高考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)《導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用》練習(xí)含答案解析

熱點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用熱點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【命題趨勢(shì)】從新高考的考查情況來(lái)看，導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用一直是高考的重點(diǎn)和難點(diǎn)．一般以基本初等函數(shù)為載體，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)與解不等式關(guān)系最為密切，還可能與三角函數(shù)、數(shù)列等知識(shí)綜合考查。一般出現(xiàn)在選擇題和填空題的后兩題以及解答題中，難度較大，復(fù)習(xí)備考的過(guò)程中應(yīng)引起重視。通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題，考查考生的分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想以及數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理核心素養(yǎng).1、研究含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，要依據(jù)參數(shù)對(duì)不等式解集的影響進(jìn)行分類討論．(1)討論分以下四個(gè)方面①二次項(xiàng)系數(shù)討論；②根的有無(wú)討論；③根的大小討論；④根在不在定義域內(nèi)討論．(2)討論時(shí)要根據(jù)上面四種情況，找準(zhǔn)參數(shù)討論的分類．(3)討論完畢須寫(xiě)綜述．2、研究函數(shù)零點(diǎn)或方程根的方法(1)通過(guò)最值(極值)判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法:借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值后，通過(guò)極值的正負(fù)，函數(shù)單調(diào)性判斷函數(shù)圖象走勢(shì)，從而判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)或者通過(guò)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍．(2)數(shù)形結(jié)合法求解零點(diǎn):對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，畫(huà)出草圖數(shù)形結(jié)合確定其中參數(shù)的范圍．(3)構(gòu)造函數(shù)法研究函數(shù)零點(diǎn):①根據(jù)條件構(gòu)造某個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)尋找函數(shù)在給定區(qū)間的極值以及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值與0的關(guān)系，從而求解．②解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是將函數(shù)零點(diǎn)、方程的根、曲線交點(diǎn)相互轉(zhuǎn)化，突出導(dǎo)數(shù)的工具作用，體現(xiàn)轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法．3、求與函數(shù)零點(diǎn)有關(guān)的參數(shù)范圍的方法：方程有實(shí)根函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn)函數(shù)有零點(diǎn)．（1）參數(shù)分離法，構(gòu)造新的函數(shù)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)求新函數(shù)單調(diào)性與最值.（2）分類討論法.4、不等式的恒成立問(wèn)題和有解問(wèn)題、無(wú)解問(wèn)題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價(jià)變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)處理．恒成立問(wèn)題的重要思路：(1)m≥f(x)恒成立?m≥f(x)max．(2)m≤f(x)恒成立?m≤f(x)min．存在性（有解）問(wèn)題的重要思路：(1)存在m≥f(x)?m≥f(x)min(2)存在m≤f(x)?m≤f(x)max．5、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)＞g(x)的基本方法：(1)若f(x)與g(x)的最值易求出，可直接轉(zhuǎn)化為證明f(x)min＞g(x)max；(2)若f(x)與g(x)的最值不易求出，可構(gòu)造函數(shù)h(x)＝f(x)－g(x)，然后根據(jù)函數(shù)h(x)的單調(diào)性或最值，證明h(x)＞0.無(wú)論不等式的證明還是解不等式，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函數(shù)的思想，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，達(dá)到解題的目的，是一成不變的思路，合理構(gòu)思，善于從不同角度分析問(wèn)題，是解題的法寶.函數(shù)單調(diào)性的討論（含參）、零點(diǎn)問(wèn)題和不等式恒成立的相關(guān)問(wèn)題（包含不等式證明和由不等式恒成立求參數(shù)取值范圍）是出題頻率最高的；同時(shí)也要注意極值點(diǎn)偏移、雙變量等熱點(diǎn)問(wèn)題。A卷（建議用時(shí)60分鐘）一、單選題1．（2021·河南·濮陽(yáng)一高高三階段練習(xí)）若直線與曲線滿足下列兩個(gè)條件：（1）直線在點(diǎn)處與曲線相切；（2）曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，則稱直線在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線.給出下列四個(gè)命題：①直線：在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：；②直線：在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：；③直線：在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：；④直線：在點(diǎn)處“切過(guò)”曲線：.其中正確的命題個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)“切過(guò)”的定義以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義逐個(gè)選項(xiàng)判定即可.【詳解】①∵，，∴，∴曲線在點(diǎn)處切線為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即曲線在點(diǎn)附近位于直線的兩側(cè)，①正確；②設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，在是增函數(shù)，∴，即在上恒成立，∴曲線總在直線下方，不合要求，②不正確；③∵，，∴，∴曲線在點(diǎn)處切線為，設(shè)，，∴是減函數(shù)，又∵，∴當(dāng)時(shí)，，即，曲線在切線的下方，當(dāng)，，即，曲線在切線的上方，③正確；④∵，∴，∴，∴曲線在點(diǎn)處的切線為，不合要求④不正確．綜上，正確命題有①③，故選：B.2．（2021·江蘇淮安·高三期中）已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．是的極小值點(diǎn) B．是的極小值點(diǎn)C．在區(qū)間上單調(diào)遞減 D．曲線在處的切線斜率小于零【答案】D【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象，求得函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合極值點(diǎn)定義，即可判斷ABC選項(xiàng)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義和幾何意義即判斷D選項(xiàng)，從而得出答案.