備戰(zhàn)中考 二次函數(shù)背景下的特殊三角形存在性判定（教師版）

PAGEPAGE77【方法綜述】特殊三角形包括直角三角形和等腰三角形，在每一種種特殊三角形的基礎(chǔ)上，此類問題分為固定邊的三角形計算與判定和三角形的分類討論。直角三角形的分類討論要對三邊分別為斜邊的情況分類討論，主要應(yīng)用直角的存在，并以此為條件利用勾股定理和三角形相似構(gòu)造等式，同時還有可能應(yīng)用隱形的圓中直徑所對圓周角是直角的性質(zhì)或其逆定理。等腰三角形的分類討論主要在是當(dāng)三角形的邊為等腰三角形的腰和底邊。對于定長線段為腰時，為了找到相關(guān)點，可以分別以該線段的兩個端點為圓心，定長線段為半徑作圓，分別找到滿足條件的點，再由勾股定理或相似三角形進(jìn)行計算或構(gòu)造方程解決問題。當(dāng)討論某一條邊為等腰三角形的底邊是，往往所求第三個頂點在該邊的垂直平分線上，通過做線段垂直平分線，利用線段垂直平分線的性質(zhì)以構(gòu)造方程，以解決問題?！镜淅痉丁款愋鸵还潭ㄟ叺闹苯侨切闻卸ɡ?：如圖所示，已知拋物線的圖像經(jīng)過點A(1,0),B(0,5),（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中的拋物線與x軸的另一個交點為C,求出點C的坐標(biāo)；并確定在拋物線上是否存在一點E,使△BCE是以BC為斜邊的直角三角形？若存在，在圖中做出所有的點E（不寫畫法，保留作圖痕跡）；若不存在，說明理由；（3）點P是直線BC上的一個動點（P點不與B點和C點重合），過點P做x軸的垂線，交拋物線于點M,點Q在直線BC上，距離點P為個單位長度，設(shè)點P的橫坐標(biāo)為t，△PMQ的面積為S，求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式?！敬鸢浮浚?）；（2）點C的坐標(biāo)是（－5，0），存在，圖形詳見解析；（3）．（3）由點B的坐標(biāo)為（0，5），點C的坐標(biāo)為（-5，0），∴可得直線BC的解析式為y=x+5．∵點P的橫坐標(biāo)為t，PM⊥x軸，∴點M的橫坐標(biāo)為t．又點P在直線BC上，點M在拋物線上，∴所以點P的坐標(biāo)為（t，t+5），點M的坐標(biāo)（t，）．過點Q作QF⊥PM于點F，則△PQF為等腰直角三角形．∵∴QF=1．當(dāng)點P在點M下方時，即-5﹤t﹤0時，如圖1，，∴；當(dāng)點P在點M上方時，t﹤-5或t＞0時，如圖2，圖3，，∴．綜上所述：．針對訓(xùn)練1．在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸的兩個交點分別為A（-3，0）、B（1，0），過頂點C作CH⊥x軸于點H.（1）直接填寫：=，b=，頂點C的坐標(biāo)為；（2）在軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當(dāng)△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標(biāo).（3）①若點P在對稱軸右側(cè)（如圖①），只能是△PCQ∽△CAH，得∠QCP=∠CAH.延長CP交x軸于M，∴AM=CM，∴AM2=CM2.設(shè)M（m，0），則(m+3)2=42+(m+1)2，∴m=2，即M（2，0）.設(shè)直線CM的解析式為y=k1x+b1，則，解之得，.∴直線CM的解析式聯(lián)立，解之得或(舍去).∴.②若點P在對稱軸左側(cè)（如圖②），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH.過A作CA的垂線交PC于點F，作FN⊥x軸于點N.由△CFA∽△CAH得，由△FNA∽△AHC得.2．拋物線的頂點為（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點，與y軸負(fù)半軸交于C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為對稱軸右側(cè)拋物線上一點，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點M落在對稱軸上，求P點的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．【解析】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．（2）當(dāng)y＝0時，有x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0）．∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，∴EF＝ME+MF＝x+1．∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．3．如圖，已知直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點A、B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣，且拋物線經(jīng)過A、B兩點，交x軸于另一點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是拋物線x軸上方一點，∠MBA＝∠CBO，求點M的坐標(biāo)；（3）過點A作AB的垂線交y軸于點D，平移直線AD交拋物線于點E、F兩點，連結(jié)EO、FO．若△EFO為以EF為斜邊的直角三角形，求平移后的直線的解析式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式為y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．