高考復(fù)習(xí)專題-數(shù)列與數(shù)學(xué)文化（學(xué)生版）

高考復(fù)習(xí)專題——數(shù)列與數(shù)學(xué)文化新課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）進(jìn)一步明確了數(shù)學(xué)文化在教學(xué)中的地位，數(shù)學(xué)文化作為素養(yǎng)考查的四大內(nèi)涵之一，以數(shù)學(xué)文化為背景的試題將是新高考的考察內(nèi)容，數(shù)列與數(shù)學(xué)文化有著緊密的聯(lián)系，本文總結(jié)了近年來數(shù)學(xué)文化在數(shù)列中出現(xiàn)的真題和模擬題。一、中華傳統(tǒng)文化中的數(shù)列問題1、(2022·鶴壁市高三模擬)古希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的“三角形數(shù)”是一列點(diǎn)(或圓球)在等距的排列下可以形成正三角形的數(shù)，如1，3，6，10，15，….我國宋元時期數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中所記載的“垛積術(shù)”，其中的“落—形”堆垛就是每層為“三角形數(shù)”的堆垛(如圖所示，頂上一層1個球，下一層3個球，再下一層6個球，…).若一“落—形”三角堆垛有10層，則該堆垛總共球的個數(shù)為()A．55 B．220C．285 D．3852、(2020·全國Ⅱ卷)北京天壇的圜丘壇為古代祭天的場所，分上、中、下三層．上層中心有一塊圓形石板(稱為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊．下一層的第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊．已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層比中層多729塊，則三層共有扇面形石板(不含天心石)()A．3699塊 B．3474塊C．3402塊 D．3339塊二、源于世界數(shù)學(xué)名題的高考試題1、(湖北高考)已知數(shù)列{an}滿足：a1＝m(m為正整數(shù))，an＋1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(an,2)，當(dāng)an為偶數(shù)，,3an＋1，當(dāng)an為奇數(shù)，))若a6＝1，則m所有可能的取值為________．跟蹤練習(xí)1、我國古代數(shù)學(xué)典籍《九章算術(shù)》“盈不足”中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第幾天相逢？()A．2 B．3C．4 D．62、(2017·全國Ⅱ卷)我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈()A．1盞 B．3盞C．5盞 D．9盞3、(多選)(2022·福州質(zhì)檢)分形幾何學(xué)是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)．如圖，有一列曲線P0，P1，P2，…，Pn，…．已知P0是邊長為1的等邊三角形，Pk＋1是對Pk進(jìn)行如下操作而得到的：將Pk的每條邊三等分，以每邊中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉(k＝0,1,2，…)．記Pn的周長為Ln，面積為Sn．對于n∈N，下列結(jié)論不正確的是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,Ln)))為等差數(shù)列 B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,Ln)))為等比數(shù)列C．?M>0，使Ln<M D．?M>0，使Sn<M4、五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)所報出的數(shù)之和；②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手一次．已知甲同學(xué)第一個報數(shù)，當(dāng)五位同學(xué)依次循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________．5、Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a1＝1，S7＝28．記bn＝[lgan]，其中[x]表示不超過x的最大整數(shù)，如[0．9]＝0，[lg99]＝1．(1)求b1，b11，b101；(2)求數(shù)列{bn}的前1000項和．6、設(shè)x∈R，記不超過x的最大整數(shù)為[x]，{x}＝x－[x]，則eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)＋1,2)))，eq\f(\r(5)＋1,2)()A．是等差數(shù)列但不是等比數(shù)列B．是等比數(shù)列但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列7、滿足a1＝a2＝1，an＝an－1＋an－2(n≥3)的數(shù)列{an}稱為斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列．依次以斐波那契數(shù)列{an}各項為邊長作正方形，在每個正方形中取半徑為該正方形邊長、圓心角為90°的圓弧，依次連接圓弧端點(diǎn)所成的曲線被稱為斐波那契螺旋線(也稱“黃金螺旋線”)．如圖，圓心角為90°的扇形OAB中的曲線是斐波那契螺旋線的一段，則陰影部分面積與扇形OAB面積的比值為()A．eq\f(3,8) B．eq\f(1,2)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)8、(多選)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》中出現(xiàn)了球體堆壘的形狀，后人稱為“三角垛”(其平面圖形如圖所示)，其中最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，…．設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成數(shù)列{an}，則下列說法正確的是()A．a(chǎn)4＝12 B．a(chǎn)n＋1＝an＋n＋1C．a(chǎn)100＝5050 D．2an＋1＝an·an＋29、一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實(shí)心塔群．該塔群隨山勢鑿石分階而建，依山勢自上而下，第一階1座，第二階3座，第三階3座，第四階5座，第五階5座，從第五階開始塔的數(shù)目構(gòu)成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，總計108座，故名一百零八塔．則該塔的階數(shù)是()A．10 B．11C．12 D．1310、我國古代名著《九章算術(shù)》中有這樣一段話：“今有金箠，長五尺，斬本一尺，重四斤，斬末一尺，重二斤．”意思是：現(xiàn)有一根金箠，長5尺，頭部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若該金箠從頭到尾，每一尺的質(zhì)量構(gòu)成等差數(shù)列，則該金箠共重為()A．6斤 B．7斤C．9斤 D．15斤11、(2022·安徽淮北模擬)定義：若數(shù)列{an}對任意的正整數(shù)n，都有|a