《實(shí)變函數(shù)》課程實(shí)施大綱

《實(shí)變函數(shù)》課程實(shí)施大綱目錄1．教學(xué)理念 41.1關(guān)注學(xué)生的發(fā)展 41.2關(guān)注教學(xué)的有效性 41.3關(guān)注教學(xué)的策略 51.4關(guān)注教學(xué)價(jià)值觀 52．課程介紹 52.1課程的性質(zhì) 52.2課程在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用 52.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì) 62.4學(xué)習(xí)本課程的必要性 63．教師簡(jiǎn)介 73.1教師的職稱、學(xué)歷 73.2教育背景 73.3研究興趣（方向） 74．先修課程 75．課程目標(biāo) 75.1知識(shí)與技能方面 75.2過程與方法方面 75.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀方面 76．課程內(nèi)容 87.課程教學(xué)實(shí)施 147.1教學(xué)單元一 147.2教學(xué)單元二 217.3教學(xué)單元三 287.4教學(xué)單元四 357.5教學(xué)單元五 447.6教學(xué)單元六 547.7教學(xué)單元七 627.8教學(xué)單元八 727.9教學(xué)單元九 787.10教學(xué)單元十 877.11教學(xué)單元十一 947.12教學(xué)單元十二 1017.13教學(xué)單元十三 1097.14教學(xué)單元十四 1167.15教學(xué)單元十五 1257.16教學(xué)單元十六 1357.17教學(xué)單元十七 1427.18教學(xué)單元十八 1497.19教學(xué)單元十九 1577.20教學(xué)單元二十 1667.21教學(xué)單元二十一 1747.22教學(xué)單元二十二 1807.23教學(xué)單元二十三 1877.24教學(xué)單元二十四 1958．課程要求 2029．課程考核方式及評(píng)分規(guī)程 20210．學(xué)術(shù)誠信規(guī)定 20211．課堂規(guī)范 20212．課程資源 20513．教學(xué)契約 20614．其他說明 2061．教學(xué)理念1.1關(guān)注學(xué)生的發(fā)展以學(xué)生為主體，關(guān)注學(xué)生情感、態(tài)度與價(jià)值觀的體現(xiàn)與發(fā)展。教學(xué)不僅要培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)，應(yīng)用知識(shí)的能力，激發(fā)學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)的熱情，同時(shí)要將學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和人才建設(shè)的培養(yǎng)相結(jié)合，潛移默化地培養(yǎng)學(xué)生積極的人生態(tài)度，正確的價(jià)值觀、人生觀和科學(xué)的世界觀，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力、邏輯思維能力和空間思維能力，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。采用提問式、討論式、啟發(fā)式等教學(xué)方法，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與到教學(xué)過程中來。對(duì)課程內(nèi)容的理解上，授課教師應(yīng)對(duì)課程的重點(diǎn)、難點(diǎn)講課思路清晰，化難為簡(jiǎn)。同時(shí)將一些實(shí)際問題作為討論對(duì)象，有針對(duì)性的講解，盡量采用形象化的多媒體技術(shù)進(jìn)行講述，使學(xué)生較為容易接受。1.2關(guān)注教學(xué)的有效性在教學(xué)內(nèi)容取舍上，要講究教學(xué)實(shí)效，根據(jù)教學(xué)目標(biāo)和教學(xué)任務(wù)來進(jìn)行取舍；要理論聯(lián)系實(shí)際，常微分方程這門課程理論性強(qiáng)，較為抽象，因此，應(yīng)更多的將實(shí)際問題中的實(shí)例引入課堂，這樣可以引起學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣。1.3關(guān)注教學(xué)的策略本課程為了取得教學(xué)實(shí)效，授課教師制作了生動(dòng)形象的課件，主要由多媒體加板書的形式授課，并安排有課堂討論、自學(xué)寫讀書報(bào)告、課堂練習(xí)等。1.4關(guān)注教學(xué)價(jià)值觀第一，要完成科學(xué)知識(shí)的講授和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)的傳遞，發(fā)展學(xué)生智育；第二，要發(fā)展學(xué)生的智能和體能，使學(xué)生形成能力，掌握個(gè)人生存和為社會(huì)服務(wù)的本領(lǐng)；第三，要重視學(xué)生操作能力、動(dòng)手能力、實(shí)踐能力的培養(yǎng)，在理論和實(shí)踐結(jié)合上掌握知識(shí)，學(xué)習(xí)技術(shù)，習(xí)得方法；第四，要對(duì)學(xué)生進(jìn)行思想教育，逐步使學(xué)生樹立正確的世界觀、科學(xué)的人生觀、形成良好道德品質(zhì)、行為習(xí)慣，樹立與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)相適應(yīng)的思想和品格。2．課程描述2.1課程的性質(zhì)實(shí)變函數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，是數(shù)學(xué)分析課程中微積分理論的進(jìn)一步深入和發(fā)展。它的任務(wù)是使學(xué)生掌握近代抽象分析的基本思想，加深對(duì)數(shù)學(xué)分析及數(shù)學(xué)各個(gè)分支有關(guān)內(nèi)容的理解，為進(jìn)一步鉆研現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論打下初步基礎(chǔ)。2.2課程在學(xué)科專業(yè)結(jié)構(gòu)中的地位、作用以實(shí)數(shù)作為自變量的函數(shù)叫做實(shí)變函數(shù)，以實(shí)變函數(shù)作為研究對(duì)象的數(shù)學(xué)分支就叫做實(shí)變函數(shù)論。它是微積分學(xué)的進(jìn)一步發(fā)展，它的基礎(chǔ)是點(diǎn)集論。什么是點(diǎn)集論呢？什么是點(diǎn)集論呢？點(diǎn)集論是專門研究點(diǎn)所成的集合的性質(zhì)的理論。也可以說實(shí)變函數(shù)論是在點(diǎn)集論的基礎(chǔ)上研究分析數(shù)學(xué)中的一些最基本的概念和性質(zhì)的。比如，點(diǎn)集函數(shù)、序列、極限、連續(xù)性、可微性、積分等。實(shí)變函數(shù)論還要研究實(shí)變函數(shù)的分類問題、結(jié)構(gòu)問題。實(shí)變函數(shù)論的內(nèi)容包括實(shí)值函數(shù)的連續(xù)性、微分理論、積分理論和測(cè)度論等。這里我們只對(duì)它的一些重要的基本概念作簡(jiǎn)要的介紹。實(shí)變函數(shù)論的積分理論研究各種積分的推廣方法和他們的運(yùn)算規(guī)則。由于積分歸根結(jié)底是數(shù)的運(yùn)算，所以在進(jìn)行積分的時(shí)候，必須給各種點(diǎn)集以一個(gè)數(shù)量的概念，這個(gè)概念叫做測(cè)度。什么是測(cè)度呢？簡(jiǎn)單地說，一條線段的長(zhǎng)度就是它的測(cè)度。測(cè)度的概念對(duì)于實(shí)變函數(shù)論十分重要。集合的測(cè)度這個(gè)概念是由法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格提出來的。為了推廣積分概念，1893年，約當(dāng)在他所寫的《分析教程》中，提出了“約當(dāng)容度”的概念并用來討論積分。1898年，法國(guó)數(shù)學(xué)家波萊爾把容度的概念作了改進(jìn)，并把它叫做測(cè)度。波萊爾的學(xué)生勒貝格后來發(fā)表《積分、長(zhǎng)度、面積》的論文，提出了“勒貝格測(cè)度”、“勒貝格積分”的概念。勒貝格還在他的論文《論文和原函數(shù)的研究》中，證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)零測(cè)度集，這就完全解決了黎曼可積性的問題。