（2）如圖1中，作EA⊥AB交BM的延長線于E，作EF⊥x軸于F．∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，∴△BAE∽△BOC，∴，（3）如圖2中，當(dāng)直線AD向下平移時，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），作EH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥x軸于G．∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，由△EHO∽△OGF得到：，∴，∴x1x2+y1y2=0，由，消去y得到：x2+b-2=0，∴x1x2=b-2，x1+x2=0，y1y2=（-x1+b）（-x2+b）=x1x2+b2，∴2（b-2）+b2=0，解得b=-1-或-1+（舍棄），當(dāng)直線AD向上平移時，同法可得b=-1+，綜上所述，平移后的解析式為y=-x-1+或y=-x-1-．4．如圖，已知直線y＝x+2交x軸、y軸分別于點A、B，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為直線x＝﹣，且拋物線經(jīng)過A、B兩點，交x軸于另一點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點M是拋物線x軸上方一點，∠MBA＝∠CBO，求點M的坐標(biāo)；（3）過點A作AB的垂線交y軸于點D，平移直線AD交拋物線于點E、F兩點，連結(jié)EO、FO．若△EFO為以EF為斜邊的直角三角形，求平移后的直線的解析式．【答案】（1）y＝﹣x2﹣x+2．（2）M（﹣，）．（3）平移后的解析式為y＝﹣x﹣1+或y＝﹣x﹣1﹣．∴C（1，0），設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+2）（x﹣1），把（0，2）代入得到a＝﹣1，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣x+2．（2）如圖1中，作EA⊥AB交BM的延長線于E，作EF⊥x軸于F．∵∠ABE＝∠OBC，∠BAE＝∠BOC＝90°，∴△BAE∽△BOC，∴，∴，∴AE＝，（3）如圖2中，當(dāng)直線AD向下平移時，設(shè)E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），作EH⊥x軸于H，F(xiàn)G⊥x軸于G．∵∠EOF=90°=∠PHE=∠OGF，由△EHO∽△OGF得到：，∴，∴x1x2+y1y2=0，5．如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+1經(jīng)過A（﹣1，0），B（1，1）兩點．（1）求該拋物線的解析式；（2）閱讀理解：在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y＝k1x+b1（k1，b1為常數(shù)，且k1≠0），直線l2：y＝k2x+b2（k2，b2為常數(shù)，且k2≠0），若l1⊥l2，則k1?k2＝﹣1．解決問題：①若直線y＝2x﹣1與直線y＝mx+2互相垂直，則m的值是____；②拋物線上是否存在點P，使得△PAB是以AB為直角邊的直角三角形？若存在，請求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）M是拋物線上一動點，且在直線AB的上方（不與A，B重合），求點M到直線AB的距離的最大值．【答案】（1）y＝﹣x2+x+1；（2）①-；②點P的坐標(biāo)（6，﹣14）（4，﹣5）；（3）.（2）①由直線y＝2x﹣1與直線y＝mx+2互相垂直，得2m＝﹣1，即m＝﹣；故答案為：﹣；②AB的解析式為y＝x+，當(dāng)PA⊥AB時，PA的解析式為y＝﹣2x﹣2，聯(lián)立PA與拋物線，得，解得（舍），，即P（6，﹣14）；當(dāng)PB⊥AB時，PB的解析式為y＝﹣2x+3，聯(lián)立PB與拋物線，得，解得（舍），即P（4，﹣5），綜上所述：△PAB是以AB為直角邊的直角三角形，點P的坐標(biāo)（6，﹣14）（4，﹣5）；當(dāng)t＝0時，S取最大值，即M（0，1）．由勾股定理，得AB＝＝，設(shè)M到AB的距離為h，由三角形的面積，得h＝＝．點M到直線AB的距離的最大值是．6．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點A（x1，0）、B（x2，0），我們把|x1﹣x2|記為d（A、B），拋物線的頂點到x軸的距離記為d（x），如果d（A，B）=d（x），那么把這樣的拋物線叫做“正拋物線”．（1）拋物線y=2x2﹣2是不是“正拋物線”；（回答“是”或“不是”）．（2）若拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）是“正拋物線”，求拋物線的解析式；（3）如圖，若“正拋物線”y=x2+mx（m＜0）與x軸相交于A、B兩點，點P是拋物線的頂點，則拋物線上是否存在點C，使得△PAC是以PA為直角邊的直角三角形？如果存在，請求出C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線y=2x2﹣2是“正拋物線”；（2）拋物線的解析式為y=﹣x2+4x；（3）滿足條件的點C坐標(biāo)為（，）或（，﹣）．（2）當(dāng)y=0時，﹣x2+bx=0，解得x=0或b，∵b＞0，∴d（A，B）=b，由題意解得b=0（舍棄）或b=4，∴拋物線的解析式為假設(shè)存在點C，使得△PAC是以PA為直角邊的直角三角形，分兩種情形：①如圖1中，作AC⊥AP交拋物線于點C，厲害PC，作PE⊥x軸交AC于D．