16矩形的存在性問題解析版

矩形的存在性問題矩形的判定：（1）有一個角是直角的平行四邊形；（2）對角線相等的平行四邊形；（3）有三個角為直角的四邊形．【題型分析】矩形除了具有平行四邊形的性質(zhì)之外，還有“對角線相等”或“內(nèi)角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐標(biāo)系中的矩形滿足以下3個等式：（AC為對角線時）因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．確定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．題型如下：（1）2個定點+1個半動點+1個全動點；（2）1個定點+3個半動點．【解析思路】思路1：先直角，再矩形在構(gòu)成矩形的4個點中任取3個點，必構(gòu)成直角三角形，以此為出發(fā)點，可先確定其中3個點構(gòu)造直角三角形，再確定第4個點．對“2定+1半動+1全動”尤其適用．引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標(biāo)．【分析】點C滿足以A、B、C為頂點的三角形是直角三角形，構(gòu)造“兩線一圓”可得滿足條件的點C有、、、在點C的基礎(chǔ)上，借助點的平移思路，可迅速得到點D的坐標(biāo)．【小結(jié)】這種解決矩形存在性問題的方法相當(dāng)于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐標(biāo)，也是因為這兩個圖形之間的密切關(guān)系方能如此．思路2：先平行，再矩形當(dāng)AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐標(biāo)后，代入點坐標(biāo)解方程即可．無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什么區(qū)別，能得到的都是三元一次方程組．已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在坐標(biāo)系中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐標(biāo)．【分析】設(shè)C點坐標(biāo)為（a，0），D點坐標(biāo)為（b，c），又A（1，1）、B（4，2）．先考慮平行四邊形存在性：（1）AB為對角線時，形，另外AB=CD，得：，滿足此條件的C、D使得以A、B、C、D為頂點的四邊形是平行四邊，綜合以上可解：或．故C（3，0）、D（2，3）或C（2，0）、D（3，3）．，另外AC=BD，得（2）AC為對角線時，，綜合以上可解得：．故C、D．（3）AD為對角線時，，另外AD=BC，得，綜合以上可解得：．故C、D．【小結(jié)】這個方法是在平行四邊形基礎(chǔ)上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．1．如圖，拋物線與軸交于點．和直線交于，兩點，點在軸上，點在直線上，直線（1）求拋物線的解析式；（2）點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿線段向點運(yùn)動，點從點出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿線段向點運(yùn)動，點，同時出發(fā)，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一個點也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為秒．以為邊作矩形，使點在直線上．①當(dāng)為何值時，矩形的面積最小？并求出最小面積；②直接寫出當(dāng)為何值時，恰好有矩形【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可；的頂點落在拋物線上．（2）分別用表示、、，用表示及，列出矩形面積與的函數(shù)關(guān)系式問題可解；由利用線段中點坐標(biāo)分別等于兩個端點橫縱坐標(biāo)平均分的數(shù)量關(guān)系，表示點坐標(biāo)，分別討論、、在拋物線上時的情況，并分別求出值．【解答】解：（1）由已知，點橫坐標(biāo)為3、在上，把，代入得解得拋物線解析式為；（2）過點作軸于點．直線與軸夾角為，點速度為每秒個單位長度秒時點坐標(biāo)為，點坐標(biāo)為，矩形的面積當(dāng)時，由點坐標(biāo)為，坐標(biāo)為，可得點坐標(biāo)為由矩形對角線互相平分點坐標(biāo)為當(dāng)在拋物線上時解得或當(dāng)點到時，在拋物線上，此時當(dāng)在拋物線上時，綜上所述當(dāng)或或或2時，矩形的頂點落在拋物線上．【點評】本題是代數(shù)幾何綜合題，考查了二次函數(shù)、一次函數(shù)、三角形相似和矩形的有關(guān)性質(zhì)，解答時應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合和分類討論的數(shù)學(xué)思想．2．如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，經(jīng)過點的拋物線的對稱軸是．（1）求拋物線的解析式；（2）平移直線經(jīng)過原點，得到直線，點是直線上任意一點，，若點在線段上，點在線段軸于點，．求證：軸于點；的延長線上，連接，，且（3）若（2）中的點坐標(biāo)為，點是軸上的點，點是軸上的點，當(dāng)時，拋物線上是否存在點，使四邊形是矩形？