現代控制理論控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程求解名師優(yōu)質課賽課一等獎市公開課獲獎課件

當代控制理論基礎第1頁1第二章控制系統(tǒng)狀態(tài)方程求解2.1線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程解2.2線性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣幾個求法2.3線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表示式及連續(xù)系統(tǒng)

離散化2.4線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程求解第2頁2§

2.1.線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程解可見，輸出方程求解要依賴狀態(tài)方程解。關鍵是求解狀態(tài)方程。本節(jié)重點來討論這個問題。先討論自由運動規(guī)律，即求自由解。前面我們詳細討論了狀態(tài)空間表示式建立及相互轉換。在建立了新數學模型之后，接著就是求解問題。因為狀態(tài)空間表示式由兩部分組成,即第3頁3一、齊次狀態(tài)方程解 所謂齊次狀態(tài)方程，與齊次微分方程類似，即輸入u(t)=0情況。故齊次方程為：設初始時刻t0=0，初始狀態(tài)為x01.采取拉氏變換法求解：對齊次方程兩邊取拉氏變換.反變換即得齊次狀態(tài)方程解：第4頁4下面就來討論：---解改變是按指數形式改變。對于狀態(tài)方程解，是否也含有指數形式呢？2.級數展開法：分析標量微分方程可知第5頁5第6頁6逐項變換即x(t)=e-Atx0當初始時刻為t0≠0,初始狀態(tài)為x(t0)時所以齊次狀態(tài)方程解可寫為第7頁73.求齊次狀態(tài)解關鍵是求轉移矩陣eAt，前面已給出了兩種方法：2.系統(tǒng)狀態(tài)改變實質上是從初始狀態(tài)開始狀態(tài)轉移，而轉移規(guī)律取決于eAt

，eA(t-t0)故稱其為狀態(tài)轉移矩陣.普通用1.齊次狀態(tài)方程解表示了系統(tǒng)在初始條件作用下自由運動，又稱為零輸入解；小結：來表示。第8頁8a)拉氏變換法：例：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試求在初始狀態(tài)時狀態(tài)解。因為按冪級數計算不易寫出閉式結果，故通慣用拉氏變換法。b)冪級數法：第9頁9解：1.求eAt第10頁10所以

2.求x(t):第11頁11二.狀態(tài)轉移矩陣：解Φ(t),定義為系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣。1.定義：線性定常系統(tǒng)，初始時刻t0

=0,滿足以下矩陣微分方程和初始條件在狀態(tài)空間分析中狀態(tài)轉移矩陣是一個十分主要概念。第12頁12討論：（1）滿足上述定義解為Φ(t)=eAt(t0=0)證實：第13頁13所以當Φ(t)=eAt時，又因為Φ(t)=eAt(t=0時)eA0=I+A0+...=I

所以Φ(0)=I故eAt是狀態(tài)轉移矩陣Φ(t)（2）狀態(tài)轉移矩陣Φ(t)是A陣同階方陣，其元素均為時間函數.第14頁14因為狀態(tài)轉移矩陣含有矩陣指數函數形式，故可推出以下性質2.性質：（1）Φ(t-t0)是非奇異陣.且第15頁15（2）其中第16頁16（3）（4）第17頁17由此關系可用于從eAt反求A.例：已知（5）第18頁18（6）若則第19頁19第20頁20塊對角陣、約旦塊矩陣見P872)、3)第21頁21當系統(tǒng)輸入u≠0時，其S-E為.直接用分離變量法積分求解方程與采取拉式變換法求解方程,其結果是一致.第一個方法：直接求解法三.非齊次狀態(tài)方程解：第22頁22左乘e-