∴AE=2，PE=4，由△ADE∽△PAE,可得∴∴DE=1，∴D(2,1)，∴直線AD的解析式為由解得或∴②如圖2中，作PC⊥AP交拋物線于C，交y軸于D，連接AC，作PE⊥x軸于E.由△ADP∽△PAE,可得即∴∴AD=5，∴D(0,?5)，∴直線AD的解析式為由解得或綜上所述,滿足條件的點C坐標(biāo)為(92,94)或(52,?154).綜上所述，滿足條件的點C坐標(biāo)為或7．已知，拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)點M在拋物線的對稱軸上，當(dāng)△MAC是以AC為直角邊的直角三角形時，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）y=﹣x2+2x+3；（2）當(dāng)△MAC是直角三角形時，點M的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）．（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，設(shè)點M的坐標(biāo)為（1，m），則CM=，AC==，AM=．分兩種情況考慮：①當(dāng)∠ACM=90°時，有AM2=AC2+CM2，即4+m2=10+1+（m﹣3）2，解得：m=，∴點M的坐標(biāo)為（1，）；②當(dāng)∠CAM=90°時，有CM2=AM2+AC2，即1+（m﹣3）2=4+m2+10，解得：m=﹣，∴點M的坐標(biāo)為（1，﹣）．綜上所述：當(dāng)△MAC是直角三角形時，點M的坐標(biāo)為（1，）或（1，﹣）．類型二固定邊的等腰三角形例2．在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象交坐標(biāo)軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數(shù)的解析式；（2）是否存在點P，使△POC是以O(shè)C為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在拋物線上是否存在點D（與點A不重合）使得S△DBC＝S△ABC，若存在，求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)拋物線解析式為y＝x2﹣3x﹣4；(2)存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（，﹣2）；(3)存在滿足條件的D點，其坐標(biāo)為（5，6）．(2)如圖1，作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，∴PO＝PC，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標(biāo)為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4＝﹣2，解得x＝（小于0，舍去）或x＝，∴存在滿足條件的P點，其坐標(biāo)為（，﹣2）；(3)如圖2，①當(dāng)D點在直線BC的上方時，過A點作AD1∥BC，交拋物線于D1，此時，使得S△DBC＝S△ABC，∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC的解析式為y＝x﹣4，∵AD1∥BC，∴設(shè)直線AD11的解析式為y＝x+n，把A（﹣1，0）代入得，0＝﹣1+n，則n＝1，∴直線AD1的解析式為y＝x+1，解得或，∴D1的坐標(biāo)為（5，6），②當(dāng)D點在直線BC的下方時，由直線AD1的解析式為y＝x+1可知直線AD1和y軸的交點E的坐標(biāo)為（0，1），∴CE＝5，∴直線AD的解析式為y＝x﹣10，∵方程x2﹣3x﹣4＝x﹣10無實數(shù)根，故存在滿足條件的D點，其坐標(biāo)為（5，6）．針對訓(xùn)練1．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝﹣x2+x+2與x軸交于A、B兩點，交y軸于點C，點C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點D．(1)求線段AC的長度；(2)P為線段BC上方拋物線上的任意一點，點E為（0，﹣1），一動點Q從點P出發(fā)運動到y(tǒng)軸上的點G，再沿y軸運動到點E．當(dāng)四邊形ABPC的面積最大時，求PG+GE的最小值；(3)將線段AB沿x軸向右平移，設(shè)平移后的線段為A'B'，直至A'P平行于y軸（點P為第2小問中符合題意的P點），連接直線CB'．將△AOC繞著O旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)后A、C的對應(yīng)點分別為A''、C'，在旋轉(zhuǎn)過程中直線A''C'與y軸交于點M，與線段CB'交于點N．當(dāng)△CMN是以MN為腰的等腰三角形時，寫出CM的長度．【答案】(1)AC＝；(2)PG+GE的最小值為；(3)CM的長度為：2﹣或．(2)過點P作y軸的平行線交BC于點H，設(shè)：P的橫坐標(biāo)為m，則P（m，﹣m2+m+2），H（m，﹣m+2），S四邊形ABPC＝S△ABC+S△PBC，S△ABC是個常量，∴四邊形ABPC的面積最大時，只需要確定S△PBC最大即可，S△PBC即＝PH?（xB）＝（﹣m2+m+2+m﹣2）＝（﹣m2+2m），當(dāng)m＝時，函數(shù)取得最大值，此時P（，2），過點E作RE⊥GR，使RE與y軸夾角為45度，則GR＝GE，則：PG+GE＝PG+GR，當(dāng)P、G、R三點共線時，PG+GE有最小值，直線ER的方程為y＝﹣x﹣1…①，則：直線PR方程的k值為1，其方程為：y＝x+…②，聯(lián)立①、②解得：R（﹣，），則：PR＝，即PG+GE的最小值為；(3)①當(dāng)MN＝CM時，②當(dāng)MN＝CN時，過點N作NS⊥CM，設(shè)N的橫坐標(biāo)為n，∵tan∠MCN＝＝2，∴CS＝n，CM＝n，∵∠MA″A′＝∠MCC′＝∠CMC′＝∠A′MA″，∴A′A″＝A′M＝2﹣n＝，∴CM＝n＝；故：CM的長度為：2﹣或．