數(shù)值分析(插值方法)總結(jié)課件

插值的應(yīng)用背景拉格朗日插值公式牛頓插值公式插值誤差余項(xiàng)Runge反例《數(shù)值分析》12插值的應(yīng)用背景《數(shù)值分析》12數(shù)值分析(插值方法)總結(jié)課件數(shù)值分析(插值方法)總結(jié)課件趣例1:圖像放大趣例1:圖像放大趣例2:工業(yè)設(shè)計(jì)http://www.tspline/先是雷諾和雪鐵龍工作的

PauldeCasteljau和PierreBézier,隨后美國(guó)通用汽車(chē)的其它人一起推動(dòng)了現(xiàn)在稱為三次樣條和Bézier

樣條的建立。樣條是通過(guò)很少的控制點(diǎn)就能夠生成復(fù)雜平滑曲線的方法。趣例2:工業(yè)設(shè)計(jì)http://www.tsplines.c趣例3:數(shù)據(jù)可視化/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_visualization?language=zh-cn趣例3:數(shù)據(jù)可視化/t趣例4:游戲與電影Ref:/art/movies/462393-special-effects-dawn-planet-apes/趣例4:游戲與電影Ref:http://www.testDemo1:figure('position',get(0,'screensize'))axes('position',[0011])[x,y]=ginput;n=length(x);s=(1:n)';t=(1:.05:n)';u=splinetx(s,x,t);v=splinetx(s,y,t);clfresetplot(x,y,'.',u,v,'-');Demo1:數(shù)據(jù)和插值函數(shù)

如果一個(gè)函數(shù)P(x)滿足yi

=P(xi)(i=0,…,n),那么函數(shù)P(x)

插值了一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)(x0,y0),···(xn,yn)，其中P(x)稱為插值函數(shù),點(diǎn)x0,···,xn稱為插值節(jié)點(diǎn)。x0x1x2x3x4xP(x)函數(shù)是描述自然界客觀規(guī)律的重要工具。數(shù)據(jù)和插值函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)P(x)滿足yi=P(xi)插值問(wèn)題研究包括如下三個(gè)方面:插值函數(shù)的選擇和構(gòu)造插值函數(shù)的存在唯一性插值誤差估計(jì)的問(wèn)題插值問(wèn)題研究包括如下三個(gè)方面:插值函數(shù)的選擇和構(gòu)造插值函數(shù)的過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:

L(x0)=y0,L(x1)=y1的線性函數(shù)

L(x)x

x0x1

f(x)y0

y1例求的近似值(函數(shù)值:10.7238)真實(shí)值:10.7238過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:x12線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)L1(x)可見(jiàn)

是過(guò)和兩點(diǎn)的直線。12線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)L1(13拋物插值函數(shù)x0x1x2因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線,故稱為拋物插值。

13拋物插值函數(shù)x0x1x2因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線,故稱選擇多項(xiàng)式函數(shù)的理由:理論方面多項(xiàng)式函數(shù)簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)性質(zhì)。有一個(gè)簡(jiǎn)單的原理可以說(shuō)明什么時(shí)候存在給定次數(shù)的插值多項(xiàng)式。更重要的是計(jì)算方面多項(xiàng)式函數(shù)是計(jì)算機(jī)最基本的函數(shù),計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)的值只需用加和乘運(yùn)算,且積分和微分均非常方便。插值函數(shù)的選擇:選擇多項(xiàng)式函數(shù)的理由:插值函數(shù)的選擇:則稱

P(x)為

插值多項(xiàng)式,稱

x0,x1,···,xn為

插值節(jié)點(diǎn)。

如果

P(x)=a0+a1x+···+anxn滿足

P(xk)=yk(k=0,1,…,n)考慮區(qū)間[a,b]上(n+1)個(gè)點(diǎn)a≤x0＜x1＜···＜xn≤b。代數(shù)插值問(wèn)題插值條件則稱P(x)為插值多項(xiàng)式,稱x0,x1,·點(diǎn),則滿足插值條件

L(xk)=yk(k=0,1,…,n)的次數(shù)小于等于n次的插值多項(xiàng)式

L(x)=a0+a1x+…+anxn存在而且唯一。證明:由插值條件L(x0)=y0L(x1)=y1············L(xn)=yn定理5.1若插值結(jié)點(diǎn)x0,x1,···,xn