如果存在，請求出點的坐標(biāo)，如果不存在，請說明理由．【分析】（1）先求得點的坐標(biāo)，然后依據(jù)拋物線過點，對稱軸是列出關(guān)于、的方程組求解即可；（2）設(shè)，則，，然后再證明，最后通過等量代換進(jìn)行證明即可；（3）設(shè)，然后用含的式子表示的長，從而可得到的長，于是可得到點的坐標(biāo)，然后依，從而可求得點的坐標(biāo)（用含的式子表示），最后，將點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式求得的值即可．據(jù)中點坐標(biāo)公式可得到，【解答】解：（1）當(dāng)時，，解得，即，拋物線過點，對稱軸是，得，解得，拋物線的解析式為；（2）平移直線經(jīng)過原點，得到直線，直線的解析式為點是直線上任意一點，．設(shè)，則，，．又設(shè)則，，，，，，，，，．，，．（3）如圖所示，點在點的左側(cè)時，設(shè)，則．，．．為矩形，，，，，，．將點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：．，解得：或（舍去）．如下圖所示：當(dāng)點在點的右側(cè)時，設(shè)，則．，．．為矩形，，，，，，．將點的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：．，解得：或（舍去）．綜上所述，點的坐標(biāo)為或．【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了矩形的性質(zhì)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、中點坐標(biāo)公式，用含的式子表示點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．3．如圖，直線與坐標(biāo)軸交于、兩點，拋物線經(jīng)過點，與直線交于點，且與軸交于，兩點．（1）求拋物線的解析式；（2）拋物線上有一點，當(dāng)時，求點的橫坐標(biāo)；（3）點在拋物線上，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點，使得以點，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）直線與坐標(biāo)軸交于、兩點，則，，，把、點坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程，解得：拋物線的解析式；（2）當(dāng)時，如下圖所示，分在軸上和軸下分別求解即可；（3）存在．當(dāng)為矩形對角線時，矩形位置如圖所示，經(jīng)驗證這種情況不存在，同理當(dāng)為矩形一邊時，矩形所在的位置如圖所示，有幾何位置關(guān)系即可求解．【解答】解：（1）直線與坐標(biāo)軸交于、兩點，則，，，把、點坐標(biāo)代入二次函數(shù)方程，解得：拋物線的解析式，則：；（2）符合條件的有和，如下圖所示，當(dāng)時，，，此時符合條件的只有如圖所示的一個點，直線的為，所在的直線方程為：，聯(lián)立方程、可求得：即：點的橫坐標(biāo)，；當(dāng)時，，直線將的值為，其方程為，所在的方程與拋物線表達(dá)式聯(lián)立，，解得：故：即：點的橫坐標(biāo)或．（3）存在．當(dāng)為矩形對角線時，矩形所在的位置如圖所示，設(shè)：，，所在直線的所在的直線，，則：，、聯(lián)立得：，解得：或6，這兩個點分別和點、重合，與題意不符，故：這種情況不存在，舍去．當(dāng)為矩形一邊時，情況一：矩形所在的位置如圖所示，直線所在的方程為：，則：直線聯(lián)立的為，所在的方程為，，解得點則，情況二：矩形所在的位置如圖所示，此時，在拋物線上，其坐標(biāo)為：，坐標(biāo)為．故：存在矩形，點的坐標(biāo)為：或．【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．4．如圖，拋物線與軸交于點，點，且．（1）求拋物線的解析式；（2）點在拋物線上，且，求點的坐標(biāo)；（3）拋物線上兩點，，點的橫坐標(biāo)為，點的橫坐標(biāo)為動點，過點作軸的平行線交于點．．點是拋物線上，之間的①求的最大值；②點關(guān)于點的對稱點為，當(dāng)為何值時，四邊形為矩形．【分析】（1）已知拋物線與軸兩交點坐標(biāo)，可設(shè)交點式；由得，代入交點式即求得．（2）由點在聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形，因為求點坐標(biāo)一般會作軸垂線．利用點、、坐標(biāo)求得得的長，由相似三角，故可過邊上作垂線，構(gòu)造、形對應(yīng)邊成比例推出．設(shè)點橫坐標(biāo)為，則與都能用表示，但需按橫縱坐標(biāo)的正負(fù)性進(jìn)行分類討論．得到用表示與并代入計算即求得的值，進(jìn)而求點坐標(biāo)．（3）用表示、橫縱坐標(biāo)，把當(dāng)常數(shù)求直線解析式得點縱坐標(biāo)，與縱坐標(biāo)相減即得到用、表示的的解析式．設(shè)橫坐標(biāo)為，把代入直線的長，把當(dāng)常數(shù)，對未知數(shù)進(jìn)行配方，即得到當(dāng)時，取得最大值．由矩形得得時，且，所以與互相平分，所以為．用兩點間距離公式用表示中點，得到點、橫坐標(biāo)為．由的長，即列得方程求的值．