2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2﹣4x+5交x軸于點A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），交y軸于點C，點D為拋物線的頂點，連接AD．（1）求直線AD的解析式．（2）點E（m，0）、F（m+1，0）為x軸上兩點，其中（﹣5＜m＜﹣3.5）EE′、FF′分別平行于y軸，交拋物線于點E′和F′，交AD于點M、N，當(dāng)ME′+NF′的值最大時，在y軸上找一點R，使得|RE′﹣RF′|值最大，請求出點R的坐標(biāo)及|RE′﹣RF′|的最大值．（3）如圖2，在拋物線上是否存在點P，使得△PAC是以AC為底邊的等腰三角形，若存在，請出點P的坐標(biāo)及△PAC的面積，若不存在，請說明理由?！敬鸢浮浚?）y=3x+15；（2）點R的坐標(biāo)是（0，17），最大值為；（3）存在，P（），P′（），面積為（2）如圖1，∵EE′∥y軸，F(xiàn)F′∥y軸，E（m，0）、F（m+1，0），∴E（m，﹣m2﹣4m+5）、F（m+1，﹣（m+1）2﹣4（m+1）+5），M（m，3m+15），N（m+1，3（m+1）+15），∴ME′=﹣m2﹣4m+5﹣（3m+15）=﹣m2﹣7m﹣10，NF′=﹣m2﹣9m﹣18，∴ME′+NF′=﹣m2﹣7m﹣10﹣m2﹣9m﹣18=2m2﹣16m﹣28．∵﹣2＜0，∴m=﹣=﹣4，∴ME′+NF′有最大值，此時E′（﹣4，5），F(xiàn)′（﹣3，8），要使|RE′﹣RF′|值最大，則點E′、F′、R三點在一條直線上，∴設(shè)直線E′F′：y=kx+b（k≠0），則，解得，∴直線E′F′：y=3x+17（k≠0）．當(dāng)x=0時，y=17，則點R的坐標(biāo)是（0，17）．此時，|RE′﹣RF′|的最大值為=；（3）如圖2，設(shè)點P（x，﹣x2﹣4x+5）．當(dāng)PA=PC時，點P在線段AC的垂直平分線上，∵OC=OA，∴點O在線段AC的垂直平分線上，∴點P在∠AOC的角平分線上，∴﹣x=﹣x2﹣4x+5，解得x1=，x2=，∴P（，），P′（，）．∴PH=OP﹣OH=，P′H=OP′+OH=，∴S△PAC=AC?PH=×5×=或S△PAC=AC?P′H=×5×=．3．拋物線的頂點為（1，﹣4），與x軸交于A、B兩點，與y軸負(fù)半軸交于C（0，﹣3）．（1）求拋物線的解析式；（2）點P為對稱軸右側(cè)拋物線上一點，以BP為斜邊作等腰直角三角形，直角頂點M落在對稱軸上，求P點的坐標(biāo)．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．【詳解】解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將C（0，﹣3）代入y＝a（x﹣1）2﹣4，得：﹣3＝a（0﹣1）2﹣4，解得：a＝1，∴拋物線的解析式為y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3．∴△MBE≌△PMF（AAS），∴ME＝PF＝x﹣1，MF＝BE＝2，∴EF＝ME+MF＝x+1．∵EF＝|x2﹣2x﹣3|，∴|x2﹣2x﹣3|＝x+1，即x2﹣3x﹣4＝0或x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝2，x3＝4，∴點P的坐標(biāo)為（2，﹣3）或（4，5）．4．已知：二次函數(shù)y=-x2+bx+c(a≠0)的圖象與x軸交于點A(-3，0)、B（1，0），頂點為C.(1)求該二次函數(shù)的解析式和頂點C的坐標(biāo)；(2)如圖，過B、C兩點作直線，并將線段BC沿該直線向下平移，點B、C分別平移到點D、E處．若點F在這個二次函數(shù)的圖象上，且△DEF是以EF為斜邊的等腰直角三角形，求點F的坐標(biāo)；(3)試確定實數(shù)p，q的值，使得當(dāng)p≤x≤q時，P≤y≤．【答案】（1）頂點C（-1，2）；（2）F（3，-6）；（3）p=-2-，q=-2或p=0,q=1【詳解】(1)∵拋物線經(jīng)過點A(?3,0)和B(1,0)，∴解得∴拋物線的解析式為∵∴頂點C的坐標(biāo)為(?1,2)；(2)如圖，過點C作軸于點H,則點解得：，（不合題意舍去），分三種情況進(jìn)行討論:①當(dāng)時，由增減性得：當(dāng)時，取得最大值時，代入解得：（不合題意舍去）②當(dāng)時，當(dāng)時，取得最大值不合題意.③當(dāng)時，由增減性得：當(dāng)時，取得最大值時，代入解得：（不合題意舍去）綜上所述，滿足條件的p，q的值為或類型三直角三角形的分類討論例3：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，—拋物線y=﹣a(x+1)(x﹣3)(a＞0)與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C.拋物線的對稱軸與x軸交于點E，過點C作x軸的平行線，與拋物線交于點D，連接DE，延長DE交y軸于點F，連接AD、AF．（1）點A的坐標(biāo)為____________，點B的坐標(biāo)為_________；（2）判斷四邊形ACDE的形狀，并給出證明；（3）當(dāng)a為何值時，△ADF是直角三角形?【答案】（1）點A（﹣1，0），點B（3，0）；（2）四邊形ACDE是平行四邊形．證明見解析；（3）當(dāng)或時，△ADF為直角三角形．