【詳解】由圖象知，當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在區(qū)間，內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，是的極大值點(diǎn)，3是的極小值點(diǎn)，故ABC錯(cuò)誤；又因?yàn)椋郧€在處切線斜率小于零，故D正確.故選：D.3．（2021·安徽·合肥市第八中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且，則（）A． B． C．1 D．【答案】B【分析】直接求導(dǎo)，令求出，再將帶入原函數(shù)即可求解.【詳解】由得，當(dāng)時(shí)，，解得，所以，.故選：B4．（2021·山東日照·高三階段練習(xí)）已知是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有，則不等式的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】構(gòu)造新函數(shù)，求出后由導(dǎo)函數(shù)確定，注意可得，從而得出的解析式，然后解不等式即可．【詳解】設(shè)，，因?yàn)椋?，所以．因此，，所以，，不等式即為，，解得或．故選：D．5．（2021·陜西金臺(tái)·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求得，由題意知有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為，然后設(shè)，再轉(zhuǎn)化為直線與的圖像有兩個(gè)交點(diǎn)求解.【詳解】解：由題意有兩個(gè)不等實(shí)根，即有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，遞增，當(dāng)時(shí)，，遞減，時(shí)，為極大值也是最大值，時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，即時(shí)，直線與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即有兩個(gè)不等實(shí)根．故選：B6．（2021·四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，，若存在，使得成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由，根據(jù)，得，再構(gòu)造函數(shù)求最值即可求出的取值范圍．【詳解】由，得，記，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．（1），，記，，，，，時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增．（1），，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，．故選：C．7．（2021·天津市西青區(qū)張家窩中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與有三個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究在上的性質(zhì)，進(jìn)而畫(huà)出的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法求參數(shù)k的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，，∴，令得，，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，畫(huà)出函數(shù)的圖像，如圖所示，∵函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，即方程有三個(gè)不等實(shí)根，∴函數(shù)與有三個(gè)交點(diǎn)，由圖像可知，，故選：D.8．（2021·北京四中高三期中）對(duì)于定義在R上的函數(shù)，若存在非零實(shí)數(shù)，使在和上均有零點(diǎn)，則稱為的一個(gè)“折點(diǎn)”，下列四個(gè)函數(shù)存在“折點(diǎn)”的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)存在“折點(diǎn)”的條件，對(duì)每一選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，所以沒(méi)有零點(diǎn)，從而沒(méi)有“折點(diǎn)”，故A不符合題意；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)閱握{(diào)遞增，所以在上有零點(diǎn)，又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有零點(diǎn)，從而存在“折點(diǎn)”，故B符合題意；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在處取得極大值，在處取得極小值，而，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)，所以C不符合題意；對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，令解得，只有一個(gè)零點(diǎn)，故D選項(xiàng)不符合題意；故選：B二、多選題9．（2021·江蘇淮安·高三期中）設(shè)函數(shù)，若恒成立，則實(shí)數(shù)的可能取值是（）A．1 B．2 C．e D．3【答案】ABD【分析】由確定的單調(diào)性，結(jié)合恒成立確定正確選項(xiàng).【詳解】，令解得，所以在遞減，在遞增，在取得極小值也即是最小值，依題意恒成立，即，時(shí)，符合，時(shí)，符合，時(shí)，符合，由于，所以C選項(xiàng)不符合.故選：ABD10．（2021·河北保定·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則（）A．的極大值為 B．的極大值為C．曲線在處的切線方程為 D．曲線在處的切線方程為【答案】BD【分析】首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極大值，再求出、，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程；【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以?dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，故A錯(cuò)誤，B正確；因?yàn)?所以曲線在處的切線方程為，即，故C錯(cuò)誤，D正確；故選：BD11．（2021·江蘇·高三期中）若直線是曲線的切線，則曲線可以是（）A．B．C．D．【答案】AC【分析】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知曲線某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，令判斷是否有解即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€是曲線的切線，直線的斜率為，所以在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為，對(duì)于A：由可得：，令，即，因?yàn)椋杂薪?，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：由可得，令可得無(wú)解，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：由可得，令即，作出和的圖象：所以有解，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：由可得，所以的定義域?yàn)?，由可得，令可得不滿足，所以無(wú)解，故選項(xiàng)D不正確；故選：AC.12．（2021·江蘇·無(wú)錫市教育科學(xué)研究院高三期中）已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值可以是（）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】當(dāng)?shù)玫胶愠闪?，即可得到，?dāng)時(shí)，恒成立，當(dāng)?shù)玫胶愠闪?，即可得到，從而得到，再結(jié)合選項(xiàng)求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，滿足對(duì)任意的，恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以.當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)時(shí)，恒成立，即恒成立，設(shè)，，，，為減函數(shù)，，，為增函數(shù)，所以，所以，綜上所述：.故選：ABC13．