勒貝格積分可以推廣到無界函數(shù)的情形，這個(gè)時(shí)候所得積分是絕對(duì)收斂的，后來又推廣到積分可以不是絕對(duì)收斂的。從這些就可以看出，勒貝格積分比起由可惜給出后來又由黎曼發(fā)揚(yáng)的老積分定義廣大多了。也可以看出，實(shí)變函數(shù)輪所研究的是更為廣泛的函數(shù)類。自從維爾斯特拉斯證明連續(xù)函數(shù)必定可以表示成一致收斂的多項(xiàng)式級(jí)數(shù)，人們就認(rèn)清連續(xù)函數(shù)必定可以解析地表達(dá)出來，連續(xù)函數(shù)也必定可以用多項(xiàng)式來逼近。這樣，在實(shí)變函數(shù)論的領(lǐng)域里又出現(xiàn)了逼近論的理論。什么是逼近理論呢？舉例來說，如果能把A類函數(shù)表示成B類函數(shù)的極限，就說A類函數(shù)能以B類函數(shù)來逼近。如果已經(jīng)掌握了B類函數(shù)的某些性質(zhì)，那么往往可以由此推出A類函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)。逼近論就是研究哪一類函數(shù)可以用另一類函數(shù)來逼近、逼近的方法、逼近的程度和在逼近中出現(xiàn)的各種情況。和逼近理論密切相關(guān)的有正交級(jí)數(shù)理論，三角級(jí)數(shù)就是一種正交級(jí)數(shù)。和逼近理論相關(guān)的還有一種理論，就是從某一類已知函數(shù)出發(fā)構(gòu)造新的函數(shù)類型的理論，這種理論叫做函數(shù)構(gòu)造論?？傊瑢?shí)變函數(shù)論和古典數(shù)學(xué)分析不同，它是一種比較高深精細(xì)的理論，是數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，它的應(yīng)用廣泛，它在數(shù)學(xué)各個(gè)分支的應(yīng)用就是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特征。實(shí)變函數(shù)論不僅應(yīng)用廣泛，是某些數(shù)學(xué)分支的基本工具，而且它的觀念和方法以及它在各個(gè)數(shù)學(xué)分支的應(yīng)用，對(duì)形成近代數(shù)學(xué)的一般拓?fù)鋵W(xué)和泛函分析兩個(gè)重要分支有著極為重要的影響。2.3課程的前沿及發(fā)展趨勢(shì)勒貝格積分相對(duì)于黎曼積分的優(yōu)越性研究對(duì)勒貝格積分進(jìn)行了深入研究，重點(diǎn)從三方面詳細(xì)論述了勒貝格積分相對(duì)于黎曼積分的優(yōu)越性，首先勒貝格可積函數(shù)的范圍比黎曼積分廣泛，其次在勒貝格積分意義下，積分與極限交換順序的條件比較弱，最后從微積分基本定理的應(yīng)用范圍上再次加以證明。黎曼積分對(duì)一些不連續(xù)的函數(shù)就失去了作用,而勒貝格積分就是解決這類問題的,勒貝格積分是建立在測(cè)度的基礎(chǔ)上,相比黎曼是建立在區(qū)間上更進(jìn)了一步。2.4學(xué)習(xí)本課程的必要性在微積分學(xué)中，主要是從連續(xù)性、可微性、黎曼可積性三個(gè)方面來討論函數(shù)（包括函數(shù)序列的極限函數(shù)）。如果說微積分學(xué)所討論的函數(shù)都是性質(zhì)“良好”的函數(shù)（例如往往假設(shè)函數(shù)連續(xù)或只有有限個(gè)間斷點(diǎn)），那么，實(shí)變函數(shù)論是從連續(xù)性、可微性、可積性三個(gè)方面討論最一般的函數(shù)，包括從微積分學(xué)來看性質(zhì)“不好”的函數(shù)。它所得到的有關(guān)的結(jié)論自然也適用于性質(zhì)“良好”的函數(shù)。實(shí)變函數(shù)論是微積分學(xué)的發(fā)展和深入。函數(shù)可積性的討論是實(shí)變函數(shù)論中最主要的內(nèi)容。它包括H.L.勒貝格的測(cè)度、可測(cè)集、可測(cè)函數(shù)和積分以及少許更一般的勒貝格-斯蒂爾杰斯測(cè)度和積分的理論（見勒貝格積分）。這種積分比黎曼積分是更為普遍適用和更為有效的工具，例如微積分基本定理以及積分與極限變換次序。學(xué)生通過實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)，了解勒貝格積分與黎曼積分的區(qū)別與聯(lián)系，進(jìn)而掌握研究問題的一些理論和方法，對(duì)學(xué)生從事以后的科學(xué)研究工作是大有幫助的。3．教師簡(jiǎn)介4．先修課程《數(shù)學(xué)分析》是本課程的先修課程，與本課程平行開設(shè)的有聯(lián)系的課程有概率論以本課程為基礎(chǔ)的后續(xù)課程主要是《泛函分析》，其它如拓?fù)鋵W(xué)等課程也不同程度地用的實(shí)變函數(shù)的知識(shí)。5．課程目標(biāo)5.1知識(shí)與技能方面1、掌握近代微積分學(xué)-勒貝格微積分理論，即掌握Lebesgue測(cè)度和Lebesgue積分的基本理論，加深對(duì)微積分理論和中學(xué)數(shù)學(xué)有關(guān)內(nèi)容的理解和掌握；2、加強(qiáng)與數(shù)學(xué)分析中的微積分理論的聯(lián)系與對(duì)比，理解勒貝格積分理論的優(yōu)越性及其對(duì)近代數(shù)學(xué)理論的影響3、培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力和邏輯思維能力，為后續(xù)課程（泛函分析）和現(xiàn)代數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ)。5.2過程與方法方面以課題講授為主，充分運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)進(jìn)行多媒體教學(xué)，提供直觀生動(dòng)的圖表資料以加深理解，同時(shí)結(jié)合習(xí)題課和現(xiàn)代應(yīng)用背景加以鞏固。5.3情感、態(tài)度與價(jià)值觀方面教學(xué)要進(jìn)行“知識(shí)與技能，過程與方法，情感態(tài)度與價(jià)值觀”的整合。不僅追求“知識(shí)和技能”的質(zhì)量，而且崇尚“過程與方法”的完美。學(xué)生掌握學(xué)習(xí)過程和方法，比學(xué)生得到標(biāo)準(zhǔn)正確的答案更重要。方法是能力，方法是人終身受益的工具。過程是產(chǎn)生價(jià)值的媒體，沒有過程就沒有認(rèn)知的發(fā)展，沒有過程就沒有情感、態(tài)度、價(jià)值觀的升華。只有在過程中，學(xué)生才能形成正確的價(jià)值取向，培養(yǎng)社會(huì)責(zé)任感，形成正確的世界觀、人生觀；學(xué)生才能學(xué)會(huì)做人，學(xué)會(huì)生存，學(xué)會(huì)創(chuàng)造的本領(lǐng)。6．課程內(nèi)容6.1課程的內(nèi)容概要第一章集合8學(xué)時(shí)第一講1、集合的概念2、集合的交、并、差的運(yùn)算3、集列的極限第二講映射與基數(shù)1、比較集合中元素多少的方法2、映射3、集合的基數(shù)第三講可列集1、可列集及其運(yùn)算2、有理數(shù)集是可列集第四講不可列無限集1、不可列無限集-連續(xù)集2、P進(jìn)位小數(shù)要求：1.熟練掌握集合的并，交，差，余等運(yùn)算，掌握集列的上，下限集和極限集的概念及求法。2.正確理解集合的對(duì)等和基數(shù)概念，掌握證明兩集合對(duì)等的幾種常用方法（一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，對(duì)等的性質(zhì)，伯恩斯坦定理等）。3.熟悉可列集和基數(shù)為C的集合的有關(guān)性質(zhì)，以及這兩類集合的常見的例子。掌握可列集的幾種證明方法。會(huì)求集合的勢(shì)。4.掌握冪集的概念，了解最大基數(shù)集是不存在的。第二章點(diǎn)集論6學(xué)時(shí)第五講聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)1、中的距離、有界集和鄰域2、聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、孤立點(diǎn)第六講開集、閉集、完備集1、開集、閉集與完備集的定義及運(yùn)算2、直線上開集、閉集與完備集的構(gòu)造第七講點(diǎn)集間的距離與康托集1、點(diǎn)集間的距離2、康托集要求：1.正確理解并掌握有關(guān)點(diǎn)集的一些重要概念，如內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，聚點(diǎn)，界點(diǎn)，孤立點(diǎn)，導(dǎo)集，閉包，開集，閉集，自密集，完備集等以及相互間的關(guān)系。