專題06 切比雪夫函數(shù)（解析版）

專題06切比雪夫函數(shù)考情分析縱觀近幾年的高考真題，出現(xiàn)了一類題目?？此剖且坏烙嘘P(guān)二次函數(shù)的題目；二次函數(shù)的定義域和值域相同。大多數(shù)學(xué)生或老師，第一眼看過去，以為是定軸動區(qū)間或定區(qū)間動軸的問題，然后就進入討論的誤區(qū)。深入討論，就會發(fā)現(xiàn)，計算復(fù)雜，討論紛擾。最后就是不了了之。然后，再次審視題目，就會發(fā)現(xiàn)我們陷入誤區(qū)。切比雪夫函數(shù)或切比雪夫不等式，在此時的應(yīng)用，就可以讓我們秒解這類題目。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，就是要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)，秒殺數(shù)學(xué)。二．經(jīng)驗分享1.切比雪夫不等式①馬爾科夫不等式：；②切比雪夫不等式是馬爾科夫不等式的特殊情況：.切比雪夫函數(shù)與切比雪夫不等式的意義馬爾科夫不等式和切比雪夫不等式，是高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)的內(nèi)容，是概率與統(tǒng)計學(xué)中的一個定理。主要意思：事情的大多會集中在平均值附近或者事情的發(fā)生大多在平均值上的概率最大。也就說，馬爾科夫不等式或者切比雪夫不等式只是對概率的一個估計，既然是估計，就有可能正確，也有可能不正確。但是按照這兩個不等式來看，在概率學(xué)的角度上。發(fā)生的概率是最大。但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)初等函數(shù)，用這個兩個不等式解題，就會有出奇制勝，秒殺的快感。三、題型分析（一）切比雪夫函數(shù)的巧解例1.已知函數(shù)，若時，，則的最大值是．【傳統(tǒng)解法】【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：，若時，對稱軸為壓軸，所以，，當(dāng)，,故此次的最大值【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)，若時，恒成立，則=【切比雪夫不等式解法】【解析】根據(jù)切比雪夫不等式：若時，恒成立，也就是對稱軸應(yīng)該是；，解之得：，,故此；故此,所以..（二）其他類型函數(shù)的例2．【2019年高考浙江】已知，函數(shù)，若存在，使得，則實數(shù)的最大值是___________.【答案】【解析】存在，使得，即有，化為，可得，即，由，可得.則實數(shù)的最大值是.【名師點睛】本題考查函數(shù)的解析式及二次函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的解析式可得，去絕對值化簡，結(jié)合二次函數(shù)的最值及不等式的性質(zhì)可求解.【變式訓(xùn)練1】【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試（B卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，，設(shè)為實數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，故；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，【變式訓(xùn)2】【高2017級資陽市高三第二次診斷性考試?yán)砜茢?shù)學(xué)，12題】已知直線與曲線相切，則ab的最大值為（）A.B.C.eD.2e 【答案】C【解析】由題意得：設(shè)切點為，因為切點既在直線上，也在曲線上，所以得到：①；同時求導(dǎo)：和，切點在，故此②；聯(lián)立①②得：再帶入②整理得：，化簡：，其中；構(gòu)造函數(shù)，故當(dāng)，，是單調(diào)遞增；當(dāng)，，是單調(diào)遞減。所以的最大值；從而得到ab的最大值為.四.遷移應(yīng)用1．【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)】設(shè)函數(shù)，A．9 B．11C．13 D．15【答案】B【解析】∵函數(shù)，∴=2+9=11．故選B．【名師點睛】本題考查分段函數(shù)、函數(shù)值的求法，考查對數(shù)函數(shù)的運算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題．2．【黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2019屆高三第二次模擬數(shù)學(xué)】函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)，則或，故函數(shù)的定義域為或，由是單調(diào)遞增函數(shù)，可知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間即的單調(diào)減區(qū)間，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，結(jié)合的定義域，可得函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.故選A.【名師點睛】本題考查了復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，要注意的是必須在定義域的前提下，去找單調(diào)區(qū)間.3．【山東省煙臺市2019屆高三3月診斷性測試（一模）數(shù)學(xué)】若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，當(dāng)時，，則實數(shù)A． B．0C．1 D．2【答案】C【解析】∵是定義在上的奇函數(shù)，，且時，，∴，∴．故選C．【名師點睛】本題主要考查函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，以及已知函數(shù)值求參數(shù)的方法，熟記函數(shù)奇偶性的定義即可，屬于?？碱}型.4．【河南省鄭州市2019屆高三第三次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)】我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾說：數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休，在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，也常用函數(shù)的解析式來琢磨函數(shù)的圖象的特征，如函數(shù)的圖象大致是A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)，，所以函數(shù)不是偶函數(shù)，圖象不關(guān)于y軸對稱，故排除A、B選項；又因為所以，而選項C在時是遞增的，故排除C.