是(n+1)個(gè)互異點(diǎn),則滿足插值條件L(xk)=yk(k=0,1,…回顧1:非齊次方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣可逆(矩陣可逆的充分必要條件是行列式不等于零)。系數(shù)矩陣行列式不等于零,則方程組有唯一解。因此插值多項(xiàng)式L(x)存在且唯一?；仡?:范德蒙(Vandermonde)矩陣回顧1:非齊次方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣可逆(矩注釋:插值多項(xiàng)式的存在唯一性說(shuō)明滿足插值條件的多項(xiàng)式存在而且與構(gòu)造方法無(wú)關(guān)。只要插值節(jié)點(diǎn)互異,則Vandermonde矩陣總是非奇異。然而范得蒙矩陣條件數(shù)通常很大,故直接求解方程組是危險(xiǎn)的。Hilbert和Vandermonde條件數(shù):fori=1:10c(i)=cond(hilb(i),2);%%vander(1:i)endplot(1:10,c')注釋:插值多項(xiàng)式的存在唯一性說(shuō)明滿足插值條件過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:

L(x0)=y0

和L(x1)=y1的線性函數(shù)

L(x)。x

x0x1

f(x)y0

y1過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:x記x

x0

x1l0(x)10l1(x)01對(duì)稱形式記xx0二次插值問(wèn)題x

x0x1x2f(x)y0

y1

y2已知函數(shù)表求函數(shù)

L(x)=a0+a1x+a2

x2滿足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L(x) y0 y1 y2

x x0x1 x2二次插值問(wèn)題xx0二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L(x) y0 y1 y2

x x0x1 x2二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+二次插值基函數(shù)圖形取

x0=0,x1=0.5,x2=1l0(x)=2(x–0.5)(x–1);l1(x)=–4x(x–1);l2(x)=2(x–0.5)x二次插值基函數(shù)圖形取x0=0,x1=0.5,x2拉格朗日插值公式插值條件:L(xk)=yk(k=0,1,…,n)其中第k

個(gè)插值基函數(shù)

(k=0,1,…，n)?；蚶窭嗜詹逯倒讲逯禇l件:L(xk)=yk(k=例1求插值于點(diǎn)(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1)的次數(shù)小于等于3的插值多項(xiàng)式的拉格朗日形式。例1求插值于點(diǎn)(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2),(1,-2),(3,4)的次數(shù)小于等于4的插值多項(xiàng)式拉格朗日形式。例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2程序片段1:MatlabCode:多項(xiàng)式插值(拉格朗日形式)functionv=polyinterp(x,y,u)%POLYINTERPPolynomialinterpolation.%v=POLYINTERP(x,y,u)computesv(j)=P(u(j))wherePisthe%polynomialofdegreed=length(x)-1withP(x(i))=y(i).%UseLagrangianrepresentation.%Evaluateatallelementsofusimultaneously.n=length(x);v=zeros(size(u));fork=1:nw=ones(size(u));forj=[1:k-1k+1:n]

w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;endv=v+w*y(k);end程序片段1:MatlabCode:多項(xiàng)式插值(拉格朗日Demo2x=0:3;y=[-5-6-116];u=-.25:.01:3.25;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,'o',u,v,'-')symx=sym('x'),L=polyinterp(x,y,symx);L=simplify(L);Demo2

拉格朗日形式結(jié)構(gòu)緊湊且形式對(duì)稱。然而很少用它來(lái)計(jì)算,這是因?yàn)榈葍r(jià)的牛頓形式更具操作性而且計(jì)算復(fù)雜度更低。

牛頓形式相對(duì)簡(jiǎn)單,但是某些記號(hào)首先需要掌握。把數(shù)據(jù)點(diǎn)看作由某個(gè)函數(shù)給出,

并把數(shù)據(jù)點(diǎn)列成下表:插值多項(xiàng)式的牛頓形式拉格朗日形式結(jié)構(gòu)緊湊且形式對(duì)稱。然而很少用它來(lái)計(jì)給定x0,x1和

x2,求二次函數(shù)

P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)滿足條件

P(x0)=f(x0),P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)

