換任何兩個元素（對換）改變了排列的奇偶性！再分析P.5的表1-1排列123132213231312321逆序無322121，3131，3232，31，21逆序數(shù)011223奇偶性偶偶偶奇奇奇?一個對換改變排列的奇偶性；?3!個排列中，奇、偶排列各占一半。定理1

對換改變排列的奇偶性。證（1）設(shè)元素i,j相鄰：?若i<j,則新排列增加一個逆序;?若i>j,則新排列減少一個逆序?！淖兞似媾夹裕?）設(shè)元素i,j不相鄰：共作了2s+1次相鄰對換，由（1）知，排列改變了奇偶性。定理2

n

個數(shù)碼構(gòu)成n!

個n級排列，

奇偶排列各占一半（n!/2

個）。證設(shè)有p

個奇排列，q

個偶排列，p

個奇排列p

個偶排列q

個偶排列q個奇排列（三）n階行列式定義2階：3階：n階：1階：

幾種特殊行列式：例

解

由定義，只有左下三角形行列式右上三角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.9)類似可得：特別：

對角形行列式等于對角線上元素之乘積(P.10)OO例的一般項還可記為或（定理1.3）(P.10)列標(biāo)按自然順序排列n階行列式的另外兩種表示(證明略）：例下列元素之積是否為四階行列式的項？否，因為第二行有兩個元素；是，因為四個元素取自不同行不同列，例

解

§1.2行列式的性質(zhì)復(fù)習(xí)：定義：的轉(zhuǎn)置行列式行變列，列變行例證D的一般項：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的轉(zhuǎn)置中位于不同的列不同的行．所以這n個元素的乘積在Ｄ的轉(zhuǎn)置中應(yīng)為性質(zhì)1所以由此性質(zhì)也知：行具有的性質(zhì)．列也同樣具有．性質(zhì)2交換行列式的兩行（列）,行列式反號。證D的一般項：交換行以后，元素所處的列沒變，只是行標(biāo)作了交換，即行標(biāo)排列中，i和s作了對換，改變了排列的奇偶性，故反號。推論：

n階行列式某兩行（列）對應(yīng)元素全相等，則行列式等于零。證性質(zhì)3證記左邊的行列式為D1,有注：

該性質(zhì)對列也成立。

推論：

n階行列式某兩行（列）對應(yīng)元成比例，則行列式等于零。證提出比例系數(shù)后，行列式有兩行（列）對應(yīng)相等，由前面的推論知行列式為零。性質(zhì)4

注：

該性質(zhì)對列也成立。

證左邊行列式的一般項為：

可推廣到

m

個數(shù)的情形。性質(zhì)5（保值變換）證成比例例計算行列式思路：用保值變換化成三角形行列式將過程記在行列式符號的右邊，用“箭頭”表示。解為對稱行列式例為反對稱行列式例是反對稱行列式不是反對稱行列式兩個重要概念例證明奇數(shù)階反對稱行列式的值為零。證當(dāng)n為奇數(shù)時有

用性質(zhì)計算行列式=9一般地，可以計算請牢記這種方法，這類題就這種做法。關(guān)于范德蒙行列式注意以下三點(diǎn)1.形式:按升冪排列,冪指數(shù)成等差數(shù)列.2.結(jié)果:可為正可為負(fù)可為零.3.共n(n-1)/2項的乘積.對于范德蒙行列式,我們的任務(wù)就是利用它計算行列式,因此要牢記范德蒙行列式的形式和結(jié)果.你能識別出范德蒙行列式嗎？你會用范德蒙行列式的結(jié)果做題嗎？例：范德蒙行列式有幾種變形?行列式按行（列）展開主要內(nèi)容：1.代數(shù)余子式2.展開定理§1.3余子式n-1階行列式Aij=(-1)i+j

Mijaij

的代數(shù)余子式（一）按某一行（列）展開定理4

按行展開按列展開即：D

等于第

i

行（列）元素與對應(yīng)的代數(shù)余子式相乘相加。證（下面就四階行列式給出證明，方法是從特殊到一般。）(3)四階行列式按第三行展開的結(jié)果＃n階行列式按第i行展開：例2計算行列式解按第三列展開其中：所以解2按第二行展開按第一列展開例３討論當(dāng)Ｋ為何值時解所以，當(dāng)例4求證證按第1列展開n-1階即：第i行元素與另一行元素的代數(shù)余子式相乘相加等于零。定理5

證0=i

行s

行綜合定理4，定理5對于行：對于列：克萊姆（Cramer）法則§1.4其解：記系數(shù)行列式討論

n個方程、n個未知量的線性方程組的解一、非齊次線性方程組系數(shù)行列式：用常數(shù)項列替換D

的第

j

列，其余列不變。記6911定理5（克萊姆法則）對于方程組（1），若有唯一解，且?證明思路：1°

驗證滿足各方程（存在性）；2°（1）的

解定能表成形式（唯一性）。所用結(jié)果：證1°將

Dj

按第

j

列展開代入第1個方程的左端將4左＝（證＝b1)()D按第1行展開＝0＝0滿足第1個方程類似驗證第2，…，n個方程也滿足。是方程組（1）的解。2°由1°知，（1）有解，a11x1+a12x2a1nxn+…+=b1a21x1+a22x2a2nxn+…+=b2an1x1+an2x2annxn+…+=bn……用D的第j列元素的代數(shù)余子式乘兩邊AnjA2jA1jA1j這證明了（1）有解。A1jA1jA2jA2jA2jAnjAnjAnj對應(yīng)相加整理由定理4和定理5證畢例64寫在最后成功的基礎(chǔ)在于好的學(xué)習(xí)習(xí)慣Thefoundationofsuccessliesi