2023屆高考數(shù)學一輪復習解答題之立體幾何專練卷（含解析）

屆高考數(shù)學一輪復習解答題之立體幾何專練1.如圖,和都是邊長為2的正三角形,且它們所在平面互相垂直.平面,且.(1)設P是的中點,求證:平面.(2)求二面角的正弦值.2.如圖，直三棱柱的體積為4，的面積為.

（1）求A到平面的距離；

（2）設D為的中點，，平面平面，求二面角的正弦值.3.如圖，在三棱臺中，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)面為等腰梯形，且，D為的中點.（1）證明：；（2）記二面角的大小為，時，求直線與平面所成角的正弦值的取值范圍.4.如圖，在棱柱中，平面ABCD，四邊形ABCD是菱形，，點N為AD的中點，且.(1)設M是線段上一點，且.試問：是否存在點M，使得直線平面MNC？若存在，請證明平面MNC，并求出的值；若不存在，請說明理由；(2)求二面角的余弦值.5.已知四棱柱的底面為菱形,平面.(1)證明:平面;(2)求二面角的余弦值.6.如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD是邊長為2的正方形，，M為線段PC上一點.(1)若平面平面，證明：；(2)若二面角的平面角為，求三棱錐的體積.7.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形BCEF是矩形，，.(1)證明：；(2)求直線AF與平面MBD所成角的正弦值.8.如圖，在四棱錐中，底面ABCD是邊長為1的菱形，，E為AD的中點，平面ABCD，F(xiàn)為PC上的一點，且.(1)證明：平面BEF；(2)若二面角的平面角為30°，求四棱錐的體積.9.如圖，在平面五邊形ABCDE中是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是直角梯形，其中.將沿AD折起，使得點E到達點M的位置，且使.(1)求證：平面平面ABCD；(2)設點P為棱CM上靠近點C的三等分點，求平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值.10.如圖,四棱錐的底面為矩形,平面平面,是邊長為2的等邊三角形,,點E為的中點,點M為上一點(與點不重合).(1)證明:.(2)當為何值時,直線與平面所成的角最大?

答案以及解析1.答案：(1)見解析(2)解析：(1)證明：取的中點O,連接.是正三角形,.∵平面平面,平面平面,平面.平面,.在中,,.又,為等腰三角形.是的中點,.平面,.平面平面,平面.(2)由(1)知,,∴四邊形為平行四邊形,,.以點O為坐標原點,以的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖的空間直角坐標系,則,,.設平面的法向量為,則即令,則,.設平面的法向量為,則即令,則,..,∴二面角的正弦值為.2.答案：（1）（2）解析：（1）設點A到平面的距離為h，

因為直三棱柱的體積為4，

所以，

又的面積為，，

所以，即點A到平面的距離為.

（2）取的中點E，連接AE，則，

因為平面平面，平面平面，

所以平面，所以，

又平面ABC，

所以，因為，所以平面，

所以.

以B為坐標原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由（1）知，，所以，，

因為的面積為，所以，所以，

所以，，，，，，

則，，

設平面ABD的法向量為，

則即

令，得，

又平面BDC的一個法向量為，

所以，

設二面角的平面角為，

則，

所以二面角的正弦值為.3.答案：（1）見解析（2）解析：（1）如圖，取AC的中點M，連接DM，BM，在等腰梯形中，D，M分別為，AC的中點，.在正三角形ABC中，M為AC的中點，.，DM，平面BDM，平面BDM.又平面BDM，.（2），，為二面角的平面角，即.平面BDM，在平面BDM內(nèi)作，以M為坐標原點，以，，的方向分別為x，y，z軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，則，.設平面的法向量為，則有即令，則，，則.設直線與平面所成角為，又，.，，.4.答案：(1)存在，.(2)余弦值為.解析：(1)取的中點P，連接CP交于點M，點M即為所求.證明：連接PN，因為N是AD的中點，P是的中點，所以，又平面MNC，平面MNC，所以直線平面MNC.因為，所以.所以.(2)連接AC.由(1)知.又平面ABCD，所以平面ABCD.因為，四邊形ABCD是菱形，所以為正三角形，所以.以N為坐標原點，NC，ND，NP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.又，所以，所以點，則.設平面的法向量，則即令，得.設平面的法向量，則即令，得，所以，由圖易得二面角為銳角，所以二面角的余弦值為.5.答案：(1)見解析(2)解析：(1)連接交于點,連接,易知為的中點,為的中點,在中,,平面平面,平面.(2)連接平面,且為的中點,,平面且,平面.如圖,以為坐標原點,所在直線分別為軸,建立空間直角坐標系.易得,,設平面的法向量為,則令,得,.同理可得平面的一個法向量為,,結(jié)合圖形知,二面角為鈍二面角,二面角的余弦值為.6.答案：(1)見解析.(2)見解析.解析：(1)因為底面ABCD是正方形，所以.又因為平面平面PCD，所以平面PCD.又平面平面，所以.又因為，所以.(2)由題易知AD，AB，AP兩兩垂直.以A為坐標原點，AD為x軸，AB為y軸，AP為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設，則，則.設平面AMB的法向量為，則，即，令，則.設平面AMD的法向量為，則，即，令，則，因為二面角的平面角為，是鈍角，所以，解得，則，所以M為線段PC的中點，點M到平面PAD的距離為1，所以.7.答案：(1)證明過程見解析.(2)正弦值為.解析：(1)如圖，取AD的中點O，連接OB，OF，則.因為，所以，所以四邊形OBCD是正方形，.因為四邊形BCEF是矩形，所以.因為，所以平面OBF，又平面OBF，所以，所以.因為，所以.因為，所以，所以.又，所以平面ADEF，又平面ADEF，所以.(2)以O為坐標原點，OA，OB，OF所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則.所以，由，得，所以，所以.設平面MBD的法向量，則，所以，令，則，所以.設直線AF與平面MBD所成的角為，則.直線AF與平面MBD所成角的正弦值為.8.答案：(1)見解析.(2)體積為.解析：(1)證明：如圖，連接AC交BE于G，連接FG.因為底面ABCD是菱形，所以.又E為AD的中點，所以，所以.因為，即，所以，所以.又平面BEF，平面BEF，所以平面BEF.(2)在中，，所以由余弦定理得，即，所以，所以.如圖，以E為坐標原點，EA所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立空間直角坐標系.令，則，所以.因為，所以平面PBE，所以平面PBE的一個法向量為.設平面BEF的法向量為，由，可得.因為，所以，即有，令，則，所以.由二面角的平面角為30°，得，即，解得(負值舍去)，所以，所以.9.答案：(1)見解析.(2)正弦值為.解析：如圖，取AD的中點N，連接MN，BN.因為是等邊三角形，所以，且，在直角梯形ABCD中，因為，所以四邊形BCDN是矩形，所以，且，所以，即，又，所以平面MAD.因為平面ABCD，所以平面平面ABCD.(2)由(1)知NA，NB，NM兩兩互相垂直，以N為坐標原點，直線NA為x軸、NB為y軸、NM為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，根據(jù)題意，，由P是棱CM的靠近點C的三等分點得，，設平面PBD的一個法向量為，則即令，則，故平面BDP的一個法向量為.而平面MAD的一個法向量為，設平面PBD與平面MAD所成的二面角的平面角為，則，所以，所以平面PBD與平面MAD所成的二面角的正弦值為.10.答案：(1)見解析(2)30°解析：(1)證明：如圖,連接,交于點F因為四邊形為矩形,,點E為的中點,所以,,所以,則.因為,所以,所以,則.因為是邊長為2的等邊三角形,點E為的中點,所以.因為平面平面,平面平