滿足插值條件的關(guān)于a0,

a1和a2方程插值多項(xiàng)式牛頓形式給定x0,x1和x2,求二次函數(shù)滿足插值條件的關(guān)于a0解下三角方程組過(guò)程中引入符號(hào)a0=f(x0),a1=f[x0,x1],a2=f[x0,x1,x2]P(x)=f(x0)+f[x1,x2](x–x0)+f[x0,x1,x2](x–x0)(x–x1)牛頓插值公式:解下三角方程組過(guò)程中引入符號(hào)a0=f(x0),a1定義5.3

若已知函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0,x1,···,xn

處的值

f(x0),f(x1),···,f(xn)。如果

i≠j,則(j=0,1,…,n-1

)一階差商n階差商二階差商三階差商差商(divideddifference)定義5.3若已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0,x1,···,更加一般地考慮牛頓插值形式求解該方程組可得待定系數(shù)如下:a0=f(x0),a1=f[x0,x1],a2=f[x0,x1,x2],…,an=f[x0,x1,…,xn]。更加一般地考慮牛頓插值形式求解該方程組可得待定系數(shù)如下:a0例3已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的差商。例3已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的差商。例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2),(1,-2),(3,4)的次數(shù)小于等于4的插值多項(xiàng)式拉格朗日形式。例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2例4已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。例4已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。例5已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。

加入一個(gè)新的點(diǎn)到Lagrange形式所需要額外工作與牛頓形式進(jìn)行比較是很有趣的。牛頓形式具有Lagrange形式所缺少的”實(shí)時(shí)更新”性質(zhì)。例5已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。差商的性質(zhì)差商的值不依賴于x0,x1,…xn的次序。差商的性質(zhì)差商的值不依賴于x0,x1,…xn的次序。壓縮的概念:觀測(cè)的離散數(shù)據(jù)可以想象成現(xiàn)實(shí)中無(wú)窮多信息的代表。通過(guò)給定數(shù)據(jù)求出插值函數(shù)意味著用簡(jiǎn)單的規(guī)則代替無(wú)窮多信息。盡管期待這種簡(jiǎn)單規(guī)則精確地反映實(shí)際情況是不現(xiàn)實(shí)的,但是它可以充分接近實(shí)際。這一類壓縮是有損的壓縮,即它會(huì)產(chǎn)生誤差。用簡(jiǎn)單規(guī)則代替無(wú)窮多信息時(shí)會(huì)產(chǎn)生多大的誤差,這是我們下面研究的內(nèi)容。壓縮的概念:觀測(cè)的離散數(shù)據(jù)可以想象成現(xiàn)實(shí)中無(wú)窮兩點(diǎn)線性插值插值誤差余項(xiàng):

R(x)=f(x)–L1(x)由插值條件知

R(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)即

f(x)–L(x)=C(x)(x–x0)(x–x1)C(x)=???兩點(diǎn)線性插值插值誤差余項(xiàng):由插值條件知即f(x)–L(Rolle過(guò)山車(chē):Rolle過(guò)山車(chē):回顧:拉格朗日中值定理回顧:拉格朗日中值定理Ln(x)是滿足Ln(xk)=f(xk)的n次插值多項(xiàng)式,則對(duì)任何x∈[a,b],在(a,b)內(nèi)存在一點(diǎn)使得其中定理5.2設(shè)

f

(x)在[a,b]連續(xù)且在(a,b)具有n+1階導(dǎo)數(shù),x0,x1,···,xn是[a,b]內(nèi)互不相同的節(jié)點(diǎn)。Ln(x)是滿足Ln(xk)=f(xk)的n次插值多項(xiàng)式證明:記

n+1(x)=(x–x0)···(x–xn)證明:記n+1(x)=(x–x0)···(x數(shù)值分析(插值方法)總結(jié)課件注釋:注釋:例1

給出如下數(shù)據(jù)

x0.320.340.36sin(x)0.3145670.3334870.352274用線性插值及拋物插值計(jì)算sin0.3367的值并估計(jì)誤差。例1給出如下數(shù)據(jù)x0.3例2設(shè)

y=f(x)在區(qū)間

[a,b]上連續(xù),且

f

(x)在

(a,b)內(nèi)具有2階導(dǎo)數(shù),已知f

(x)在區(qū)間端點(diǎn)處的值。如果當(dāng)x∈(a,b)時(shí)有|f''(x)|≤M。證明證明由Lagrange插值誤差公式令h(x)=|(x–a)(x–b)|例2設(shè)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且Runge反例