（2021·湖北·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在上單調(diào)遞增B．在上單調(diào)遞減C．若函數(shù)在處取得最小值，則D．，【答案】ACD【分析】AB選項(xiàng)利用二次求導(dǎo)的方法求得的單調(diào)性來(lái)判斷，CD選項(xiàng)通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合二次求導(dǎo)的方法來(lái)進(jìn)而判斷.【詳解】，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上單調(diào)遞增.A正確，B錯(cuò)誤.令，則.令，則在上恒成立，則在上單調(diào)遞增.又，所以，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，即.又，，所以.CD選項(xiàng)正確.故選：ACD14．（2021·河北保定·高三階段練習(xí)）若函數(shù)在上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值可能是（）A．1 B．e C． D．【答案】CD【分析】采用分離參數(shù)的方法，同時(shí)構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其單調(diào)性和值域，數(shù)形結(jié)合即可容易求得結(jié)果.【詳解】由，得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.因?yàn)?，要使得有兩個(gè)零點(diǎn)，只需與在區(qū)間上有兩個(gè)交點(diǎn).數(shù)形結(jié)合可知m的取值范圍為.則選項(xiàng)中滿足題意的取值是：以及故選：CD.15．（2021·江蘇如東·高三期中）若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為；若存在，則稱為二元函數(shù)在點(diǎn)處對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，記為，已知二元函數(shù)，則（）A． B．C．的最小值為 D．的最小值為【答案】AB【分析】根據(jù)偏導(dǎo)數(shù)的定義進(jìn)行分析計(jì)算，，，，的最小值為，由于，構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)可求出的最小值.【詳解】解：因?yàn)椋?，），所以，則，故A選項(xiàng)正確；又，所以，故B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，令（），，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故，從而當(dāng)時(shí)，取得最小值，且最小值為.故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.16．（2021·山東·滕州市第一中學(xué)新校高三期中）已知函數(shù)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)（）A．當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè) B．當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)C．當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè) D．當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)【答案】AB【分析】由題意知，不是零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法即可求解【詳解】由題意知，不是零點(diǎn)，函數(shù)的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為即與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，因?yàn)椋栽谏蠁握{(diào)遞增，顯然，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1個(gè)，當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)，故選：AB三、填空題17．（2021·全國(guó)·高考真題（理））曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_________．【答案】【分析】先驗(yàn)證點(diǎn)在曲線上，再求導(dǎo)，代入切線方程公式即可．【詳解】由題，當(dāng)時(shí)，，故點(diǎn)在曲線上．求導(dǎo)得：，所以．故切線方程為．故答案為：．18．（2021·四川省內(nèi)江市第六中學(xué)高三階段練習(xí)）若函數(shù)存在垂直于軸的切線，又，且有，則的最小值為_(kāi)___________【答案】3【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的切線得到，根據(jù)均值不等式得到，再計(jì)算分段函數(shù)值得到，得到答案.【詳解】，則，有解，故，當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.，故.故.故答案為：3.19．（2021·江蘇常州·高三期中）已知函數(shù)，對(duì)于任意，恒成立，則整數(shù)a的最大值為_(kāi)__________.【答案】0【分析】根據(jù)題意，知，令，則原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性求出最值，即可求解.【詳解】由題意得，，令，易知，則，恒成立.令，由，得，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，因此，因?yàn)榍?，故，因?yàn)?，所?下證：.即證，易證：，所以，由，得在上遞減，在上遞增，因此，故，故.故答案為：0【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)求參數(shù)常用的兩種轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理．20．（2021·河北石家莊·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【分析】的解集為恒成立，且在x≤0時(shí)的解集為[－1，0]，分類討論即可﹒【詳解】的解集為恒成立，且在x≤0時(shí)的解集為[－1，0]﹒(1)當(dāng)x≤0時(shí)，，為滿足題意，其圖像應(yīng)該如圖：∴a≥0；(2)當(dāng)x＞0時(shí)，①a＝0時(shí)，f(x≥0恒成立，滿足題意；②a＞0時(shí)，恒成立恒成立(x＞0)，令，則，由得，，即時(shí)，單調(diào)遞增，由得，，即時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，取得極大值，時(shí)，，，綜上所述，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考察已知分段函數(shù)值域求參數(shù)范圍，關(guān)鍵在于把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值(最小值)問(wèn)題，求函數(shù)的最值，可通過(guò)導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性﹒四、解答題21．（2021·江蘇·無(wú)錫市教育科學(xué)研究院高三期中）已知函數(shù)（m≥0）.（1）當(dāng)m=0時(shí)，求曲線在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)m的值.【答案】（1）（2）【分析】（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義求解切線方程的斜率，進(jìn)而求出切線方程；（2）對(duì)導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，判斷其單調(diào)性，結(jié)合隱零點(diǎn)求出其最小值，列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.（1）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以切線的斜率為，所以切線方程為，即.（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，；當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí)，，所以總存在一個(gè)，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以，令，因?yàn)?