2.熟悉開集，閉集的性質(zhì)，掌握直線上開集，閉集的構(gòu)造，了解直線上自密集，完備集的證明方法。3.熟悉一個(gè)重要點(diǎn)集—Cantor集。4.了解點(diǎn)集間的距離的定義，距離可達(dá)定理，隔離性定理。第三章測(cè)度論6學(xué)時(shí)第八講勒貝格測(cè)度（1）1、勒貝格外測(cè)度；2、勒貝格內(nèi)側(cè)度；3、勒貝格可測(cè)集的定義第九講勒貝格測(cè)度（2）1、勒貝格可測(cè)集的判定2、勒貝格可測(cè)集的運(yùn)算性質(zhì)第十講可測(cè)集的構(gòu)造1、常見的勒貝格可測(cè)集2、勒貝格可測(cè)集的構(gòu)造要求：1.正確理解并掌握內(nèi)測(cè)度，外測(cè)度，測(cè)度，可測(cè)集的定義，熟悉可測(cè)集的性質(zhì)。2.掌握G集，F(xiàn)集，波雷爾集的定義，了解它們與可測(cè)集的關(guān)系。3.掌握可測(cè)集的卡氏條件。4.了解高維測(cè)度與抽象測(cè)度。第四章可測(cè)函數(shù)8學(xué)時(shí)第十一講可測(cè)函數(shù)（1）1、點(diǎn)集上的函數(shù)2、可測(cè)函數(shù)的定義及判定第十二講可測(cè)函數(shù)（2）1、可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2、可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系第十三講可測(cè)函數(shù)列的收斂性1、幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系2、依測(cè)度收斂及其同幾乎處處收斂的關(guān)系第十四講可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造要求：1.正確理解并掌握連續(xù)函數(shù),絕對(duì)連續(xù)函數(shù),單調(diào)函數(shù),有界變差函數(shù),簡(jiǎn)單函數(shù)的定義,熟悉它們的性質(zhì),掌握它們的關(guān)系,會(huì)求全變差。2.掌握近代數(shù)學(xué)的函數(shù)概念,了解約當(dāng)曲線,皮亞諾曲線,可求長(zhǎng)曲線。3.理解并掌握可測(cè)函數(shù)的定義及幾種等價(jià)定義，熟悉可測(cè)函數(shù)的性質(zhì)。4.熟悉可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系。5.掌握葉果洛夫定理及逆定理，魯金定理及逆定理。6.正確理解并掌握可測(cè)函數(shù)列的三種收斂性（幾乎處處收斂，近一致收斂，測(cè)度收斂），把握它們的區(qū)別與聯(lián)系。第五章勒貝格積分14學(xué)時(shí)第十五講測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)的積分1、為什么要建立勒貝格積分2、測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)勒貝格積分的定義3、測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)勒貝格可積的充分必要條件第十六講有界函數(shù)積分的初等性質(zhì)1、測(cè)度有限的有界函數(shù)積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)2、區(qū)間上有界函數(shù)勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系第十七講一般可測(cè)集上一般函數(shù)的積分（1）1、一般可測(cè)集上一般函數(shù)勒貝格積分的定義2、我們要介紹勒貝格積分的性質(zhì)第十八講一般可測(cè)集上一般函數(shù)的積分（2）勒貝格積分的性質(zhì)第十九講積分極限定理1、積分與極限交換順序的定理2、介紹積分極限定理的應(yīng)用第二十講乘積空間與富比尼定理（1）乘積空間的測(cè)度第二十一講乘積空間與富比尼定理（2）1、非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的幾何意義2、富比尼定理要求：1.理解并掌握一般可測(cè)函數(shù)的積分，L可積函數(shù)的定義，熟悉可積函數(shù)的性質(zhì)。2.掌握三大收斂定理：Levi定理，F(xiàn)atou定理，Lebesgue控制收斂定理及其推論，明確三大收斂定理的等價(jià)性。3.理解R積分與L積分的關(guān)系，能利用它們的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，求極限。4.掌握原函數(shù)存在定理和牛頓—萊不尼茲公式成立的充要條件。5.了解建立L積分的另一方案。第六章微分與不定積分4學(xué)時(shí)第二十二講微分與不定積分（1）1、單調(diào)函數(shù)2、有界變差函數(shù)及其性質(zhì)第二十三講微分與不定積分（2）不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)要求：1.掌握單調(diào)函數(shù)的定義，有界變差函數(shù)及其性質(zhì)。2.理解不定積分以及絕對(duì)連續(xù)函數(shù)。第七章總復(fù)習(xí)2學(xué)時(shí)第二十四講總復(fù)習(xí)1、各章主要內(nèi)容小結(jié)2、題型練習(xí)要求：1.掌握各章的主要內(nèi)容2.掌握各章主要的習(xí)題6.2教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)第一章重點(diǎn)是對(duì)等與可數(shù)、不可數(shù)集，難點(diǎn)是集合分析的方法；第二章重點(diǎn)是開集閉集的基本性質(zhì)及判定，難點(diǎn)是直線上開集的構(gòu)造；第三章重點(diǎn)是可測(cè)集的概念和性質(zhì)，難點(diǎn)是不可測(cè)集；第四章重點(diǎn)是可測(cè)函數(shù)的概念和性質(zhì)，可測(cè)函數(shù)列幾種不同收斂的概念，難點(diǎn)是可測(cè)函數(shù)列幾種不同收斂；第五章重點(diǎn)是Levi定理、Fatou定理、Lebesgue控制收斂定理、Fubin定理，難點(diǎn)是靈活應(yīng)用Levi定理、Fatou定理、Lebesgue控制收斂定理、Fubin定理；第六章重點(diǎn)是有界變差函數(shù)與全連續(xù)函數(shù)的概念，難點(diǎn)是有界變差函數(shù)的可導(dǎo)性及正規(guī)分解和Lebesgue分解。6.3學(xué)時(shí)安排教學(xué)章節(jié)講課學(xué)時(shí)教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)第一章集合8學(xué)時(shí)第一講1、集合的概念2、集合的交、并、差的運(yùn)算3、集列的極限2重點(diǎn)：集列的極限難點(diǎn)：集列的極限，包括集列的上極限，下極限的求解第二講映射與基數(shù)1、比較集合中元素多少的方法2、映射3、集合的基數(shù)2重點(diǎn)：集合的基數(shù)（伯恩斯坦定理）難點(diǎn)：集合的基數(shù)，如何建立一個(gè)到已知集合的雙射，計(jì)算集合的基數(shù)第三講可列集1、可列集及其運(yùn)算2、有理數(shù)集是可列集2重點(diǎn)：可列集及其運(yùn)算難點(diǎn)：可列集及其運(yùn)算，有限并，可數(shù)并等第四講不可列無限集1、不可列無限集-連續(xù)集2、P進(jìn)位小數(shù)2重點(diǎn)：不可列無限集-連續(xù)集難點(diǎn)：P進(jìn)位小數(shù)本章小結(jié)、習(xí)題課第二章點(diǎn)集論6學(xué)時(shí)第五講聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)1、中的距離、有界集和鄰域2、聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、孤立點(diǎn)2重點(diǎn)：聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、孤立點(diǎn)難點(diǎn)：聚點(diǎn)、內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、孤立點(diǎn)，理解聚點(diǎn)與內(nèi)點(diǎn)，邊界點(diǎn)與孤立點(diǎn)這兩對(duì)的區(qū)別與聯(lián)系第六講開集、閉集、完備集1、開集、閉集與完備集的定義及運(yùn)算2、直線上開集、閉集與完備集的構(gòu)造2重點(diǎn)：開集、閉集與完備集的定義及運(yùn)算難點(diǎn)：開集、閉集與完備集的定義及運