(rungeinterp)f(x)=1/(x^2+1),(-5<=x<=5)x=-5:5;y=1./(x.^2+1);u=-5:.01:5;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,'o',u,v,'-')一般認(rèn)為L(zhǎng)n(x)的次數(shù)n越高逼近f(x)的精度越好？Runge反例(rungeinterp)x=-5:5;一般Interploation(內(nèi)插)Extrapolation（外推）InterploationExtrapolation（外插值方法具有預(yù)測(cè)性嗎？美國(guó)Wired雜志MathematicianPredictsWhoWillLiveandDieinGameofThronesWhenExtrapolationFailsUs:IncorrectMathematicalConjectures插值方法具有預(yù)測(cè)性嗎？美國(guó)Wired雜志插值的應(yīng)用背景拉格朗日插值公式牛頓插值公式插值誤差余項(xiàng)Runge反例《數(shù)值分析》12插值的應(yīng)用背景《數(shù)值分析》12數(shù)值分析(插值方法)總結(jié)課件數(shù)值分析(插值方法)總結(jié)課件趣例1:圖像放大趣例1:圖像放大趣例2:工業(yè)設(shè)計(jì)http://www.tspline/先是雷諾和雪鐵龍工作的

PauldeCasteljau和PierreBézier,隨后美國(guó)通用汽車(chē)的其它人一起推動(dòng)了現(xiàn)在稱為三次樣條和Bézier

樣條的建立。樣條是通過(guò)很少的控制點(diǎn)就能夠生成復(fù)雜平滑曲線的方法。趣例2:工業(yè)設(shè)計(jì)http://www.tsplines.c趣例3:數(shù)據(jù)可視化/talks/david_mccandless_the_beauty_of_data_visualization?language=zh-cn趣例3:數(shù)據(jù)可視化/t趣例4:游戲與電影Ref:/art/movies/462393-special-effects-dawn-planet-apes/趣例4:游戲與電影Ref:http://www.testDemo1:figure('position',get(0,'screensize'))axes('position',[0011])[x,y]=ginput;n=length(x);s=(1:n)';t=(1:.05:n)';u=splinetx(s,x,t);v=splinetx(s,y,t);clfresetplot(x,y,'.',u,v,'-');Demo1:數(shù)據(jù)和插值函數(shù)

如果一個(gè)函數(shù)P(x)滿足yi

=P(xi)(i=0,…,n),那么函數(shù)P(x)

插值了一系列數(shù)據(jù)點(diǎn)(x0,y0),···(xn,yn)，其中P(x)稱為插值函數(shù),點(diǎn)x0,···,xn稱為插值節(jié)點(diǎn)。x0x1x2x3x4xP(x)函數(shù)是描述自然界客觀規(guī)律的重要工具。數(shù)據(jù)和插值函數(shù)如果一個(gè)函數(shù)P(x)滿足yi=P(xi)插值問(wèn)題研究包括如下三個(gè)方面:插值函數(shù)的選擇和構(gòu)造插值函數(shù)的存在唯一性插值誤差估計(jì)的問(wèn)題插值問(wèn)題研究包括如下三個(gè)方面:插值函數(shù)的選擇和構(gòu)造插值函數(shù)的過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:

L(x0)=y0,L(x1)=y1的線性函數(shù)

L(x)x

x0x1

f(x)y0

y1例求的近似值(函數(shù)值:10.7238)真實(shí)值:10.7238過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:x63線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)L1(x)可見(jiàn)

是過(guò)和兩點(diǎn)的直線。12線性插值函數(shù)x0x1(x0，y0)(x1，y1)L1(64拋物插值函數(shù)x0x1x2因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線,故稱為拋物插值。