【解析】解（1）根據(jù)題意可知，∵y=﹣a(x+1)(x﹣3)，∴當(dāng)y=0時，x=﹣1或x=3，∴點A（﹣1，0），點B（3，0）；（3）過點D作DG⊥AB于點G，由，可知OE=GE，又∵∠FOE=∠DGE=90°，∠OEF=∠GED，∴△OEF≌△DEG（ASA），∴OF=GD=3a，∴F點坐標(biāo)為（0，-3a），討論：①若∠DAF=90°，則∠DAG+∠FAO=90°，又∠FAO+∠AFO=90°，∴∠DAG=∠AFO，又∠AOF=∠DGA=90°，∴△AOF∽△DGA，∴，即，∴，∵a>0，∴，∵以上各步均可逆，故合題意；針對訓(xùn)練1．如圖，動直線y＝kx+2（k＞0）與y軸交于點F，與拋物線y＝相交于A，B兩點，過點A，B分別作x軸的垂線，垂足分別為點C，D，連接CF，DF，請你判斷△CDF的形狀，并說明理由．【答案】△CFD是直角三角形．見解析。2．如圖，已知直線y＝﹣x+4分別交x軸、y軸于點A、B，拋物線過y＝ax2+bx+c經(jīng)過A，B兩點，點P是線段AB上一動點，過點P作PC⊥x軸于點C，交拋物線于點D．（1）若拋物線的解析式為y＝﹣x2+x+4，設(shè)其頂點為M，其對稱軸交AB于點N．①求點M、N的坐標(biāo)；②是否存在點P，使四邊形MNPD為菱形？并說明理由；（2）當(dāng)點P的橫坐標(biāo)為2時，是否存在這樣的拋物線，使得以B、P、D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出滿足條件的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．【答案】(1)①M（1，），N（1，3）；②見解析;(2)見解析.設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，﹣m+4），則D（m，﹣m2+m+4），PD＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∵PD∥MN．∴當(dāng)PD＝MN時，四邊形MNPD為平行四邊形，即﹣m2+2m＝，解得：m＝1或3（m＝1舍去），∴點P（3，1），由N（1，3），∴PN＝≠MN，∴平行四邊形MNPD不是菱形，即：不存在點P，使四邊形MNPD為菱形；（2）①當(dāng)∠BDP＝90°時，點P（2，2），則四邊形BOCD為矩形，∴D（2，4），又A（4，0），B（0，4），∴拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+x+4；3．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于點A，B，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），與y軸交于點C（0，2），點D與點C關(guān)于x軸對稱，點P是x軸正半軸上的一個動點，設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若m＝3，試證明△BQM是直角三角形；（3）已知點F（0，），試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）詳見解析；（3）當(dāng)m＝3或﹣1時，四邊形DMQF是平行四邊形．（2）m＝3，則點P（3，0），點D與點C關(guān)于x軸對稱，則點D坐標(biāo)為（0，﹣2），把x＝3代入拋物線表達(dá)式，則y＝2，即：Q（3，2），把點D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝kx+b，則：y＝kx﹣2，把點B坐標(biāo)代入上式，解得：k＝，則BD所在直線表達(dá)式為：y＝x﹣2，則點M坐標(biāo)為（3，﹣），則：BM2＝，BQ2＝5，QM2＝，即：BM2+BQ2＝QM2，故：△BQM是直角三角形；（3）點P的坐標(biāo)為（m，0），則點Q坐標(biāo)（m，﹣m2+m+2）、點M坐標(biāo)（m，m﹣2），當(dāng)QM＝EF＝時，四邊形DMQF是平行四邊形，則：QM＝﹣m2+m+2﹣m+2＝，解得：m＝3或﹣1，答：當(dāng)m＝3或﹣1時，四邊形DMQF是平行四邊形．4．已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A，B兩點，交y軸于C點，拋物線的對稱軸與x軸交于H點，分別以O(shè)C、OA為邊作矩形AECO．（1）求直線AC的解析式；（2）如圖2，P為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點M，當(dāng)四邊形AOCP面積最大時，求|PM﹣OM|的最大值．（3）如圖3，將△AOC沿直線AC翻折得△ACD，再將△ACD沿著直線AC平移得△A'C′D'．使得點A′、C'在直線AC上，是否存在這樣的點D′，使得△A′ED′為直角三角形？若存在，請求出點D′的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)y＝x+2；(2)點M坐標(biāo)為（﹣2，）時，四邊形AOCP的面積最大，此時|PM﹣OM|有最大值；(3)存在，D′坐標(biāo)為：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．（2）如圖，過點P作x軸的垂線交AC于點H．（3）存在．∵AE＝CD，∠AEC＝∠ADC＝90°，∠EMA＝∠DMC，∴△EAM≌△DCM（AAS），∴EM＝DM，AM＝MC，設(shè)：EM＝a，則：MC＝6﹣a．在Rt△DCM中，由勾股定理得：MC2＝DC2+MD2，即：（6﹣a）2＝22+a2，解得：a，則：MC，過點D作x軸的垂線交x軸于點N，交EC于點H．在Rt△DMC中，DH?MCMD?DC，即：DH2，則：DH，HC，即：點D的坐標(biāo)為（）；設(shè)：△ACD沿著直線AC平移了m個單位，則：點A′坐標(biāo)（﹣6），點D′坐標(biāo)為（），而點E坐標(biāo)為（﹣6，2），則==36，==，==．