(yùn)算第七講點(diǎn)集間的距離與康托集1、點(diǎn)集間的距離2、康托集2重點(diǎn)：康托集難點(diǎn)：康托集，包括康托集的構(gòu)造，證明它是沒有內(nèi)點(diǎn)的完備集，且基數(shù)為c本章小結(jié)、習(xí)題課第三章測(cè)度論6學(xué)時(shí)第八講勒貝格測(cè)度（1）1、勒貝格外測(cè)度；2、勒貝格內(nèi)側(cè)度；3、勒貝格可測(cè)集的定義2重點(diǎn)：勒貝格可測(cè)集的定義難點(diǎn)：勒貝格外測(cè)度,理解外側(cè)度的由來，從而掌握可測(cè)集的定義（卡氏條件）第九講勒貝格測(cè)度（2）1、勒貝格可測(cè)集的判定2、勒貝格可測(cè)集的運(yùn)算性質(zhì)2重點(diǎn)：勒貝格可測(cè)集的判定難點(diǎn)：勒貝格可測(cè)集的判定，第十講可測(cè)集的構(gòu)造1、常見的勒貝格可測(cè)集2、勒貝格可測(cè)集的構(gòu)造2重點(diǎn)：勒貝格可測(cè)集的構(gòu)造難點(diǎn)：勒貝格可測(cè)集的構(gòu)造，本章小結(jié)、習(xí)題課第四章可測(cè)函數(shù)8學(xué)時(shí)第十一講可測(cè)函數(shù)（1）1、點(diǎn)集上的函數(shù)2、可測(cè)函數(shù)的定義及判定2重點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的定義及判定難點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的定義及判定，依靠可測(cè)集建立的，連續(xù)函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)第十二講可測(cè)函數(shù)（2）1、可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2、可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系2重點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)難點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)與簡(jiǎn)單函數(shù)的關(guān)系，可測(cè)函數(shù)可由簡(jiǎn)單函數(shù)列來逼近第十三講可測(cè)函數(shù)列的收斂性1、幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系2、依測(cè)度收斂及其同幾乎處處收斂的關(guān)系2重點(diǎn)：幾乎處處收斂與一致收斂的關(guān)系（葉果洛夫定理）難點(diǎn)：依測(cè)度收斂及其同幾乎處處收斂的關(guān)系（里斯定理）第十四講可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造2重點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造難點(diǎn)：可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造本章小結(jié)、習(xí)題課第五章勒貝格積分14學(xué)時(shí)第十五講測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)的積分1、為什么要建立勒貝格積分2、測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)勒貝格積分的定義3、測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)勒貝格可積的充分必要條件2重點(diǎn)：測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)勒貝格可積的充分必要條件難點(diǎn)：測(cè)度有限的集合上有界函數(shù)勒貝格可積的充分必要條件第十六講有界函數(shù)積分的初等性質(zhì)1、測(cè)度有限的有界函數(shù)積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)2、區(qū)間上有界函數(shù)勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系2重點(diǎn)：測(cè)度有限的有界函數(shù)積分的簡(jiǎn)單性質(zhì)難點(diǎn)：區(qū)間上有界函數(shù)勒貝格積分與黎曼積分的關(guān)系第十七講一般可測(cè)集上一般函數(shù)的積分（1）1、一般可測(cè)集上一般函數(shù)勒貝格積分的定義2、勒貝格積分的性質(zhì)2重點(diǎn)：一般可測(cè)集上一般函數(shù)勒貝格積分的定義難點(diǎn)：一般可測(cè)集上一般函數(shù)勒貝格積分的定義第十八講一般可測(cè)集上一般函數(shù)的積分（2）勒貝格積分的性質(zhì)2重點(diǎn)：勒貝格積分的性質(zhì)難點(diǎn)：勒貝格積分的性質(zhì)第十九講積分極限定理1、積分與極限交換順序的定理2、積分極限定理的應(yīng)用2重點(diǎn)：勒貝格控制收斂定理難點(diǎn)：勒貝格控制收斂定理的證明第二十講乘積空間與富比尼定理（1）乘積空間的測(cè)度2重點(diǎn)：乘積空間的測(cè)度難點(diǎn)：乘積空間的測(cè)度第二十一講乘積空間與富比尼定理（2）1、非負(fù)可測(cè)函數(shù)積分的幾何意義2、富比尼定理2重點(diǎn)：富比尼定理難點(diǎn)：富比尼定理的證明本章小結(jié)、習(xí)題課第六章微分與不定積分4學(xué)時(shí)第二十二講微分與不定積分（1）1、單調(diào)函數(shù)2、有界變差函數(shù)及其性質(zhì)2重點(diǎn)：有界變差函數(shù)及其性質(zhì)難點(diǎn)：有界變差函數(shù)及其性質(zhì)第二十三講微分與不定積分（2）不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)2重點(diǎn)：不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)難點(diǎn)：不定積分與絕對(duì)連續(xù)函數(shù)本章小結(jié)、習(xí)題課第七章總復(fù)習(xí)2學(xué)時(shí)第二十四講總復(fù)習(xí)1、各章主要內(nèi)容小結(jié)2、題型練習(xí)2重點(diǎn)：各章主要內(nèi)容小結(jié)難點(diǎn)：題型練習(xí)7.課程教學(xué)實(shí)施7.1教學(xué)單元一.教學(xué)目標(biāo)：掌握集合的概念，集合的交、并、差的運(yùn)算以及集列的極限7.1.教學(xué)內(nèi)容：第一講1、集合的概念2、集合的交、并、差的運(yùn)算3、集列的極限教學(xué)重點(diǎn)：集列的極限教學(xué)難點(diǎn)：集列的極限7.1.第一講1、集合的概念2、集合的交、并、差的運(yùn)算3、集列的極限從這一講開始，由我來給大家介紹《實(shí)變函數(shù)》這門課程。首先，對(duì)《實(shí)變函數(shù)》這門課程作一下簡(jiǎn)單的介紹。大家在《數(shù)學(xué)分析》或者在《高等數(shù)學(xué)》中學(xué)習(xí)過黎曼積分，隨著微積分理論的發(fā)展，人們逐漸認(rèn)識(shí)到黎曼積分的局限性。黎曼積分的局限性主要表現(xiàn)在以下兩個(gè)方面：一、黎曼積分對(duì)被積函數(shù)的連續(xù)性依賴太強(qiáng)，或者說黎曼積分是對(duì)基本上連續(xù)的函數(shù)建立的。二、黎曼積分在處理積分與極限換序這類問題上所要求的條件相當(dāng)嚴(yán)格，或者說相當(dāng)苛刻，一般要求一致收斂，當(dāng)然，還包括其他一些方面。正是由于黎曼積分的這種局限性，使得它在應(yīng)用中受到很大的限制。因此，長(zhǎng)時(shí)期以來，人們就致力于改革的嘗試，希望提出一種新的積分來彌補(bǔ)黎曼積分的不足。一直到20世紀(jì)初，法國(guó)數(shù)學(xué)家勒貝格提出了一種新的積分。這就是后來被人們稱之為的勒貝格積分。勒貝格積分在很大程度上彌補(bǔ)了黎曼積分的不足，而且在今天，在近代數(shù)學(xué)的很多領(lǐng)域里的研究中研究成為不可缺少的工具?！秾?shí)變函數(shù)》課程的中心內(nèi)容，就是來建立和研究這種新的積分。為了建立勒貝格積分，需要做一些必要的準(zhǔn)備。因此，需要介紹集合和測(cè)度的一些基本知識(shí)。而集合理論和測(cè)度理論本身，也包含著豐富而精彩的內(nèi)容。因此，它們各自又獨(dú)立的成為數(shù)學(xué)分支，這就是集合論和測(cè)度論?！秾?shí)變函數(shù)》課程可以分成五個(gè)部分。