13拋物插值函數(shù)x0x1x2因過(guò)三點(diǎn)的二次曲線為拋物線,故稱選擇多項(xiàng)式函數(shù)的理由:理論方面多項(xiàng)式函數(shù)簡(jiǎn)單明了的數(shù)學(xué)性質(zhì)。有一個(gè)簡(jiǎn)單的原理可以說(shuō)明什么時(shí)候存在給定次數(shù)的插值多項(xiàng)式。更重要的是計(jì)算方面多項(xiàng)式函數(shù)是計(jì)算機(jī)最基本的函數(shù),計(jì)算多項(xiàng)式函數(shù)的值只需用加和乘運(yùn)算,且積分和微分均非常方便。插值函數(shù)的選擇:選擇多項(xiàng)式函數(shù)的理由:插值函數(shù)的選擇:則稱

P(x)為

插值多項(xiàng)式,稱

x0,x1,···,xn為

插值節(jié)點(diǎn)。

如果

P(x)=a0+a1x+···+anxn滿足

P(xk)=yk(k=0,1,…,n)考慮區(qū)間[a,b]上(n+1)個(gè)點(diǎn)a≤x0＜x1＜···＜xn≤b。代數(shù)插值問(wèn)題插值條件則稱P(x)為插值多項(xiàng)式,稱x0,x1,·點(diǎn),則滿足插值條件

L(xk)=yk(k=0,1,…,n)的次數(shù)小于等于n次的插值多項(xiàng)式

L(x)=a0+a1x+…+anxn存在而且唯一。證明:由插值條件L(x0)=y0L(x1)=y1············L(xn)=yn定理5.1若插值結(jié)點(diǎn)x0,x1,···,xn

是(n+1)個(gè)互異點(diǎn),則滿足插值條件L(xk)=yk(k=0,1,…回顧1:非齊次方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣可逆(矩陣可逆的充分必要條件是行列式不等于零)。系數(shù)矩陣行列式不等于零,則方程組有唯一解。因此插值多項(xiàng)式L(x)存在且唯一。回顧2:范德蒙(Vandermonde)矩陣回顧1:非齊次方程組有唯一解的充分必要條件是系數(shù)矩陣可逆(矩注釋:插值多項(xiàng)式的存在唯一性說(shuō)明滿足插值條件的多項(xiàng)式存在而且與構(gòu)造方法無(wú)關(guān)。只要插值節(jié)點(diǎn)互異,則Vandermonde矩陣總是非奇異。然而范得蒙矩陣條件數(shù)通常很大,故直接求解方程組是危險(xiǎn)的。Hilbert和Vandermonde條件數(shù):fori=1:10c(i)=cond(hilb(i),2);%%vander(1:i)endplot(1:10,c')注釋:插值多項(xiàng)式的存在唯一性說(shuō)明滿足插值條件過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:

L(x0)=y0

和L(x1)=y1的線性函數(shù)

L(x)。x

x0x1

f(x)y0

y1過(guò)兩點(diǎn)直線方程已知函數(shù)表求滿足:x記x

x0

x1l0(x)10l1(x)01對(duì)稱形式記xx0二次插值問(wèn)題x

x0x1x2f(x)y0

y1

y2已知函數(shù)表求函數(shù)

L(x)=a0+a1x+a2

x2滿足:L(x0)=y0,L(x1)=y1,L(x2)=y2L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L(x) y0 y1 y2

x x0x1 x2二次插值問(wèn)題xx0二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2，l0(x)1 0 0l1(x)0 1 0l2(x) 00 1L(x) y0 y1 y2

x x0x1 x2二次插值函數(shù):L(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+二次插值基函數(shù)圖形取

x0=0,x1=0.5,x2=1l0(x)=2(x–0.5)(x–1);l1(x)=–4x(x–1);l2(x)=2(x–0.5)x二次插值基函數(shù)圖形取x0=0,x1=0.5,x2拉格朗日插值公式插值條件:L(xk)=yk(k=0,1,…,n)其中第k

個(gè)插值基函數(shù)