，所以單調(diào)遞減，又，所以時(shí)，所以，即.21．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）求在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上的最大值；（2）對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上是否存在兩點(diǎn)P，Q，使得是以О為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此直角三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上?【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）存在，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）先分別討論，兩段上的函數(shù)最值，再根據(jù)兩段函數(shù)最值比較綜合即可得答案；（2）假設(shè)存在，則設(shè)（），則，進(jìn)而根據(jù)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有解問(wèn)題，再分和討論求解即可得答案.（1）解：當(dāng)時(shí)，，，令，解得，此時(shí)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由于，故當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，.綜上，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為，當(dāng)時(shí)，在上的最大值為.（2）解：假設(shè)曲線上存在兩點(diǎn)，，使得是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此直角三角形斜邊的中點(diǎn)在y軸上，則，只能在軸的兩側(cè)，不妨設(shè)（），則，且．因?yàn)椤魇且詾橹苯琼旤c(diǎn)的直角三角形，所以，即：①是否存在點(diǎn)，等價(jià)于方程①是否有解．若，則，代入方程①得：，此方程無(wú)實(shí)數(shù)解；若，則，代入方程①得：，設(shè)（），則在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，從而，所以當(dāng)時(shí)，方程有解，即方程①有解．所以，對(duì)任意給定的正實(shí)數(shù)，曲線上存在兩點(diǎn)，，使得△是以為直角頂點(diǎn)的直角三角形，且此三角形斜邊中點(diǎn)在軸上．11．（2021·北京·高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.23．（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，假設(shè)能取到，則，故；當(dāng)時(shí)，，單增，假設(shè)能取到，則，故；綜上所述，在恒成立【點(diǎn)睛】本題為難題，根據(jù)極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0可求參數(shù)，第二問(wèn)解法并不唯一，分類討論對(duì)函數(shù)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化的過(guò)程，一定要注意轉(zhuǎn)化前后的等價(jià)性問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)和換元法也常常用于解決復(fù)雜函數(shù)的最值與恒成立問(wèn)題.24．（2021·全國(guó)·高考真題（文））設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論其符號(hào)后可得函數(shù)的單調(diào)性.（2）根據(jù)及（1）的單調(diào)性性可得，從而可求a的取值范圍.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：不等式的恒成立問(wèn)題，往往可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值的符號(hào)來(lái)討論，也可以參變分離后轉(zhuǎn)化不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題，轉(zhuǎn)化中注意等價(jià)轉(zhuǎn)化.25．（2021·遼寧大連·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)（其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）計(jì)算，分別討論、、、時(shí)，解不等式和可得單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間即可求解；（2）已知不等式可轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解.（1）由可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)時(shí)，由得，，，①若，即時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；②若，即時(shí)，由可得：或；令可得：此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；③若，即時(shí)，由可得：或；由可得：此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；綜上所述：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）由可得對(duì)恒成立，即對(duì)任意的恒成立，令，則，令，則，則在上單調(diào)遞減，又，，故在上有唯一的實(shí)根，不妨設(shè)該實(shí)根為，故當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，故，又因?yàn)?，所以，，，所以，故的取值范圍為?6．（2021·江蘇連云港·高三期中）已知函數(shù).（1）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)，證明：.【答案】（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，并且求解的兩個(gè)根，從而得函數(shù)的單調(diào)性；（2）求出導(dǎo)函數(shù)，然后分類討論，由函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，得時(shí)存在兩個(gè)零點(diǎn)，再將證明轉(zhuǎn)化為證明，代入并構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性即可得證.（1）時(shí)，，函數(shù)定義域?yàn)?，令，.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；（2），①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，無(wú)零點(diǎn),此時(shí)令，.（i）當(dāng)時(shí)，此時(shí)在上恒為負(fù)，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，舍去.（ii）當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，至多一個(gè)零點(diǎn)，舍去（ⅲ）當(dāng)時(shí)，若，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，至多只有一個(gè)零點(diǎn)，舍去.②當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)，舍去③當(dāng)時(shí)，令且在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且，，∴在和上各有一個(gè)零點(diǎn)，.要證：即證：，即證：證：，證：證：證：，，令，，，.∴單調(diào)遞減，∴，∴單調(diào)遞增，∴，故得證.【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題時(shí)，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，解題過(guò)程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.B卷（建議用時(shí)90分鐘）一、單選題1.