【解答】解：（1）拋物線與軸交于點設(shè)交點式，點，點在軸負(fù)半軸把點代入拋物線解析式得：拋物線解析式為（2）如圖1，過點作于點，過點作軸于點，，是等腰直角三角形設(shè)當(dāng)或時，點在點左側(cè)或在之間，橫縱坐標(biāo)均為負(fù)數(shù)，解得：，，或，當(dāng)或時，點在之間或在點右側(cè)，橫縱坐標(biāo)異號解得：，或，綜上所述，點的坐標(biāo)為，、，、或，．（3）如圖2，時，，設(shè)直線解析式為解得：直線設(shè)，軸，，當(dāng)時，的最大值為4．如圖3，、關(guān)于點對稱，是矩形四邊形，且與互相平分，為中點由得當(dāng)時，解得：的值為，或時，四邊形為矩形．【點評】本題考查了求二次函數(shù)解析式，求二次函數(shù)最大值，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的解法，二元一次方程組的解法，矩形的性質(zhì)．第（3）題沒有圖要先根據(jù)題意畫草圖幫助思考，設(shè)計較多字母運(yùn)算時抓住其中的常量和變量來分析和計算．5．如圖，已知二次函數(shù)圖象的頂點坐標(biāo)為，與坐標(biāo)軸交于、、三點，且點的坐標(biāo)為．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）在二次函數(shù)圖象位于軸上方部分有兩個動點、，且點在點的左側(cè)，過、作軸的垂線交軸于點、兩點，當(dāng)四邊形為矩形時，求該矩形周長的最大值；（3）當(dāng)矩形的周長最大時，能否在二次函數(shù)圖象上找到一點，使的面積是矩形面積的？若存在，求出該點的橫坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【分析】（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，將點的坐標(biāo)代入上式，即可求解；（2）矩形的周長，即可求解；（3），解得：，即可求解．【解答】解：（1）二次函數(shù)表達(dá)式為：，，將點的坐標(biāo)代入上式得：故函數(shù)表達(dá)式為：，解得：；（2）設(shè)點的坐標(biāo)為，則點，，則，矩形的周長，，故當(dāng)，有最大值，最大值為10，與點重合；此時，點（3）的面積是矩形面積的，則，連接，在的上下方等距離處作的平行線、，過點作軸的平行線交過點作于點，、直線于點、，即，將、坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式并解得：直線的表達(dá)式為：，，，，設(shè)點，則點，，解得：則，，解得：故點，，，直線的表達(dá)式為：，聯(lián)立并解得：，即點、的橫坐標(biāo)分別為或；故點橫坐標(biāo)為：或或．【點評】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培養(yǎng)．要會利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標(biāo)的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系．6．如圖，拋物線過點和．點是拋物線的頂點，點是軸下方拋物線上的一點，連接，．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖①，當(dāng)時，求點的坐標(biāo)；（3）如圖②，在（2）的條件下，拋物線的對稱軸交軸于點，交線段的動點（點不與點和點重合），連接折疊，點的對應(yīng)點為點，，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點，使以點，，，為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．于點，點是線段上，將沿與的重疊部分為【分析】（1）利用待定系數(shù)法解決問題即可．（2）如圖中，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于，與交于點．解直角三角形求出點的坐標(biāo)，求出直線的解析式，構(gòu)建方程組確定點坐標(biāo)即可．（3）分三種情形：如圖中，當(dāng)時，點在第一象限，此時，，重合．如圖時，點在對稱軸左側(cè)，點在對中，當(dāng)時，點在對稱軸右側(cè)．如圖中當(dāng)稱軸上，分別求解即可．【解答】解：（1）把點和代入中，得到解得，，拋物線的解析式為．（2）如圖中，設(shè)拋物線的對稱軸交軸于，與交于點．，頂點，，．，，，，，，，直線的解析式為，由，解得或，．（3）如圖中，當(dāng)時，點在第一象限，此時，，重合，由題意，可得，，，利用平移的性質(zhì)可得，．如圖中，當(dāng)，可得時，點在對稱軸右側(cè)，由題意，，利用平移的性質(zhì)可得，．如圖中當(dāng)時，點在對稱軸左側(cè)，點在對稱軸上，由題意，可得，，，利用平移的性質(zhì)，可得，．綜上所述，滿足條件的點的坐標(biāo)為，或，或，．【點評】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會構(gòu)建一次函數(shù)，利用方程組確定交點坐標(biāo)，學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．7．如圖，二次函數(shù)的圖象過點，，交軸于點．直線與拋物線相交于另一點，連接，，點是線段上的一動點，過點作交于點．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）判斷的形狀，并說明理由；（3）在點