At：移項：即在區(qū)間[t0,t]上積分第23頁23結論：非齊次狀態(tài)方程解由兩部分組成： a).由初始狀態(tài)產生自由分量—零輸入解 b).由輸入引發(fā)強迫分量—零狀態(tài)解即或：第24頁24例：已知系統(tǒng)由前例得：解：1.求eAt：試求：x(0)=0,u(t)=1(t)時狀態(tài)解。第25頁252.求x(t)第26頁26將該非齊次狀態(tài)方程兩邊取拉氏變換,可得sX(s)-x0=AX(s)+BU(s) 即 X(s)=(sI-A)-1[x0+BU(s)] 其中X(s)和U(s)分別為x(t)和u(t)拉氏變換。對上式兩邊取拉氏反變換,并利用卷積分公式,則有上述求解關鍵為等式右邊第二項。第二種方法：拉氏變換法第27頁27下面先回顧卷積積分拉氏變換法則。設W1(s)和W2(s)分別為原函數f1(t)和f2(t)拉氏變換,則f1(t)和f2(t)卷積拉氏變換為結果與直接求解法完全相同。對上述狀態(tài)方程求解式利用卷積分公式,則有第28頁28所謂脈沖響應，即初始條件為零時，輸入u為單位脈沖函數δ(t)，系統(tǒng)輸出稱為脈沖響應。四.系統(tǒng)脈沖響應及脈沖對應矩陣：依據這個定義，可求線性定常系統(tǒng)脈沖響應。不過多變量系統(tǒng)輸入有r個，輸出有m個。則脈沖響應顯然與傳遞函數陣維數不一樣,即系統(tǒng)地輸出為Y(s)=G(s)U(s)是m×1維列向量.而G(s)是m×r維矩陣.在單變量系統(tǒng)定義脈沖響應函數為h(t)=L-1[G(s)]第29頁29即h(t)=L-1[G(s)]m×r,而y(t)=L-1[G(s)U(s)]m×1

為了將這一含義推廣到多變量系統(tǒng)，我們按以下方式定義脈沖響應函數陣。以后將會知道，在多變量系統(tǒng)中,脈沖響應函數陣雖不等于真正脈沖響應輸出y(t),但卻等于傳遞矩陣拉式反變換。定義：m×r階矩陣h(t)=CeAtB稱為系統(tǒng)脈沖響應矩陣。第30頁30狀態(tài)解為：初始時刻t0=0初始狀態(tài)x(0)=0 設系統(tǒng)狀態(tài)空間表示式為則輸出解為：第31頁31討論單變量系統(tǒng)情況:當輸入--卷積第32頁32以上關系表明h(t)包含了G(s)全部信息，也反應系統(tǒng)基本傳遞特征。反之性質：1.h(t)是傳遞矩陣拉式變換第33頁332.h(t)在線性變換下不變性：即證實:令線性變換后.其中: 第34頁34則狀態(tài)轉移矩陣滿足以下性質：普通有：第35頁351.齊次狀態(tài)方程解：小結：本節(jié)主要討論了狀態(tài)求解問題：2.非齊次狀態(tài)方程解：第36頁364.脈沖響應矩陣：定義：滿足矩陣微分方程解Φ（t）3.狀態(tài)轉移矩陣：第37頁37§2.2線性定常連續(xù)系統(tǒng)Φ(t)算法1.對低階系統(tǒng)（三階以下）計算較方便，寫出結果是解析式，在實際中最慣用。特點：一.拉氏變換法： 前面已在求狀態(tài)解時推出在線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程求解中，關鍵是求Φ(t),本節(jié)介紹幾個算法:2.對于高階系統(tǒng)，會碰到求逆困難,如第38頁38求逆陣可采取一些數值計算方法，用計算機計算。求逆變換關鍵是高階分解因式，部分分式展開很麻煩。二.冪級數法：此法是一個直接計算法，前面已介紹過。第39頁39特點：是一個無窮開式，極難寫成閉式，普通采取近似計算，精度將取決于所取項數多少，適合于計算機計算。例：已知系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試求其狀態(tài)轉移矩陣.解：將A陣代入冪級數展開式第40頁40第41頁41三.對角形法與約當標準形法：1.矩陣A特征值λ1λ2…λn互不相同，其狀態(tài)轉移矩陣可由下式求得其中：P是使A化成對角形線性變換。第42頁42則證實：λ1λ2…λn互異，必有非奇異矩陣P，將A化成對角形，即：第43頁43小結：利用對角線法eAt方法: 1.求λ1λ2…λn（條件：λ1λ2…λn互異）; 2.求特征矢量：P1P2…Pn;