第一部分就是介紹集合的一般知識(shí)，第二部分介紹n維歐式空間中的點(diǎn)集理論，第三部分介紹測(cè)度理論，第四部分介紹勒貝格可測(cè)函數(shù)，可測(cè)函數(shù)是《數(shù)學(xué)分析》中連續(xù)函數(shù)的推廣，第五部分就是勒貝格積分。我們先來介紹第一部分集合的基本知識(shí)。什么是集合論呢？簡(jiǎn)單的說，就是研究集合一般性質(zhì)的數(shù)學(xué)分支，稱它為集合論。集合論是19世紀(jì)末和20世紀(jì)初才發(fā)展起來的，德國(guó)的著名數(shù)學(xué)家康托是這個(gè)理論的奠基人。集合的概念和集合的思想已經(jīng)滲透到所有的數(shù)學(xué)分支，成為近代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，當(dāng)然，也是《實(shí)變函數(shù)》的基礎(chǔ)。這部分內(nèi)容呢，一共有4講，這是第1講：集合及其運(yùn)算。這一講呢，主要講3個(gè)問題，第一集合的概念，第二集合的并、交、補(bǔ)運(yùn)算，第三集列的極限。首先講，集合的概念，關(guān)于集合我們給出如下的描述。凡具有某種性質(zhì)的、確定的、有區(qū)別的事物的全體就是一個(gè)集合（或集），其中每一個(gè)個(gè)體事物稱為這個(gè)集合的元素（或元）。通常我們用R表示全體實(shí)數(shù)集合，Q表示全體有理數(shù)集合，N表示全體正整數(shù)集合。一般地，我們用大些字母A,B,X,Y,…等表示集合，用小寫字母a,b,x,y,…表示元素。設(shè)A是一集合，a是一事物，若a是A的一個(gè)事物，則稱a為A的元素，或a屬于A，記作。若a不是A的一個(gè)事物，則稱a不是A的元素，記作或。不含任何元素的集合稱為空集。例如：“方程的實(shí)根的全體”就是空集。我們用表示空集。只含有有限個(gè)元素的集合稱為有限集?？占彩怯邢藜?。不是有限集的集合稱為無限集。常用的集合表示方法有兩種：1、列舉法2、描述法列舉法：如果集合A的元素能夠一一列舉出來，我們可以把這型元素放在這型元素放在花括號(hào){}里面，并用逗點(diǎn)把它們彼此分開。例如：正整數(shù)集合：{1,2，…,n,…},方程的根的集合：{-1,1}描述法：用描述集合元素的共同特征來表示集合的方法叫做描述法。如以或表示具有性質(zhì)P的事物組成的集合。例如：方程的根的集合可以表示為即集合。設(shè)是集合E上的實(shí)值函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)c,表示E中使得函數(shù)的函數(shù)值大于c的所有自變量x組成的集合。定義1.1.11設(shè)A.B是集合，若屬于A的元素都屬于B，則稱A是B的子集，記作(讀作A含于B)或(讀作B包含A)2設(shè)A是B的子集，而B中又有元素不屬于A時(shí)，稱A為B的真子集。3若A為B的子集，同時(shí)B又是A的子集（即A和B由相同的元素組成），則稱A和B相等，記作A=B。否則稱A和B不相等，記作。例如，正整數(shù)集N是有理數(shù)Q的子集，并且是真子集，又若設(shè)，而，則。注意：1空集是任何集合的子集，即對(duì)任意的集合A,總有。2從屬關(guān)系“”與包含關(guān)系“”是兩個(gè)不同的概念，不能混淆，前者指的是元素與集合的關(guān)系，后者則是表示兩個(gè)集合之間的一種關(guān)系。定理1.1.1對(duì)任意集合A,B,C,恒有1；（自反性）2若且，則；（反對(duì)稱性）3若且，則；（傳遞性）定義1.1.2設(shè)A，B是兩個(gè)集合，由A中的元素和B中的元素全體所組成的集合稱為A與B的并集或A與B的并，記作。即。由同時(shí)屬于A和B的那些元素所組成的集合稱為A與B的交集或A與B的交，記作，記作。圖示設(shè)D是一個(gè)集合（有限集或無限集），如果對(duì)D中每個(gè)元素，都有一個(gè)集合與之對(duì)應(yīng)，則這些組成的集合，稱為以D為指標(biāo)集的集族，記作或也可簡(jiǎn)記作。例如，設(shè)N為正整數(shù)集，對(duì)任意，都有一個(gè)集，則或就是以N為指標(biāo)集的集族，即通常簡(jiǎn)記為。對(duì)集族的并集與交集，通常分別記作與而的并集與交集分別記作與當(dāng)且僅當(dāng)x屬于中某一個(gè)集合；當(dāng)且僅當(dāng)x屬于中每一個(gè)集合。例1設(shè)則1；2。證1設(shè)，則存在，使得，從而，故。設(shè)，從而，故。綜上證得。2設(shè)，則。于是對(duì)任意的n，都有，從而，故。設(shè)，不妨設(shè)。則存在，使得，即，從而，故。綜上證得。定理1.1.2對(duì)任意集合A,B,C,下列諸運(yùn)算律成立：1；（交換律）2；(結(jié)合律)3；(分配律)4；（冪等律）定理1.1.3設(shè)A,B是二集合，是一列集合，則1；。2若，則。3若，則。4；5。定義1.1.3設(shè)A,B是二集合，由屬于A而不屬于B的元素組成的集合稱為集合A減集合B的差集或差，記作或，即當(dāng)時(shí)，差集稱為B關(guān)于A的補(bǔ)集或余集,記作。當(dāng)研究某一問題時(shí)，所涉及的一切集合都是某個(gè)取定集合S的子集，這時(shí)稱S是基本集或全集。如果已明確基本集S，則集A關(guān)于S的補(bǔ)集可簡(jiǎn)單地稱為集A的補(bǔ)集，并簡(jiǎn)記為。定理1.1.41；2，3當(dāng)且僅當(dāng)45證僅證（5）。設(shè)，則且，即且，從而，證得；設(shè)，則且，即且，從而，證得。綜上證得。定理1.1.5（笛.摩根（DeMorgan）公式）設(shè)A，B是二集合，是一集族，則1；；2；例2證明1；2證1；（由定理1.1.4之（5））（由定理1.1.5之（2）（由定理1.1.3之（5）（由定理1.1.4之（5）2集列的極限設(shè)是一列集合，由屬于上述集列中無限多個(gè)集的那種元素的全體組成的集稱為這一集合的上極限或上限集，記作或。它表示為對(duì)于集列，那種除有限個(gè)集合外，屬于集列中其余每個(gè)集合的全體組成的集稱為這一集列的下極限或下限集，記作或。它表示為顯然，例3設(shè)是如下一列點(diǎn)集：則例4設(shè)類似于上例，可知定理1.1.5設(shè)是一列集合，則如果集列的上極限和下極限相等，則稱集列收斂，并稱集合是集列的極限，記為如果集列滿足則稱是單調(diào)增加（減少）集列。單調(diào)增加集列與單調(diào)減少集列稱為單調(diào)集列。定理1.1.7單調(diào)集列必是收斂的，如果是單調(diào)增加的，那么如果是單調(diào)減少的，那么7.1.5教學(xué)方法：講授法7.1.6作業(yè)安排及課后反思課后反思：1．實(shí)變函數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的作用。2．怎樣學(xué)好實(shí)變函數(shù)。7.1.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．新學(xué)期的打算，怎樣學(xué)好〈〈實(shí)變函數(shù)〉〉？2．復(fù)習(xí)以前的數(shù)學(xué)分析知識(shí)7.1.8參考資料《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(1—6章),程其襄等編,高等教育出版社，p5-15。7.2教學(xué)單元二7.27.2教學(xué)目標(biāo)：掌握映射的概念以及集合的基數(shù)的求法7.2教學(xué)內(nèi)容：第二講映射與基數(shù)1、比較集合中元素多少的方法2、映射3、集合的基數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：集合的基數(shù)教學(xué)難點(diǎn)：集合的基數(shù)7.2第二講映射與基數(shù)1、比較集合中元素多少的方法2、映射3、集合的基數(shù)對(duì)于兩個(gè)有限集合，要比較它們所含元素的多少，那么一般的有兩種方法，比如考察一個(gè)教室中人數(shù)和座位數(shù)是否相等，如果不相等，是人數(shù)多呢還是座位數(shù)多呢，那么最簡(jiǎn)單的就是把他們分別數(shù)一下，自然就知道結(jié)果了。也可以采取另外一種方法，就是呢，讓每個(gè)人去找一個(gè)座位，如果最后每一個(gè)人都有一個(gè)座位，同時(shí)每個(gè)座位上都有一個(gè)人，那么自然就知道這個(gè)人數(shù)和座位數(shù)是一樣多的。如果最后呢，每個(gè)人都有一個(gè)座位，而且還有座位上沒有人，那么自然知道人數(shù)比座位數(shù)少。反過來，如果每個(gè)人都有一個(gè)座位，而且還有的人沒有座位還站著，那么自然知道人數(shù)比座位數(shù)要多。對(duì)于比較兩個(gè)有限集合元素多少的時(shí)候，這兩種方法都是行之有效的。那么對(duì)無限集合來說呢，前一種方法就行不通了。這是因?yàn)闊o限集合里不能數(shù)數(shù)，所以考慮用第二種方法。