(k=0,1,…，n)。或拉格朗日插值公式插值條件:L(xk)=yk(k=例1求插值于點(diǎn)(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1)的次數(shù)小于等于3的插值多項(xiàng)式的拉格朗日形式。例1求插值于點(diǎn)(0,2),(1,1),(2,0),(3,-1例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2),(1,-2),(3,4)的次數(shù)小于等于4的插值多項(xiàng)式拉格朗日形式。例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2程序片段1:MatlabCode:多項(xiàng)式插值(拉格朗日形式)functionv=polyinterp(x,y,u)%POLYINTERPPolynomialinterpolation.%v=POLYINTERP(x,y,u)computesv(j)=P(u(j))wherePisthe%polynomialofdegreed=length(x)-1withP(x(i))=y(i).%UseLagrangianrepresentation.%Evaluateatallelementsofusimultaneously.n=length(x);v=zeros(size(u));fork=1:nw=ones(size(u));forj=[1:k-1k+1:n]

w=(u-x(j))./(x(k)-x(j)).*w;endv=v+w*y(k);end程序片段1:MatlabCode:多項(xiàng)式插值(拉格朗日Demo2x=0:3;y=[-5-6-116];u=-.25:.01:3.25;v=polyinterp(x,y,u);plot(x,y,'o',u,v,'-')symx=sym('x'),L=polyinterp(x,y,symx);L=simplify(L);Demo2

拉格朗日形式結(jié)構(gòu)緊湊且形式對(duì)稱。然而很少用它來(lái)計(jì)算,這是因?yàn)榈葍r(jià)的牛頓形式更具操作性而且計(jì)算復(fù)雜度更低。

牛頓形式相對(duì)簡(jiǎn)單,但是某些記號(hào)首先需要掌握。把數(shù)據(jù)點(diǎn)看作由某個(gè)函數(shù)給出,

并把數(shù)據(jù)點(diǎn)列成下表:插值多項(xiàng)式的牛頓形式拉格朗日形式結(jié)構(gòu)緊湊且形式對(duì)稱。然而很少用它來(lái)計(jì)給定x0,x1和

x2,求二次函數(shù)

P(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)(x–x1)滿足條件

P(x0)=f(x0),P(x1)=f(x1),P(x2)=f(x2)

滿足插值條件的關(guān)于a0,

a1和a2方程插值多項(xiàng)式牛頓形式給定x0,x1和x2,求二次函數(shù)滿足插值條件的關(guān)于a0解下三角方程組過(guò)程中引入符號(hào)a0=f(x0),a1=f[x0,x1],a2=f[x0,x1,x2]P(x)=f(x0)+f[x1,x2](x–x0)+f[x0,x1,x2](x–x0)(x–x1)牛頓插值公式:解下三角方程組過(guò)程中引入符號(hào)a0=f(x0),a1定義5.3

若已知函數(shù)

f(x)在點(diǎn)

x0,x1,···,xn

處的值

f(x0),f(x1),···,f(xn)。如果

i≠j,則(j=0,1,…,n-1

)一階差商n階差商二階差商三階差商差商(divideddifference)定義5.3若已知函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0,x1,···,更加一般地考慮牛頓插值形式求解該方程組可得待定系數(shù)如下:a0=f(x0),a1=f[x0,x1],a2=f[x0,x1,x2],…,an=f[x0,x1,…,xn]。更加一般地考慮牛頓插值形式求解該方程組可得待定系數(shù)如下:a0例3已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的差商。例3已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的差商。例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2),(1,-2),(3,4)的次數(shù)小于等于4的插值多項(xiàng)式拉格朗日形式。例2求插值于點(diǎn)(-2,-56),(-1,-16),(0,-2例4已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。例4已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。例5已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。

加入一個(gè)新的點(diǎn)到Lagrange形式所需要額外工作與牛頓形式進(jìn)行比較是很有趣的。牛頓形式具有Lagrange形式所缺少的”實(shí)時(shí)更新”性質(zhì)。例5已知數(shù)據(jù)如下表,試計(jì)算數(shù)據(jù)的插值多項(xiàng)式。差商的性質(zhì)差商的值不依賴于x0,x1,…xn的次序。差商的性質(zhì)差商的值不依賴于x0,x1,…xn的次序。壓縮的概念:觀測(cè)的離散數(shù)據(jù)可以想象成現(xiàn)實(shí)中無(wú)窮多信息的代表。通過(guò)給定數(shù)據(jù)求出插值函數(shù)意味著用簡(jiǎn)單的規(guī)則代替無(wú)窮多信息。盡管期待這種簡(jiǎn)單規(guī)則精確地反映實(shí)際情況是不現(xiàn)實(shí)的,但是