3.寫出變換陣P=[P1P2…Pn

],求出P-1 4.求eAt：特點：求P陣比較麻煩，慣用于理論推導。第44頁44例：已知用對角形求Φ（t）解：1.求特征值：第45頁452.求特征矢量：即解出：第46頁46第47頁47第48頁483.求P，P-1：4.求

eAt：第49頁49第50頁502.矩陣A有相重特征值:定理：若矩陣A有相重特征值，其狀態(tài)轉移矩陣可由下式求得第51頁51

eAt=QeJtQ-1

其中：Q是使A化為約當標準形J線性變換陣。證實:若A陣含有重特征值，且每個互異特征值對應一個獨立特征矢量，則必存在一個非奇異陣Q，使A陣化為約當標準形J。 即其中

則J=QAQ-1第52頁52其中：若Ji為J約當塊，則eJit為Φ（t）中對應約當塊。第53頁53證實:以Ji有三重特征值為例證實。此時第54頁54第55頁55步驟：求eAt方法同對角形求法相一致 1.求λi； 2.求Qi； 3.求eAt=QeJtQ-1第56頁56四.化eAt

為A有限項法：因為eAt

可展開無窮級數，但計算時只取有限項，計算結果是不準確，若能把無窮項級數化成有限項，則計算會簡便準確。1.

化有限項相關理論：凱—哈定理及最小多項式概念在當代理論中經慣用到.下面簡明介紹一下相關內容：1）矩陣A零化多項式： 定理：設有變量s多項式，矩陣A是n×n階方陣，若滿足：第57頁57則稱為矩陣Ａ零化多項式。2）凱—哈密頓定理 定理：矩陣Ａ特征多項式是Ａ零化多項式。即：證實：第58頁58 又因為 中各元為(n-1)次多項式，故可普通表示為： 代入上式有： 用A代替s將上式展開得 第59頁593）矩陣A最小多項式：定義：A零化多項式中，次數最低零化多項式稱為A最小多項式。用表示。 求法：定理：設A伴隨矩陣全部元素最大公因子為d(s)則. 第60頁60注：1.該定理證實要用到矩陣多項式概念. 2.計算要先求。將各元變?yōu)橐蜃酉喑硕囗検?。從中找出各元最大公因子，且取?多項式形式. 例：已知：試求A最小多項式并驗證凱—哈定理。第61頁61解： 1.第62頁62所以最大因子：故A最小多項式為：

深入可驗證上式是以A為根零化多項式第63頁632.驗證凱—哈定理： 第64頁64則An可表示成低于n階冪矩陣線性組合。2.eAt能化成有限項依據：由凱—哈定理知：矩陣A特征多項式是A零化多項式，即第65頁65由此可推得：上式表明：對于k≥n，Ak均可用An-1，…，A,I這n個獨立項線性組合來表示。所以可將eAt無窮項化成有限項。第66頁66故可令：設n個根為λ1λ2…..λn，按上式對每個根都有以下結果即特征方程第一個情況：A特征值互異2.待定系數求法式中，—n個待定系數，是t標量函數。第67頁67于是對于其中系數與前面eAt系數相同。當k≥n時，λik各項均可用線性組合表示，得出以下方程組：第68頁68解此方程組，得系數例：已知試用化為A有限項法求第69頁69解：1.求特征值2.求系數第70頁70第71頁713.求

第72頁72第73頁73第二種情況：A有相重特征值設A有n重特征值λ1，則按以上方法必有下式但因為是n重根，不能按一樣形式寫出n個方程，對上式依次對λ1求導，直至（n-1）次，可得到（n-1）個導數方程。然后聯立這n個方程解出n個待定系數。即