實(shí)際上，比較無限集合元素多少的時(shí)候，也只能用第二種辦法。這就是我們?cè)谙乱欢我懻摰膯栴}。這就是我們這一講的第二個(gè)問題，映射。定義1.2.1設(shè)A，B是兩個(gè)非空集合，若存在一個(gè)法則f,使對(duì)每個(gè)，都有唯一確定的與之對(duì)應(yīng)，則稱f為A到B的一個(gè)映射（也稱映照）。記為。y稱為x在映射f下的象。記為。并用符號(hào)表示。x稱為y的一個(gè)原象。A稱為f的定義域。稱為映射f的值域。定義1.2.2設(shè)f是A到B的一個(gè)映射，1如果對(duì)任意，。若，便有，則稱f是A到B的單射。2如果，則稱f是A到B的滿射，或稱f是A到B上的映射。3如果f既是單射又是滿射，則稱f是A到B的雙射。或稱f是A到B上的一一映射。4如果f是A到B的雙射，則稱對(duì)任意，有唯一的使。從而確定一個(gè)從B到A的映射g。即若，則，稱g是f的逆映射。記為，并表示成，。若給定兩個(gè)映射，，則復(fù)合映射由下式定義，對(duì)任意，。例1設(shè)，，由下面關(guān)系式定義：則f是A到B的雙射，其逆映射為設(shè)，是A的子集，則有：1；2；3當(dāng)且僅當(dāng)f是單射時(shí)，對(duì)任意，，恒有。證1，，顯然有故。若，則存在，使。因或，故或。即，從而有?？傊?。2由及，顯然有故。3設(shè)f是單射，，則存在及，使，因f是單射，故，所以，，即，再由2。設(shè)對(duì)任意，，恒有。若f不是單射，則存在，，，而。令，，則有，于是。另一方面，，且，因此。從而矛盾。故f是單射。定義1.2.3設(shè)A,B是兩個(gè)集合，若存在一個(gè)A到B的雙射，則稱A與B對(duì)等，記作。規(guī)定空集與其自身對(duì)等。設(shè)。若集合A為空集或與某個(gè)對(duì)等，則稱為A有限集，其中n為元素的個(gè)數(shù)(規(guī)定空集的元素個(gè)數(shù)為零)。不是有限集的集合稱為無限集。比如，，，，f顯然是雙射。故，但。例2設(shè)A是一個(gè)集合，令；，，稱此映射為恒等映射。I是雙射，故任意集合必與其自身對(duì)等。例3。因?yàn)榇嬖陔p射，，。例4。因?yàn)榇嬖陔p射，，。例5設(shè)，則。因?yàn)榇嬖陔p射，，無限集合可以和它的一個(gè)真子集對(duì)等，這是同有限集合的本質(zhì)區(qū)別。關(guān)于對(duì)等，我們有下面的定理：定理1.2.1對(duì)等關(guān)系有如下性質(zhì)：1自反性；2對(duì)稱性若，則；3傳遞性若，，則。定理1.2.2若集列，滿足：1對(duì)任意，有，；2對(duì)任意，有，則證因，故有雙射。令。當(dāng)時(shí)，，則f是A到B的雙射。先證f是滿射，實(shí)際上，對(duì)任意，必有使，則由，有，使，故f是滿射。再證f是單射。反證，若f不是單射，存在，，，而。由f的定義，，不屬于同一，即，，，此時(shí)，，可知，矛盾。故f是單射。定理1.2.3（伯恩斯坦（F.Bernstain）定理）設(shè)A,B是二集合，，，若，且，則。證設(shè)f是A到的雙射，g是B到的雙射。令，，，。。。。。。因?yàn)閒與g是雙射，故，，，等互不相交，，，，等也互不相交。由映射f知，，（）。故。另一方面，由映射g知，，（）。故。但是從及知，所以。從而定理得證。注：直接證明兩個(gè)集合對(duì)等不好證明的時(shí)候，那么就可以去證明集合A與B的一個(gè)子集對(duì)等，B與A的一個(gè)子集對(duì)等，再有伯恩斯坦定理，A與B就對(duì)等。后面我們會(huì)看到伯恩斯坦定理在證明集合對(duì)等的問題上是非常行之有效的。下面我們看伯恩斯坦定理的推論：推論1.2.1若，，則，。證，，由伯恩斯坦定理知。再由對(duì)等關(guān)系的傳遞性知。下面我們來討論集合的基數(shù)：若兩個(gè)集合A和B對(duì)等，則稱它們具有相同的基數(shù)。集合A的基數(shù)記為，A和B的基數(shù)相同記為。前面我們講過對(duì)等關(guān)系的反身性，對(duì)稱性和傳遞性，對(duì)于基數(shù)也有相同的性質(zhì)。如果，則；如果，，則。集合的基數(shù)也稱為集合的勢(shì)。兩個(gè)有限集合，它們的基數(shù)相等是說它們有相同的元素個(gè)數(shù)，如果集合A有N個(gè)元素，那么和A對(duì)等的或者基數(shù)相等的這類集合都是含有N個(gè)元素的這樣的集合的全體。也就是說，N是這類集合的一個(gè)共同標(biāo)志，那也就是說呢，它們的基數(shù)是N。對(duì)于有限集合來說，這個(gè)集合的基數(shù)就是它所含元素的個(gè)數(shù)。對(duì)無限集合，它的基數(shù)呢，是有限集合元素?cái)?shù)目的推廣。我們知道，對(duì)有限集合來說，元素的個(gè)數(shù)有多有少，那么相應(yīng)的對(duì)有限集合來說，基數(shù)呢，就有大有小。對(duì)無限集合來說，我們后面也會(huì)看到，它們所含元素的多寡程度也是不一樣的。因此呢，就需要定義基數(shù)的大小。請(qǐng)大家看定義1.2.4：定義1.2.4設(shè)A，B是兩個(gè)集合，若A與B不對(duì)等，但存在，使，則稱A的基數(shù)小于B的基數(shù)或B的基數(shù)大于A的基數(shù)。記作或。對(duì)任意兩個(gè)集合A,B，下面三個(gè)關(guān)系，，中不可能有兩個(gè)同時(shí)成立。注：其實(shí)呢，如果，那么和是不可能出現(xiàn)的，也就是說與不可能同時(shí)成立，同時(shí)呢，與也不能同時(shí)成立。然后，我們用伯恩斯坦定理可以證明，和也不能同時(shí)成立。那么，如果和同時(shí)成立的話，那么按照基數(shù)大小的定義，A應(yīng)該同B的一個(gè)子集對(duì)等，B應(yīng)該同A的一個(gè)子集對(duì)等，那么由伯恩斯坦定理，A和B就應(yīng)該是對(duì)等的。因此呢，，這與以及矛盾。這樣我們就證明了這三個(gè)式子當(dāng)中，不可能有兩個(gè)同時(shí)成立。那么關(guān)于基數(shù)大小的比較，還有一個(gè)重要問題沒有解決，對(duì)任意兩個(gè)集合A和B，，，三者之中必有一個(gè)成立。練習(xí)若，則。證因，，且，，再由假設(shè)，于是由定理1.2.2便知。作本講總結(jié)：這一講我們主要講了三個(gè)問題：一、比較集合中元素多少的方法；二、映射；三、集合的基數(shù)，特別是我們給出了基數(shù)大小的概念，對(duì)有限集合來說，它的基數(shù)就是它所含元素的個(gè)數(shù)，而無限集合的基數(shù)是有限集合元素個(gè)數(shù)這個(gè)概念的推廣，它是反映這個(gè)集合所含元素多寡程度的，那么這一講的內(nèi)容我們就講到這。7.2講授法7.2作業(yè)：習(xí)題110,12課后反思：1．如何建立雙射。2．怎樣說明集合的基數(shù)。7.21．復(fù)習(xí)以前集合的知識(shí)。2．了解如何建立雙射。7.2《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(1—6章),程其襄等編,高等教育出版社，p15-19。7.3教學(xué)單元三7.37.3教學(xué)目標(biāo)：掌握可列集的概念以及它的運(yùn)算7.3教學(xué)內(nèi)容：第三講可列集1、可列集及其運(yùn)算2、有理數(shù)集是可列集教學(xué)重點(diǎn)：可列集及其運(yùn)算教學(xué)難點(diǎn)：可列集及其運(yùn)算7.3第三講可列集1、可列集及其運(yùn)算2、有理數(shù)集是可列集所謂可列集就是與正整數(shù)集合對(duì)等的一類無限集合，那么這一講內(nèi)容包括兩個(gè)方面：一、可列集及其運(yùn)算；二、有理數(shù)集是可列集，給出一個(gè)重要的可列集的例子就是有理數(shù)集。我們來講第一個(gè)內(nèi)容，可列集及其運(yùn)算。定義1.3.1凡與正整數(shù)對(duì)等的集合，皆稱之為可列集或可數(shù)集?？闪屑幕鶖?shù)稱為可列基數(shù)，記作a或(希伯來文)。定理1.3.1集合A為可列集的充分必要條件是它的全體元素可排成一個(gè)無窮序列的形式：（1.3.1）證若具有式（1.3.1）的形式，則將A的元素與其下標(biāo)對(duì)應(yīng)，從而得A到N的一個(gè)雙射，所以A是可列集。反之，若A是可列集，則存在A到N的雙射，我們把與對(duì)應(yīng)的元素排在第位，并記作，這就將A寫成了式（1.3.1）的形式。注：這個(gè)定理1.3.1很簡(jiǎn)單，但是呢，它是判斷一個(gè)集合是否可列的非常有效的方法。我們后面會(huì)看到，下面我們給出幾個(gè)可列集的例子。例下列集合都是可列集，，第一個(gè)A，它的元素是1，3，5，一般項(xiàng)是，也就是說呢，A是由正奇數(shù)組成的集合，那么這個(gè)集合它能夠?qū)懗蔁o窮序列的形式，那么按照定理1.3.1就可以知道A呢，是一個(gè)可列集合。