若△A′ED′為直角三角形，分三種情況討論：①當(dāng)+=時，36+=，解得：m=，此時D′（）為（0，4）；②當(dāng)+=時，36+=，解得：m=，此時D′（）為（－6，2）；③當(dāng)+=時，+=36，解得：m=或m=，此時D′（）為（－6，2）或（，）．綜上所述：D坐標(biāo)為：（0，4）或（﹣6，2）或（，）．5．如圖①，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側(cè)），與y軸交于點C，拋物線的頂點為點D，且3OC＝4OB，對稱軸為直線x＝，點E，連接CE交對稱軸于點F，連接AF交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式和直線CE的解析式；（2）如圖②，過E作EP⊥x軸交拋物線于點P，點Q是線段BC上一動點，當(dāng)QG+QB最小時，線段MN在線段CE上移動，點M在點N上方，且MN＝，請求出四邊形PQMN周長最小時點N的橫坐標(biāo)；（3）如圖③，BC與對稱軸交于點R，連接BD，點S是線段BD上一動點，將△DRS沿直線RS折疊至△D′RS，是否存在點S使得△D′RS與△BRS重疊部分的圖形是直角三角形？若存在，請求出BS的長，若不存在，請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：tan∠DBC＝）【答案】（1）y＝﹣2x+4．（2）；（3）BS的值為或．設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x+）（x﹣3），把C（0，4）代入得到a＝﹣，∴拋物線的解析式為y＝﹣（x2﹣2x﹣9），即y＝﹣+x+4．設(shè)直線CE的解析式為y＝kx+b，則有，解得，∴直線CE的解析式為y＝﹣2x+4．（2）如圖1中，作QH⊥AB于H．由（1）可知F（，2），∴直線AF的解析式為y＝x+，由，解得或，∴G（，），∵QH∥CO，BC＝＝5，∴，∴QH＝BQ，∴GQ+BQ＝GQ+QH，∴當(dāng)G、Q、H三點共線時，GQ+BQ的值最小，最小值為，此時Q（，）．如圖2中，將點Q沿CE方向平移個單位得到Q′，作點Q′關(guān)于直線CE的對稱點Q″，連接PQ″交直線CE于M，此時四邊形PQNM的周長最?。?）如圖3中，①當(dāng)RS⊥BD時，△D′RS與△BRS重疊部分的圖形是直角三角形．設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于H設(shè)拋物線的對稱軸交x軸于H．由題意：BH＝2，DH＝，BD＝＝，∵RH∥CO，∴，∴RH＝，DR＝DH﹣RH＝，∵△DRS∽△DBH，∴，∴RS＝，DS＝，∴BS＝BD﹣DS＝．②如圖4中，當(dāng)RD′⊥BD時，設(shè)垂足為K，作SG⊥DH于G．解得m＝﹣，∴SB＝SK+BK＝﹣+＝+綜上所述，滿足條件的BS的值為或+．6．已知：如圖，一次函數(shù)y=x+1的圖象與x軸交于點A，與y軸交于點B；二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與一次函數(shù)y=x+1的圖象交于B、C兩點，與x軸交于D、E兩點且D點坐標(biāo)為（1，0）（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）求四邊形BDEC的面積S；（3）在x軸上有一動點P，從O點出發(fā)以每秒1個單位的速度沿x軸向右運動，是否存在點P使得△PBC是以P為直角頂點的直角三角形？若存在，求出點P運動的時間t的值，若不存在，請說明理由．（4）若動點P在x軸上，動點Q在射線AC上，同時從A點出發(fā)，點P沿x軸正方向以每秒2個單位的速度運動，點Q以每秒a個單位的速度沿射線AC運動，是否存在以A、P、Q為頂點的三角形與△ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，說明理由．【答案】⑴;(2);(3);(4)解得：故解析式y(tǒng)=；（3）設(shè)符合條件的點P存在，令P（t，0）：當(dāng)P為直角頂點時，如圖：過C作CF⊥x軸于F；∵Rt△BOP∽Rt△PCF，∴，即，整理得t2-4t+3=0，解得a=1或a=3；故可得t=1或3．（4）存在符合條件的a值，使△APQ與△ABD相似，①當(dāng)△APQ∽△ABD時，，解得：a=；②當(dāng)△APQ∽△ADB時，，

解得：a=，∴存在符合條件的a值，使△APQ與△ABD相似，a=或．7．拋物線y＝x2＋bx＋c與x軸交于A、B(3，0)兩點，與y軸交于點C(0，－3)，點D為頂點，連結(jié)BC、BD、CD.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)試判斷△BCD的形狀，并說明理由．【答案】（1）y＝x2－2x－3；（2）△BCD是直角三角形.由y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，得頂點D的坐標(biāo)為(1，－4)．∴DE＝4，OE＝1.∴BE＝2.在Rt△DEB中，∠DEB＝90°，∴BD2＝DE2＋BE2＝20.過點C作CF⊥DE于點F，則CF＝OE＝1，DF＝DE－OC＝1.∴DC2＝CF2＋DF2＝2.∴BD2＝BC2＋DC2.∴△BCD是直角三角形．9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x?3與x軸交于A、B兩點（點A在點B左邊），與y軸交于點C，連接AC、BC，點D(0，2)在y軸上，連接BD．（1）請求出直線AC、BD的解析式；（2）如圖1，點P為第三象限內(nèi)拋物線上一動點，過點P作PE∥y軸交直線AC于點E，連接OE．