（2021·全國(guó)·高考真題（理））設(shè)，若為函數(shù)的極大值點(diǎn)，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先考慮函數(shù)的零點(diǎn)情況，注意零點(diǎn)左右附近函數(shù)值是否編號(hào)，結(jié)合極大值點(diǎn)的性質(zhì)，對(duì)進(jìn)行分類討論，畫(huà)出圖象，即可得到所滿足的關(guān)系，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】若，則為單調(diào)函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)，不符合題意，故.有和兩個(gè)不同零點(diǎn)，且在左右附近是不變號(hào)，在左右附近是變號(hào)的.依題意，為函數(shù)的極大值點(diǎn)，在左右附近都是小于零的.當(dāng)時(shí)，由，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.當(dāng)時(shí)，由時(shí)，，畫(huà)出的圖象如下圖所示：由圖可知，，故.綜上所述，成立.故選：D【點(diǎn)睛】本小題主要考查三次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法可以快速解答.2．（2021·四川達(dá)州·一模）已知函數(shù)恒有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】函數(shù)有零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程恒有解，換元后化為方程恒有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可求解.【詳解】令,得：，令，則，，即，，令，則，由恒成立知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，時(shí)方程恒有根，即，故選：D3．（2021·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，若對(duì)于任意的都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】分別證明，，對(duì)于，先證明，變形為，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)取值范圍.再證明，由函數(shù)及的圖像易知，若使對(duì)于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個(gè)圖像相切處取得，求得參數(shù)取值范圍.【詳解】對(duì)于，先證明，，即，令，則，易知單增，且，則時(shí)，，函數(shù)單減；時(shí)，，函數(shù)單增；函數(shù)在處取最小值，此時(shí)；再證明，即，由函數(shù)及的圖像易知，若使對(duì)于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個(gè)圖像相切處取得，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，時(shí)，，即，綜上，，故選：A4．（2021·江蘇·高三階段練習(xí)）過(guò)曲線C：上一點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與曲線C的另一交點(diǎn)為P，曲線C在點(diǎn)P處的切線交y軸于點(diǎn)N．若的面積為，則（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，結(jié)合三角形面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)，，，切線方程為：，令，，∴，．過(guò)P作x軸的垂線，垂足為M，梯形PNOM面積，∴，即，∴，顯然是該方程的一個(gè)根，設(shè)，由題意可知：，所以，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，故方程有唯一實(shí)根，即，∴，故選：B【點(diǎn)睛】利用梯形面積建立等式是解題的關(guān)鍵.5．（2021·廣西柳州·一模（理））已知可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若對(duì)任意的，都有．且為奇函數(shù)，則不等式的解集為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意構(gòu)造，結(jié)合已知條件，討論其單調(diào)性，再將不等式轉(zhuǎn)化為的不等式，即可利用單調(diào)性求解.【詳解】根據(jù)題意，構(gòu)造，則，且，故在上單調(diào)遞減；又為上的奇函數(shù)，故可得，即，則.則不等式等價(jià)于，又因?yàn)槭巧系膯握{(diào)減函數(shù)，故解得.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查構(gòu)造函數(shù)法，涉及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式；本題中，根據(jù)以及題意，構(gòu)造是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中等偏上題.6．（2021·江蘇鹽城·高三期中）函數(shù)的零點(diǎn)最多有（）個(gè).A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【分析】求出函數(shù)，令，分、、討論的正負(fù)，得到單調(diào)性，再結(jié)合特殊函數(shù)值可得答案.【詳解】函數(shù)，令，當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，，所以在上單調(diào)遞增，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，，又，所以在上只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)正根，得，由于，所以，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，因?yàn)椋?，所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，且，由得，，且，，所以在，上各有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，時(shí)只有1個(gè)零點(diǎn)；時(shí)有3個(gè)零點(diǎn).故選：B.7．（2021·海南華僑中學(xué)高三階段練習(xí)）已知定義在[，]上的函數(shù)滿足，且當(dāng)x[，1]時(shí)，，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．(，]B．(，]C．(，]D．(，]【答案】B【分析】由題設(shè)，求分段函數(shù)的解析式并畫(huà)出圖像，將方程有三個(gè)不同實(shí)根轉(zhuǎn)化為和有三個(gè)不同的交點(diǎn)問(wèn)題，由數(shù)形結(jié)合思想結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的交點(diǎn)情況，進(jìn)而求參數(shù)的范圍.【詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，綜上，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，∵有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴的圖像和直線有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作的大致圖像如圖所示，當(dāng)直線和的圖像相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，∴，可得，，代入，可得，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，由圖知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.【點(diǎn)睛】將方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有三個(gè)不同交點(diǎn)問(wèn)題，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想及導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象的交點(diǎn)情況，求參數(shù).8．