故選D.【名師點睛】本題考查了函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用函數(shù)的奇偶性和取特值判斷函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.5．【四川省百校2019屆高三模擬沖刺卷】若函數(shù)的大致圖象如圖所示，則的解析式可以是A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)x→0時，f（x）→±∞，而A中的f（x）→0，排除A；當(dāng)x＜0時，f（x）＜0，而選項B中x＜0時，>0，選項D中，>0，排除B，D，故選C．【名師點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)值的符號，考查數(shù)形結(jié)合思想，利用函數(shù)值的取值范圍可快速解決這類問題．6．【北京市朝陽區(qū)2019屆高三第二次（5月)綜合練習(xí)（二模）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】函數(shù)的圖象如圖：若函數(shù)存在零點，則實數(shù)a的取值范圍是（0，+∞）．故選D．【名師點睛】本題考查分段函數(shù)，函數(shù)的零點，考查數(shù)形結(jié)合思想以及計算能力．7．【山東省煙臺市2019屆高三5月適應(yīng)性練習(xí)（二）數(shù)學(xué)】已知函數(shù)的定義域為,為偶函數(shù)，且對，滿足.若，則不等式的解集為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為對，滿足，所以當(dāng)時，是單調(diào)遞減函數(shù)，又因為為偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)當(dāng)時，是單調(diào)遞增函數(shù)，又因為，所以有，當(dāng)，即當(dāng)時，；當(dāng)，即當(dāng)時，，綜上所述：不等式的解集為.故選A．【名師點睛】本題考查了抽象函數(shù)的單調(diào)性、對稱性、分類討論思想.對于來說，設(shè)定義域為，，，若，則是上的增函數(shù)；若，則是上的減函數(shù).8．【重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)校2019屆高三第十次月考數(shù)學(xué)】已知是偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，，則的解集是A． B．C． D．【答案】D【解析】因為是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，因此，由得，又在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)即時，由得，所以，解得；當(dāng)即時，由得，所以，解得，因此，的解集是.故選D.【名師點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，不等式的求解，先根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，從而分類討論求解不等式.9．【山東省德州市2019屆高三第二次練習(xí)數(shù)學(xué)】已知定義在R上的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且的圖象關(guān)于對稱，若實數(shù)a滿足，則a的取值范圍是A． B．C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即函數(shù)為偶函數(shù)，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得，則，即，解得，即a的取值范圍為.故選C．【名師點睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的應(yīng)用，考查對數(shù)不等式的解法.10．【廣東省汕頭市2019屆高三第二次模擬考試（B卷)數(shù)學(xué)】已知函數(shù)，，設(shè)為實數(shù)，若存在實數(shù)，使得成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】A【解析】因為，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，故；當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，綜上可得，.又因為存在實數(shù)，使得成立，所以只需，即，解得.故選A.【名師點睛】本題主要考查分段函數(shù)的值域，將存在實數(shù)，使得成立，轉(zhuǎn)化為是解題的關(guān)鍵，屬于?？碱}型.11．【云南省玉溪市第一中學(xué)2019屆高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)】若，則的定義域為____________.【答案】【解析】要使函數(shù)有意義，需，解得.則的定義域為.【名師點睛】本題考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題.12．【湖南省長沙市第一中學(xué)2019屆高三下學(xué)期高考模擬卷（一）數(shù)學(xué)】若函數(shù)稱為“準(zhǔn)奇函數(shù)”，則必存在常數(shù)a，b，使得對定義域的任意x值，均有，已知為準(zhǔn)奇函數(shù)”，則a＋b＝_________.【答案】2【解析】由知“準(zhǔn)奇函數(shù)”關(guān)于點對稱.因為=關(guān)于對稱，所以，，則.故答案為2.【名師點睛】本題考查新定義的理解和應(yīng)用，考查了函數(shù)圖象的對稱性，屬于基礎(chǔ)題．13．【廣東省深圳市深圳外國語學(xué)校2019屆高三第二學(xué)期第一次熱身考試數(shù)學(xué)】函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)__________．【答案】【解析】函數(shù)為奇函數(shù)，，即，則，即，，則，，則.當(dāng)時，，則的定義域為：且，此時定義域不關(guān)于原點對稱，為非奇非偶函數(shù)，不滿足題意；當(dāng)時，，滿足題意，.【名師點睛】本題主要考查利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)解析式，根據(jù)條件建立方程關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，易錯點是忽略定義域關(guān)于原點對稱的前提，造成求解錯誤．14．【河南省濮陽市2019屆高三5月模擬考試數(shù)學(xué)】已知直線與曲線有三個不同的交點，，，且，則__________.【答案】3