當(dāng)∠AOE=∠BDO時，點M為直線x軸上一點，點N為y軸上一點，連接EM、NP，當(dāng)四邊形MNPE周長最小時，請求出點N的坐標(biāo)并直接寫出此時四邊形MNEP的周長；（3）如圖2，在（2）的結(jié)論下，連接OP，將△OEP繞點O旋轉(zhuǎn)，點E旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點為E1，點P旋轉(zhuǎn)后對應(yīng)點為P1，直線E1P1與y軸交于點F，與直線BD交于點Q．在旋轉(zhuǎn)過程中，△DQF能否為直角三角形，若能，請求出DF的長度；若不能，請說明理由．【答案】（1）（2）9（3）（2）如圖1中，作點E關(guān)于x軸的對稱點E′，點P關(guān)于y軸的對稱點P′，連接P′E′交x軸于M，交y軸于N，EE′交OA于H．∵EM+MN+NP=E′M+MN+NP′，PE的值為定值，∴此時四邊形PEMN的周長最小，設(shè)P（m，m2+m-3），則E（m，-m-3），∵∠EOH=∠BDO，∴tan∠EOH=tan∠BDO，∴，（3）如圖2中，當(dāng)∠DQF=90°，H的對稱點為H1．∵△OFH1∽△DBO，∴，∴，∴OF=3，∴DF=OF-OD=．如圖3中，當(dāng)∠DFQ=90°，易知OF=OH=4，此時DF=OF-OD=4-2．如圖4中，當(dāng)∠DQF=90°時，同法可得OF=3，此時DF=5．如圖5中，當(dāng)∠DFQ=90°時，OF=4，此時DF=4+2．綜上所述，滿足條件的DF的值為或4-2或5或4+2．10．如圖，直線與拋物線分別交于點A、點B，且點A在y軸上，拋物線的頂點C的坐標(biāo)為．(1)求拋物線的解析式；(2)點P是線段AB上一動點，射線軸并與直線BC和拋物線分別交于點M、N，過點P作軸于點E，當(dāng)PE與PM的乘積最大時，在y軸上找一點Q，使的值最大，求的最大值和此時Q的坐標(biāo)；(3)在拋物線上找一點D，使△ABD為直角三角形，求D點的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2），Q點坐標(biāo)為；（3）點坐標(biāo)為(2)聯(lián)立解得：或即點的坐標(biāo)為設(shè)的解析式為，代入和得：解得：∴BC的解析式為設(shè)，則，(3)點坐標(biāo)為類型四等腰三角形的分類討論例4.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3交x軸于點A（﹣3，0）、B（1，0），在y軸上有一點E（0，1），連接AE．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點D為拋物線在x軸負(fù)半軸下方的一個動點，求△ADE面積的最大值；（3）拋物線對稱軸上是否存在點P，使△AEP為等腰三角形？若存在，請直接寫出所有P點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)二次函數(shù)解析式為y＝x2+2x﹣3；(2)△ADE的面積取得最大值為；（3）點P的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．，，根據(jù)可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解可得答案；（3）先根據(jù)拋物線解析式得出對稱軸為直線，據(jù)此設(shè)，由，知，，，再分，及三種情況分別求解可得.（2）設(shè)直線AE的解析式為y＝kx+b，∵過點A（﹣3，0），E（0，1），∴，解得：，∴直線AE解析式為，如圖，過點D作DG⊥x軸于點G，延長DG交AE于點F，設(shè)D（m，m2+2m﹣3），則F（），∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4，∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF＝×DF×AG+DF×OG＝×DF×（AG+OG）＝×3×DF＝（﹣m2﹣m+4）＝﹣m2﹣m+6＝﹣（m+）2+，∴當(dāng)m＝時，△ADE的面積取得最大值為．②若AP＝PE，則AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1，∴P（﹣1，﹣1）；③若AE＝PE，則AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4，∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）；綜上，點P的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．針對訓(xùn)練1．如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx﹣3a經(jīng)過點A（﹣1，0），C（0，3），與x軸交于另一點B，拋物線的頂點為D．（1）求此二次函數(shù)解析式；（2）連接DC、BC、DB，求證：△BCD是直角三角形；（3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使得△PDC為等腰三角形？若存在，求出符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）證明見解析；（3）存在，點P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．（2）由y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4得，D點坐標(biāo)為（1，4），∴CD＝，BC＝，BD＝，∵CD2+BC2＝（）2+（3）2＝20，BD2＝（2）2＝20，∴CD2+BC2＝BD2，∴△BCD是直角三角形；解得x1＝，x2＝＜1，應(yīng)舍去，∴x＝，∴y＝4﹣x＝，即點P1坐標(biāo)為（，）．