（2021·河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)和絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，,所以函數(shù)的圖象如下圖所示：因?yàn)樵O(shè)，所以方程有三個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，由圖象可知：，因此有，即，因此，因?yàn)椋?，滿足，即，因此故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.9．（2021·山東聊城·高三期中）關(guān)于函數(shù)，，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)C．若函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，則D．對(duì)任意，恒成立【答案】D【分析】分別在和得到，由此可知A正確；在平面直角坐標(biāo)系中作出與圖象，由圖象可確定B正確；將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上恰有一個(gè)解，令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性并得到其圖象，數(shù)形結(jié)合可確定，C正確；令，由B中結(jié)論可確定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，，則，當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，，單調(diào)遞減；綜上所述：在上單調(diào)遞減，A正確；對(duì)于B，，令，得：；在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，由圖象可知：當(dāng)時(shí)，與有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn)，函數(shù)在上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，B正確；對(duì)于C，由得：，若在上恰有一個(gè)極值，則在上恰有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，即在上恰有一個(gè)解，令，則；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，，可得大致圖象如下，若在上恰有一個(gè)解，則，此時(shí)函數(shù)在上恰有一個(gè)極值，C正確；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由B選項(xiàng)可知，，使得，當(dāng)時(shí)，，即，D錯(cuò)誤.故選：D.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn)個(gè)數(shù)和極值的問(wèn)題；根據(jù)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)求解參數(shù)值的常用方法是通過(guò)分離變量的方式將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程解的個(gè)數(shù)或兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式來(lái)解決.二、多選題10．（2021·廣東·紅嶺中學(xué)高三階段練習(xí)）函數(shù)，，下列說(shuō)法中，正確的是（）A． B．在單調(diào)遞增C． D．，則【答案】ABC【分析】令，進(jìn)而由導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞增，且，進(jìn)而得函數(shù)的單調(diào)性判斷B，再根據(jù)單調(diào)性判斷A，對(duì)于C選項(xiàng)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在區(qū)間成立，再構(gòu)造函數(shù)證明不等式即可判斷；對(duì)于D選項(xiàng)，根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上單調(diào)遞增，進(jìn)而研究函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】解：，令，則在恒成立，所以在上單調(diào)遞增，由于，所以所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故B選項(xiàng)正確；所以，故A選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)，由于，故，令，則在恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，，則等價(jià)于，則，故構(gòu)造函數(shù)，則問(wèn)題等價(jià)于函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，故存在使得，即在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，與數(shù)在上單調(diào)遞增矛盾，故錯(cuò)誤.故選：ABC11．（2021·海南·海口一中高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A．函數(shù)的極小值為2B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，恒成立D．對(duì)任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，且，若，則【答案】BC【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極小值，判斷A，C，D，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，判斷B即可．【詳解】解：對(duì)于A：函數(shù)的定義域是，，令，解得，令，解得，故在遞減，在遞增，（2），故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：令，則，令，則，令，解得：，令，解得：，故在遞減，在，遞增，故，故，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，又（1），（2），故函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C：令，因?yàn)?，由A選項(xiàng)可知，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，故C正確；對(duì)于D：設(shè)，，結(jié)合A選項(xiàng)可知，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，故在遞減，，，則，故（2），即，在遞增，，可證，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12．（2021·全國(guó)·高三階段練習(xí)）布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾，簡(jiǎn)單地講就是對(duì)于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在一個(gè)點(diǎn)，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，而稱為該函數(shù)的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn).現(xiàn)新定義：若滿足，則稱為的次不動(dòng)點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A．定義在上的偶函數(shù)既不存在不動(dòng)點(diǎn)，也不存在次不動(dòng)點(diǎn)B．定義在上的奇函數(shù)既存在不動(dòng)點(diǎn)，也存在次不動(dòng)點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)和一個(gè)次不動(dòng)點(diǎn)D．滿足函數(shù)在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)的正整數(shù)不存在【答案】BC【分析】舉反例偶函數(shù)，利用“不動(dòng)點(diǎn)”、“次不動(dòng)點(diǎn)”的定義即可判斷A選項(xiàng)；對(duì)于B選項(xiàng)結(jié)合奇函數(shù)定義及性質(zhì)即可判斷；C選項(xiàng)首先利用“不動(dòng)點(diǎn)”定義得到及利用“次不動(dòng)點(diǎn)”的定義得，再分離變量，利用函數(shù)單調(diào)性即可求得a的取值范圍；D選項(xiàng)利用“不動(dòng)點(diǎn)”得到，分離變量后得到，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題即可求解.