第74頁74解方程組即可求得系數。第75頁75第三種情況：系統(tǒng)有單根，也有重特征根設系統(tǒng)矩陣A特征值中，λ1為m重特征值，λm+1，…，λn為互異單特征值，依據情況二列寫m個方程，依據情況一列寫（n?m）個方程，解上述n個方程，即可得出系數計算公式。例：已知系統(tǒng)矩陣試用化eAt為A有限項法求eAt。第76頁762.求系數αi(t)：解：1.求特征值：第77頁77

即第78頁783.求eAt

：第79頁79可見，以上幾例求出eAt

中各元都是線性組合。第80頁80§2-3 線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表示式及連續(xù)系統(tǒng)離散化一.離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表示式1.普通形式。由離散狀態(tài)方程和離散輸出方程組成。式中：T是采樣周期。方程中矢量，各系數矩陣名稱和維數都與連續(xù)系統(tǒng)相同，為簡單起見常省去T將方程寫成以下形式

第81頁81即：2.結構圖。上述方程可用結構圖來表示第82頁823.差分方程和脈沖傳遞函數與離散狀態(tài)空間表示式之間轉換在單變量離散系統(tǒng)中，數學模型分為差分方程和脈沖傳遞函數兩類，它們與離散狀態(tài)空間表示式之間變換，和連續(xù)系統(tǒng)分析相類似。連續(xù)D.E離散差分方程脈沖傳函狀態(tài)空間表T.FS.E 達式第83頁83解：1,G(z)差分方程狀態(tài)空間表示式例：已知脈沖傳遞函數為試求其狀態(tài)空間表示式差分方程為第84頁84所以第85頁852.G（z）部分分式法狀態(tài)空間表示式則第86頁863.狀態(tài)空間表示式G(z)第87頁87對連續(xù)系統(tǒng)，若慣用數字計算機進行實時控制或求解，首先必須把連續(xù)系統(tǒng)轉化成離散系統(tǒng)，這個過程稱之為連續(xù)系統(tǒng)離散化。二.定常連續(xù)系統(tǒng)離散化離散方程設定常連續(xù)系統(tǒng)第88頁88連續(xù)系統(tǒng)其狀態(tài)解為：即取t0=kT,t=(k+1)T1、直接離散化(準確離散化方法)：離散化實質就是用一個矩陣差分方程去代替一個矩陣微分方程。第89頁89在其輸入向量u(t)=u(kT)，初始時刻t0

=kT，則狀態(tài)方程解為

對第二項積分作變量代換：令t=(k+1)T-τ；dt=-dτ上限：τ=(k+1)T，t=(k+1)T-τ=0下限：τ=kT,t=(k+1)T-τ=T第90頁90與離散系統(tǒng)狀態(tài)空間模型比較可得：第91頁91

例：求離散化方程解：先求eAt：由拉氏變換法得第92頁92第93頁93第94頁94U(s)G0(s)Y(s)2、由脈沖傳函實現離散化步驟：1首先求連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數2按照離散系統(tǒng)結構圖求脈沖傳函3按脈沖傳函與標準型狀態(tài)空間表示式關系寫出離散化狀態(tài)空間表示式第95頁95U(s)解：因為離散化后系統(tǒng)結構圖為：上圖傳遞函數為：例1-26已知連續(xù)系統(tǒng)傳遞函數為，試求其離散化狀態(tài)空間表示式第96頁96對上式取z變換：最終由G（z）寫出其能控標準型狀態(tài)空間表示式第97頁97§2-4離散系統(tǒng)狀態(tài)方程解k=0時,x(1)=Gx(0)+Hu(0)k=1時,x(2)=Gx(1)+Hu(1)=G2X(0)+GHu(0)+Hu(1) ……一.定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程解：（兩種方法）1迭代法：狀態(tài)方程本身就是一個基本迭代方程依次將采樣時刻k=0，1，2，3……代入上式即可。已知：初始時刻KT=0，初始狀態(tài)為x(0)第98頁98幾點討論：2).第k個采樣時刻狀態(tài)，只與采樣時刻0,1,2…k-1時輸入值相關系，而與第k個次采樣時刻輸入值無關，這是慣性系統(tǒng)一個基本特征；由初始狀態(tài)引發(fā)響應——反應系統(tǒng)自由運動——零輸入響應由輸入引發(fā)響應——反應系統(tǒng)強迫運動——零狀態(tài)響應。1).定常離散系統(tǒng)狀態(tài)解由兩部分組成：第99頁99φ(k)也滿足狀態(tài)轉移矩陣兩個定義條件：矩陣差分方程：φ(k+1)=Gφ(k)初始條件：φ(0)=