我們?cè)倏碆，B，它的元素是1,8,27，一般項(xiàng)是，也就是說，B的元素是由正整數(shù)的立方組成的集合，那么因?yàn)锽呢能夠?qū)懗蔁o窮序列的形式，因此按照定理1.3.1，就可以知道B是一個(gè)可列集合。同樣的，集合C是正整數(shù)集的倒數(shù)，那么它也可以寫成無窮序列的形式，還是應(yīng)用定理1.3.1，集合C也是一個(gè)可列集合。例全體整數(shù)組成的集合Z是可列集那么我們判斷這是不是可列集合呢，看Z能不能寫成一個(gè)無窮序列的形式，那我們這樣呢，我們這樣把Z排成無窮序列的形式，第一個(gè)元素是0，第二個(gè)元素是1，第三個(gè)元素是-1,2，-2，一般項(xiàng)是，，這樣就把全體整數(shù)這個(gè)集合Z排成一個(gè)無窮序列的形式，還是按照定理1.3.1就知道了全體整數(shù)組成的集合Z是一個(gè)可列集合。定理1.3.2任何無限集都包含一個(gè)可列子集。證設(shè)A是無限集，則。任取，由于A是無限集，故。于是可取，顯然，并且。重復(fù)上述作法，假設(shè)已從A中取出個(gè)互異元素。由于A是無限集，故。于是可取，則且與都不相同。由歸納法就得到A中的一無限子集（由定理1.3.1可以得到是一個(gè)可列集，而它又是A的一個(gè)子集，所以它是A的一個(gè)可列子集），它顯然是A的一個(gè)可列子集。注：由這個(gè)定理知道呢，無限集中，可列集合的基數(shù)是最小的，這是因?yàn)?，一般來說，如果A是B的子集，那么A的基數(shù)一定小于等B的基數(shù)，即。這是因?yàn)锳是B的子集，那么有兩種情況：①A與B對(duì)等，即，這種情況下呢，A的基數(shù)等于B的基數(shù)，，②另外一種情況就是，A與B不對(duì)等，但是因?yàn)锳是B的子集，所以A能同B的一個(gè)子集對(duì)等，因此A的基數(shù)小于B的基數(shù)，即。換句話說，A是B的子集，A的基數(shù)要小于或等于B的基數(shù)，那么根據(jù)定理1.3.2，任何一個(gè)無限集都包含一個(gè)可列子集。那么根據(jù)我們剛才的解釋，就知道任何一個(gè)無限集的基數(shù)都大于或等于可列集的基數(shù)。因此，可列集合的基數(shù)在無限集合中，它的基數(shù)是最小的。下面看定理1.3.3：定理1.3.31可列集的子集至多可列（有限或可列）；2若A是可列集，B是有限集且，則為可列集。證1設(shè)是可列集A的子集。若不是有限集，則由定理1.3.2，有可列子集。于是，。根據(jù)伯恩斯坦定理的推論，推論1.2.1，可知，因?yàn)锳是可列集合，即也是可列集合。2因?yàn)锳是可列集，B是有限集，故可將A，B分別記為，，于是，即中的元素可排成無窮序列，所以是可列集。定理1.3.4設(shè)A，B都是可列集，且，則仍是可列集。證因A，B都是可列集，由定理1.3.1，則可分別寫成，，于是可寫成由定理1.3.1，故是可列集。注：一個(gè)集合是可列集的充分必要條件是它能夠?qū)懗蔁o窮序列的形式。那么寫成無窮序列的形式不是唯一的，因?yàn)槟憬o出一個(gè)無窮序列的表示，那么顛倒這個(gè)集合中任何兩項(xiàng)的順序那么就是一種新的表示。推論1.3.1設(shè)A是可列集，B是有限集或可列集，則是可列集。證（沒有，構(gòu)造一個(gè)集合使得與A的交為空集）令，則由定理1.3.3之（1）知為至多可列集，而，，故由前面定理知是可列集。推論1.3.2設(shè)為至多可列集，則也至多為可列集，且若至少有一個(gè)不是有限集，則也必為可列集。定理1.3.5設(shè)皆為可列集，則仍是可列集。證（1）設(shè)，因是可列集，故可寫成于是可按下述順序…，把的全部元素排成各項(xiàng)互異的無限序列。即，從而是可列集。（2）一般情形令，，則，且。由定理1.3.3的（1）知每個(gè)都是至多可列集。如果每個(gè)都是可列集，由（1）可知為可列集。如果有某些是有限集。這時(shí)可將視為一個(gè)可列集的無限子集，因而是可列集。從而證得是可列集。注：到定理1.3.5為止，我們講了本講的第一個(gè)問題，就是可列集及其運(yùn)算。那么在這個(gè)問題里面，我們主要講了兩個(gè)方面的內(nèi)容，一個(gè)是給出了可列集的定義和可列集的等價(jià)條件，其中可列集的等價(jià)條件就是定理1.3.1，我們看出來了，那個(gè)定理非常簡(jiǎn)單，但是呢，在證明可列集或者判斷一個(gè)集合是可列集的時(shí)候是非常有用的。那么，第二個(gè)問題呢，就介紹了可列集的運(yùn)算?？闪屑邢藜牟⑦€是可列集，有限個(gè)可列集的并仍然是可列集，那么一列可列集的并還是可列集，這就是可列集的運(yùn)算性質(zhì)。下面呢，我們給出一個(gè)重要的可列集的例子，就是有理數(shù)集。請(qǐng)看定理1.3.6。定理1.3.6有理數(shù)集Q是可列集。證用，分別表示正有理數(shù)集和負(fù)有理數(shù)集，顯然有，且，故只需證是可列集。（這是因?yàn)槿绻C明了是可列集，，則也是可列集，兩個(gè)可列集的并是可列集，然后可列集和單點(diǎn)集也就是有限集的并還是可列的）。令顯然對(duì)每個(gè)，是可列集。而，由定理1.3.5可知是可列集，從而也是可列集，故是可列集。例1設(shè)M是直線上一族兩兩互不相交的非空開區(qū)間所組成的集合，則M是至多可列集。證由有理數(shù)集的稠密性可知，從每個(gè)開區(qū)間中可取定一個(gè)有理數(shù)，組成一個(gè)集合A。因?yàn)檫@些開區(qū)間互不相交，所以A與M是一一對(duì)應(yīng)的。而A是有理數(shù)集的子集，故至多可列，從而M亦至多可列。定理1.3.7設(shè)A中每個(gè)元素都由n個(gè)相互獨(dú)立的指標(biāo)所決定，而每個(gè)指標(biāo)各自在一個(gè)可列集上獨(dú)立變化，即，則A是可列集。先舉個(gè)例子，平面上坐標(biāo)是有理數(shù)的這樣的點(diǎn)的全體，那么平面上坐標(biāo)是有理數(shù)這樣的點(diǎn)呢，它的指標(biāo)是由兩個(gè)坐標(biāo)決定的，第一個(gè)坐標(biāo)和第二個(gè)坐標(biāo)，而每個(gè)坐標(biāo)呢，都是有理數(shù)，那么它們都各自的取自一個(gè)可列集，那么根據(jù)這個(gè)定理的話，那就是說，平面上坐標(biāo)是有理數(shù)的點(diǎn)的全體就應(yīng)該是可列的。證：用數(shù)學(xué)歸納法。時(shí)定理顯然成立。假設(shè)時(shí)定理成立，需證時(shí)定理成立。設(shè)，A中滿足（不變，固定為）的元素全體記為，則由假設(shè)為一可列集。而由定理1.3.5知，A是可列集。例2平面上坐標(biāo)為有理數(shù)的點(diǎn)的全體所組成的集為一可列集。證設(shè)A表示題給集合。因有理數(shù)集可列，故A中每個(gè)元素可由兩個(gè)獨(dú)立的指標(biāo)所決定，且每個(gè)指標(biāo)各自取遍一個(gè)可列集。由定理1.3.7可知，A是可列集。注：這個(gè)例子的結(jié)論還可以推廣，在三維空間中，坐標(biāo)是有理數(shù)的這樣的點(diǎn)的全體也是可列集。一般地來說，n維歐式空間中的點(diǎn)。其坐標(biāo)為有理數(shù)的全體所組成的集合為可列集。每個(gè)點(diǎn)由n個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)所決定，而每個(gè)坐標(biāo)又取遍有理數(shù)集的全體，所以是可列集。例3整系數(shù)多項(xiàng)式的全體是一可列集。證先固定n，固定n的話，這就是一個(gè)n次多項(xiàng)式，它有n+1個(gè)系數(shù)。固定n,這個(gè)n次多項(xiàng)式，它由n+1個(gè)系數(shù)所決定，這n+1個(gè)系數(shù)都可以取整數(shù)，而整數(shù)集合是可列的。那就是說呢，除了首項(xiàng)以外，首項(xiàng)不能是0以外，其余的都可以取任意一個(gè)整數(shù)。因此呢，n次多項(xiàng)式，由n+1個(gè)系數(shù)所決定，而每個(gè)系數(shù)又各自獨(dú)立的取自一個(gè)可列集合，因此由定理1.3.7，整系數(shù)的n次多項(xiàng)式的全體是可列集，再由定理1.3.5，可列個(gè)可列集的并仍然是可列集，因此所有整系數(shù)多項(xiàng)式的全體是可列集。下面我們給出例3的一個(gè)應(yīng)用，我們先給出定義。整系數(shù)多項(xiàng)式的根稱為代數(shù)數(shù)。代數(shù)數(shù)的全體是可列集。注：由代數(shù)數(shù)的定義可以看出，任意一個(gè)有理數(shù)都是代數(shù)數(shù)，無理數(shù)呢，也可能是代數(shù)數(shù)，比如，那么呢，它就是這個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根。那么類似的，像，等等都是代數(shù)數(shù)。