②若以CD為一腰，∵點P2在對稱軸右側(cè)的拋物線上，由拋物線對稱性知，點P2與點C關(guān)于直線x＝1對稱，此時點P2坐標(biāo)為（2，3）．∴符合條件的點P坐標(biāo)為（，）或（2，3）．2．如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的右側(cè)），與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（2，0），它的對稱軸是直線x＝﹣1．（1）直接寫出點B，點C的坐標(biāo).（2）求這個二次函數(shù)的解析式．（3）若點P在x軸上，且△PBC為等腰三角形，請求出線段BC的長并直接寫出符合條件的所有點P的坐標(biāo)．【答案】(1)B（-4,0）,C（0,4）;(2)y＝﹣x2﹣x+4；(3)BC=4，P（0，0）或（﹣4+4，0）或（﹣4﹣4，0）或（4，0）.（2）由（1）得B（﹣4，0），C（0，4），∴BC＝＝4；設(shè)P（m，0），∵B（﹣4，0），C（0，4），∴BP2＝（m+4）2，CP2＝m2+16，∵△PBC是等腰三角形，∴①當(dāng)BP＝CP時，∴（m+4）2＝m2+16，∴m＝0，∴P（0，0）3．如圖，在中，，，點為邊上一點，且AD=3cm，動點從點出發(fā)沿線段向終點運動．作，與邊相交于點．找出圖中的一對相似三角形，并說明理由；當(dāng)為等腰三角形時，求的長；求動點從點出發(fā)沿線段向終點運動的過程中點的運動路線長．【答案】（1）；（2）的長為或或；（3）cm.分三種情況①如圖，若，則，又∵，∴，∴，∴；②如圖，若，則又∵，∴，∴，∴；設(shè)，長為．∵在中，，．∴，，由得：，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)時，有最大值，∵從運動的過程中可以得出點運動的路程正好是，∴點運動路程為．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y=ax2+bx-8與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，直線l經(jīng)過坐標(biāo)原點O，與拋物線的一個交點為D，與拋物線的對稱軸交于點E，連接CE，已知點A，D的坐標(biāo)分別為（-2，0），（6，-8）．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式，并分別求出點B和點E的坐標(biāo)；（2）若點P是y軸負(fù)半軸上的一個動點，設(shè)其坐標(biāo)為（0，m），直線PB與直線l交于點Q，試探究：當(dāng)m為何值時，△OPQ是等腰三角形．【答案】(1)y＝x2－3x－8；B(8，0),E(3，－4)；(2)m的值為－或－.（2）需分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)OP＝OQ時，△OPQ是等腰三角形，如解圖①，圖1∴直線ME的函數(shù)表達(dá)式為y＝x－5，令y＝0，解得x＝15，∴點H的坐標(biāo)為(15，0)．又∵M(jìn)H∥PB，∴＝，即，∴m＝－；②當(dāng)QO＝QP時，△OPQ是等腰三角形，如圖，∵當(dāng)x＝0時，y＝x2－3x－8＝－8，∴點C的坐標(biāo)為(0，－8)，∴CE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，又∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB.令y＝0，得x－8＝0，∴x＝6，∴點N的坐標(biāo)為(6，0)．∵CN∥PB.∴＝，∴＝，解得m＝－.綜上所述，當(dāng)m的值為－或－時，△OPQ是等腰三角形．5．已知拋物線的圖象如圖所示：（1）將該拋物線向上平移2個單位，分別交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，則平移后的解析式為．（2）判斷△ABC的形狀，并說明理由．（3）在拋物線對稱軸上是否存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）；（2）△ABC是直角三角形；（3）存在，、、．AB=1﹣（﹣4）=5，AB2=25，AC2=（1﹣0）2+（0﹣2）2=5，BC2=（﹣4﹣0）2+（0﹣2）2=20．∵AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形；③當(dāng)AC=CP時，AC2=CP2，（2﹣n）2=5，解得：n1=2，n2=2，P2（，2），P3（，2）．綜上所述：在拋物線對稱軸上存在一點P，使得以A、C、P為頂點的三角形是等腰三角形，點P的坐標(biāo)（，0），（，2），（，2）．6．如圖，已知：二次函數(shù)y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B兩點，其中A點坐標(biāo)為（﹣3，0），與y軸交于點C，點D（﹣2，﹣3）在拋物線上．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）拋物線的對稱軸上有一動點P，求出PA+PD的最小值；（3）若拋物線上有一動點M，使△ABM的面積等于△ABC的面積，求M點坐標(biāo)．（4）拋物線的對稱軸上是否存在動點Q，使得△BCQ為等腰三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【答案】（1）y＝x2+2x﹣3；（2）；（3）點M的坐標(biāo)為（﹣1﹣，3），（﹣1+，3），（﹣2，﹣3）；（4）存在；點Q的坐標(biāo)