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，取函數(shù)，，既是的不動(dòng)點(diǎn)，又是的次不動(dòng)點(diǎn)，故A錯(cuò)誤，對(duì)B選項(xiàng)，定義在上的奇函數(shù)滿足，故B正確；對(duì)C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，即.令，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，滿足有唯一解，則.當(dāng)時(shí)，，即.令，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，滿足有唯一解，則.綜上號(hào).故C正確；對(duì)D選項(xiàng)，因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上存在不動(dòng)點(diǎn)，則在上有解，則在上有解，令，則，再令，則，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，，所以實(shí)數(shù)滿足（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），存在正整數(shù)滿足條件，故D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】本題考查的是函數(shù)的新定義問(wèn)題，試題以函數(shù)和方程的有關(guān)知識(shí)為背景設(shè)計(jì)問(wèn)題，難度較大.已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解13．（2021·重慶·臨江中學(xué)高三階段練習(xí)）關(guān)于函數(shù)，，下列結(jié)論正確的有（）A．當(dāng)時(shí)，在處的切線方程為B．當(dāng)時(shí)，在上存在唯一的極小值點(diǎn)C．對(duì)任意，在上均存在零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，若對(duì)，恒成立，則【答案】ABD【分析】逐一驗(yàn)證選項(xiàng)，選項(xiàng)A，通過(guò)切點(diǎn)求切線，再通過(guò)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線方程，選項(xiàng)B

通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)極值并判斷極值范圍，選項(xiàng)C、D，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化判斷函數(shù)與直線的交點(diǎn)問(wèn)題．【詳解】選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，所以，故切點(diǎn)為，所以切線斜率故直線方程為：，即切線方程為：，

選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，，恒成立，所以單調(diào)遞增，又，,所以，即，所以所以存在，使得，即則在上，，在上，所以在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.所以存在唯一的極小值點(diǎn).,則，，所以B正確；選項(xiàng)C、D：令，即

，所以，則令，，令,得由函數(shù)的圖像性質(zhì)可知:時(shí)，，單調(diào)遞減.時(shí)，，單調(diào)遞增.所以時(shí)，取得極小值，又,即又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以所以時(shí)，取得極小值，又，即所以當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，即時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，所以C不正確；當(dāng)時(shí)，對(duì)，恒成立，故因?yàn)闀r(shí)，又，即即當(dāng)時(shí)，若對(duì)，恒成立，則故D正確.故選：ABD14．（2021·廣東龍崗·高三期中）已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），過(guò)點(diǎn)作曲線的切線.下列說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，若只能作兩條切線，則B．當(dāng)，時(shí)，則可作三條切線C．當(dāng)時(shí)，可作三條切線，則D．當(dāng)，時(shí)，有且只有一條切線【答案】ACD【分析】設(shè)切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，設(shè)切線為：，可得，設(shè)，求，利用導(dǎo)數(shù)分別求，，時(shí)的單調(diào)性和極值，切線的條數(shù)即為直線與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，逐一判斷四個(gè)選項(xiàng)的正誤即可得正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，由可得，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以在點(diǎn)處的切線為：，因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)，所以，即，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，若只能作兩條切線，則與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖知，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B：當(dāng)，時(shí)，與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)只能作一條切線，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于C：，當(dāng)時(shí)，由可得，由可得：或，所以在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，極小值，極大值，若可作三條切線，則與圖象有三個(gè)交點(diǎn)，所以，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞減，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于，此時(shí)與圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以有且只有一條切線，故選項(xiàng)D正確；故選：ACD.三、填空題15．（2021·廣東順德·高三階段練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_____；若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】1【分析】（1）令，得，再構(gòu)造函數(shù)，分析函數(shù)的性質(zhì)即得解；（2）令得到，再對(duì)分兩類討論、分離參數(shù)分析函數(shù)的圖象得解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，令，所以，所以，令，所以函數(shù)是增函數(shù)（增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)），當(dāng)時(shí)，；，所以只有一個(gè)解，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；（2）令所以，當(dāng)時(shí)，不成立，所以不是函數(shù)的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，所以,令，令，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，所以在時(shí)有兩個(gè)零點(diǎn)，在時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)，在時(shí)只有一個(gè)零點(diǎn)；所以或，由對(duì)勾函數(shù)得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)方程有一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)零點(diǎn).