G0=I證實：

3).與連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)解比較上式中Gk稱為定常離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣，記為φ(k)=Gk第100頁100

4).φ(k)基本性質第101頁101序列：或5).引入φ(k)后，狀態(tài)解又可表示為：序列：第102頁1022.z變換法：對方程兩邊取z變換與第一個方法比較可知：求反變換：第103頁103所以第104頁1042.迭代法求出解是一個數值解。只能求出某一時刻數值。但迭代公式本身就是狀態(tài)方程，簡單方便，而且不用求出狀態(tài)轉移矩陣Gk；假如已求出φ(k)=Gk，則可用解迭代公式求出自由分量和強迫分量.1.z變換求出解是一個完整解，其中解結構可分為自由解和強迫解兩部分，可分別求出，對分析運動過程有本質幫助。解形式是一個閉式，即解析式。注：第105頁105例：求線性定常離散系統(tǒng)解解：(1)用迭代法求解已知第106頁106直至第107頁107(2)用標準型求Gk,再代入解迭代公式也可先求出第108頁108又知u(k)=1于是（3）用z變換法求解:先計算(zI

–G

)-1第109頁109第110頁110令k=0，1，2，3，…代入上式，可得以上兩種方法計算結果完全一致，只是迭代法是一個數值解，而z變換法則得到了一個解析表示式。第111頁111二、離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣Φ(k)求取與連續(xù)系統(tǒng)轉移矩陣Φ(t)極為類似。2．z變換法依據z變換法求取離散系統(tǒng)狀態(tài)方程解中對應關系，狀態(tài)轉移矩陣Φ(k)為來計算。該方法簡單，易于計算機來解，但不易得到Φ(k)封閉式。1．直接法依據離散系統(tǒng)遞推迭代法中定義第112頁112那么，離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣Φ(k)為式中，為對角線標準形，若特征方程│λI?G│=0特征根為λ1，λ2，…，λn，則有3．化系統(tǒng)矩陣G為標準形法（1）當離散系統(tǒng)矩陣G特征值均為單根時當離散系統(tǒng)矩陣G特征根均為單根時，經過線性變換可將系統(tǒng)矩陣G化為對角線標準形，即第113頁113式中，P為化系統(tǒng)矩陣G為對角線標準形變換矩陣。第114頁114例:齊次離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求其狀態(tài)轉移矩陣Φ(k)。解：其特征值λ1=?0.2λ2=?0.8化系統(tǒng)矩陣G為對角線標準形變換矩陣P為第115頁115則第116頁116(2)當離散系統(tǒng)矩陣G特征值有重根時式中J—約當標準形；

Q—化系統(tǒng)矩陣G為約當標準形變換矩陣。4．化為G有限項法應用凱萊-哈密爾頓定理，系統(tǒng)矩陣G滿足其本身零化多項式。離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣可化為G有限項，即第117頁117式中αi(k)(i=0，1，…n?1)為待定系數，可仿照連續(xù)系統(tǒng)方法來求取。例:線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為試求系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣Φ(k)。解：離散系統(tǒng)特征方程為第118頁118其特征值λ1=?1λ2=?2待定系數可按下式求取解之得則離散系統(tǒng)狀態(tài)轉移矩陣為第119頁119第120頁120第二章總結一、線性定常連續(xù)系統(tǒng)