所以當(dāng)或時(shí)，原函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).故答案為：1；.16．（2021·江蘇揚(yáng)州·高三期中）若函數(shù)）有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)和，則a的取值范圍為_(kāi)__________；若，則a的最小值為_(kāi)__________.【答案】【分析】由題可得有兩個(gè)不相等的實(shí)根，利用導(dǎo)數(shù)可求函數(shù)的最值，再結(jié)合圖象即得；當(dāng)時(shí)，可得，結(jié)合函數(shù)圖象可得，即求.【詳解】由得，，則有兩個(gè)不相等的實(shí)根，即有兩個(gè)不相等的實(shí)根，令，則，∴當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，∴；當(dāng)時(shí)，即，∴，此時(shí)，∴當(dāng)時(shí)，，∴a的最小值為.故答案為：；17．（2021·江蘇·無(wú)錫市第一中學(xué)高三階段練習(xí)）已如函數(shù).若曲線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，則___________；若，則的最大值為_(kāi)__________.【答案】0【分析】由得出的關(guān)系，代入計(jì)算可得，求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)中的部分式子再利用導(dǎo)數(shù)確定其正負(fù)后可得出的正負(fù)，從而得極大值也即最大值．【詳解】由已知，，所以，即，所以．，定義域?yàn)?，，令，則，時(shí)，，所以在上遞減，所以時(shí)，，所以時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以．故答案為：0；．18．（2021·浙江杭州·高三期中）函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________，若函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，則___________.【答案】3【分析】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，然后利用指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象分析判斷即可求解；由于函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，最后利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】解：函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，即與兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)?，而單調(diào)遞減，值域?yàn)?，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；綜上，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3個(gè).函數(shù)恰有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于與兩個(gè)函數(shù)圖象恰有兩個(gè)交點(diǎn).因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)圖象與拋物線在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，即函數(shù)在上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：當(dāng)時(shí)，，即有且只有一個(gè)實(shí)根，方程兩邊取對(duì)數(shù)，可得，從而問(wèn)題等價(jià)于該方程有且只有一個(gè)實(shí)根，即直線與曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以直線為曲線的切線，設(shè)切點(diǎn)為，由，則切線的斜率為，又切點(diǎn)在切線上，則，聯(lián)立求解得，故答案為：3；.四、解答題19．（2021·天津·高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)；第三問(wèn)解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為存在，使得，即.20．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論確定函數(shù)的單調(diào)性即可；(2)由題意結(jié)合(1)中函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點(diǎn)存在定理即可證得題中的結(jié)論.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（2021·浙江·高考真題）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且，函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：對(duì)任意，函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，滿足.(注：是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))【答案】(1)時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；(2)；(3)證明見(jiàn)解析.【分析】(1)首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后分類討論即可確定函數(shù)的單調(diào)性；(2)將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，然后構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)并進(jìn)行放縮即可確定實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)結(jié)合(2)的結(jié)論將原問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)變形，然后利用分析法即可證得題中的結(jié)論成立.【詳解】(1)，①若，則，所以在上單調(diào)遞增；②若，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.綜上可得，時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.(2)有2個(gè)不同零點(diǎn)有2個(gè)不同解有2個(gè)不同的解，令，則，記，記，又，所以時(shí)，時(shí)，，則在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，.即實(shí)數(shù)的取值范圍是.(3)有2個(gè)不同零點(diǎn)，則，故函數(shù)的零點(diǎn)一定為正數(shù).由(2)可知有2個(gè)不同零點(diǎn)，記較大者為，較小者為，，注意到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，又由知，，要證，只需，且關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以只需證，只需證，只需證，，只需證在時(shí)為正，由于，故函數(shù)單調(diào)遞增，又，故在時(shí)為正，從而題中的不等式得證.【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，從高考來(lái)看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問(wèn)題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22．（2021·全國(guó)·高考真題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷其符號(hào)可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)，原不等式等價(jià)于，前者可構(gòu)建新函數(shù)，利用極值點(diǎn)偏移可證，后者可設(shè)，從而把轉(zhuǎn)化為在上的恒成立問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可證明該結(jié)論成立.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，