不是說每一個(gè)實(shí)數(shù)都是代數(shù)數(shù)，像，這樣的無理數(shù)呢，就不是代數(shù)數(shù)，這是可以證明的，但是證明比較麻煩。那么現(xiàn)在呢，我們就來說明代數(shù)數(shù)的全體是一個(gè)可列集。我們知道，n次整系數(shù)多項(xiàng)式的根至多是有n個(gè)，也就是說，每一個(gè)整系數(shù)多項(xiàng)式的根都是有限個(gè)，我們前面例3證明了，整系數(shù)多項(xiàng)式的全體是一個(gè)可列集合。那么代數(shù)數(shù)呢，就可以表示成可列個(gè)有限集的并。代數(shù)數(shù)就能表示成可列個(gè)有限集的并，可列個(gè)有限集的并如果作為命題呢，結(jié)論應(yīng)該是至多可列的。就是說，可列個(gè)有限集的并至多是可列的。但是呢，我們前面說明了，所有的有理數(shù)都是代數(shù)數(shù)，那么代數(shù)數(shù)又不能是有限的，因此呢，代數(shù)數(shù)是可列集。那么這一講的內(nèi)容呢，我們就介紹這些，下面呢，我們做幾個(gè)練習(xí)。練習(xí)1、證明：直線上一切端點(diǎn)為有理數(shù)的開區(qū)間組成一個(gè)可列集。證因有理數(shù)集Q可列，所以可設(shè)固定。令則是可列集，而直線上一切端點(diǎn)為有理數(shù)的開區(qū)間組成的集為，這是可列個(gè)可列集的并。因此，由定理1.3.5，它是可列集。2、直線上單調(diào)函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)組成的集合是至多可列的。證不妨設(shè)函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù)，其間斷點(diǎn)組成的集合記為E。對(duì)任意，，不妨設(shè)，于是有。（間斷點(diǎn)，左極限<右極限）令則，從而間斷點(diǎn)集E與一個(gè)互不相交的開區(qū)間族對(duì)等。于是由例1知E是至多可列的。3、設(shè)A是一個(gè)無限集，則必有，使且是可列集。證因?yàn)锳是無限集，所以A必含有可列子集B。設(shè)，顯然，都是的可列子集。令，則，，，，，故由定理1.2.2知，是可列集?？偨Y(jié)：這一講主要研究了一類重要的無限集合，可列集。主要討論了兩個(gè)方面的內(nèi)容，一可列集及其運(yùn)算，二有理數(shù)集合是可列集。有理數(shù)集合是可列的，并且在直線上處處稠密。這是有理數(shù)集合的兩個(gè)重要性質(zhì)，我們后面呢，要時(shí)常的用到它們。7.3.5教學(xué)方法：講授法7.3.6作業(yè)安排及課后反思作業(yè):習(xí)題112,13課后反思：1．可列集的概念。2．可列集的運(yùn)算。7.3.7課前準(zhǔn)備情況及其他相關(guān)特殊要求1．什么樣的集合是正整數(shù)集合。2．如何建立正整數(shù)集合與其他集合的雙射。7.3.8參考資料《實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)》(1—6章),程其襄等編,高等教育出版社，p19-24。7.4教學(xué)單元四.教學(xué)目標(biāo)：掌握不可列無限集的概念7.4.教學(xué)內(nèi)容：第四講不可列無限集1、不可列無限集-連續(xù)集2、P進(jìn)位小數(shù)教學(xué)重點(diǎn)：不可列無限集-連續(xù)集教學(xué)難點(diǎn)：P進(jìn)位小數(shù)7.4.第四講不可列無限集1、不可列無限集-連續(xù)集2、P進(jìn)位小數(shù)在第二講中介紹了映射與基數(shù)，定義了基數(shù)的大小。但是我們沒有證明過確實(shí)存在兩個(gè)無限集合，它們的基數(shù)不相等。在第三講中呢，我們講了可列集，給出了一個(gè)重要的可列集的例子，就是有理數(shù)集合。有理數(shù)集合呢，在直線上是處處稠密的。也就是說，直線上不管怎么小的小區(qū)間都含有無窮多個(gè)有理點(diǎn)，而這樣一個(gè)集合卻可以和那樣一個(gè)稀疏分布的自然數(shù)集合也就是正整數(shù)集合能夠建立起一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。那么這似乎讓人們有理由去猜想任何無限集合都是可列的。那么這一講呢，說明這種猜想是不符合事實(shí)的。首先看定理1.4.1。定理1.4.1區(qū)間[0,1]是不可列無限集。證用反證法。若不然，即[0,1]是可列集，由定理1.3.1，則[0,1]中的全部點(diǎn)能排成兩兩互異的無限序列，即可寫為（時(shí)）（1.4.1）下面來推出矛盾。把區(qū)間[0,1]等分成三段：，，，其中至少有一段不含，用表示這個(gè)閉區(qū)間。再將三等分，取其中不含的一個(gè)閉區(qū)間記為，如此下去，得到一列閉區(qū)間，，，，滿足12的長(zhǎng)度是，且因，由閉區(qū)間套定理，知存在。顯然，由假設(shè)知存在使。但由的取法，，這就和屬于所有的相矛盾，故[0,1]是不可列集。定義1.4.1凡與[0,1]對(duì)等的集合稱為連續(xù)集，連續(xù)集的基數(shù)稱為連續(xù)基數(shù)，記作或。推論1.4.1為連續(xù)基數(shù)，為可列基數(shù)，則。證由定理1.4.1知[0,1]是不可列集，從而與可列集不對(duì)等。另一方面，[0,1]于是和[0,1]的子集本身對(duì)等，但不與[0,1]對(duì)等，從而由基數(shù)大小的定義可知下面我們給出一些常見的基數(shù)是的例子。先看一個(gè)定理，定理1.4.2。定理1.4.2設(shè)是無限集，是有限集或可列集，則。分析：是無限集，有一個(gè)可列子集，，，是可列集合，是有限集或可列集，那么就是一個(gè)可列集。又因?yàn)槭强闪屑?，所以和就是?duì)等的，即，那么由定理1.2.2就知道了，與就是對(duì)等的，即。證1設(shè)，因是無限集，由定理1.3.2知有一個(gè)可列子集。令。于是有，。因?yàn)椋?，并且，，于是由定?.2.2可知。2若，令。顯然是有限集或可列集，且。于是由1得。定理1.4.3設(shè)是不可列無限集。是有限子集或可列子集，則。證顯然差集是無限集。于是由定理1.4.2有。推論1.4.2凡無限集必含有一個(gè)和它自身對(duì)等的真子集。證設(shè)是無限集，從中任取非空有限子集，則仍是無限集并且是的真子集。由定理1.4.2可得。注：上面證明這個(gè)事實(shí)是無限集合的一個(gè)側(cè)分性質(zhì)。可以把它作為無限集的定義。我們現(xiàn)在再回過頭來看定理1.4.2.，定理1.4.3.。定理1.4.2是說任何一個(gè)無限集加上一個(gè)有限集或可列集，它的基數(shù)不變。那么定理1.4.3呢，可以換一種說法，這就是說任何一個(gè)無限集減去一個(gè)有限集或者是可列集，如果差集還是無限集的話，那么呢，基數(shù)就不變。下面我們給出一些常見的基數(shù)是的集合的例子。請(qǐng)看推論1.4.3.。推論1.4.3設(shè)，則任意區(qū)間，，，均具有連續(xù)基數(shù)。證只需證的基數(shù)是，其余由定理1.4.3即得。設(shè)（如果證明了的基數(shù)是，那么從這個(gè)不可列無限集里面把兩個(gè)端點(diǎn)去掉，端點(diǎn)呢，是有限集合，得到的差集就是，則的基數(shù)和的基數(shù)相等。去掉一個(gè)左端點(diǎn)，去掉一個(gè)右端點(diǎn)，基數(shù)也不變。）顯然是到的雙射。故的基數(shù)是。推論1.4.4，，，，的基數(shù)均為。證只需證的基數(shù)為。事實(shí)上，設(shè)則是到的雙射。上題已經(jīng)證明了的基數(shù)為，所以的基數(shù)為。注：推論1.4.3和推論1.4.4告訴我們，直線上任意區(qū)間無論是有限區(qū)間還是無限區(qū)間，開的，閉的，半開半閉的，它們的基數(shù)呢，全都是。下面我們?cè)俳o出一些常見的基數(shù)是的集合的例子。定理1.4.4設(shè)，，，，是一列兩兩不交的集合，且它們的基數(shù)都是，則的基數(shù)也是。證取，，則且。而。由定理1.2.2可知而的基數(shù)是，所以的基數(shù)也是。注：這個(gè)定理里面呢，我們的條件呢是說這一列集合是兩兩不交的，每個(gè)集合的基數(shù)是，那么它們的并基數(shù)也是。實(shí)際上，這個(gè)兩兩不交的條件是可以去掉的，下面我們來證明維歐式空間中點(diǎn)的全體基數(shù)也是。為了證明這件事情，我們先來證明定理1.4.5.。定理1.4.5實(shí)數(shù)列全體的基數(shù)是。證記為中適合的點(diǎn)列的全體。即。設(shè)，，作映射：。顯然是到的雙射，為此，必須證明。首先，將中的任意一點(diǎn)與中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)。知對(duì)等于的一個(gè)子集。其次，對(duì)中的任何，用十進(jìn)位無限小數(shù)表示每個(gè)分量，有…再作映射。于是，并且時(shí)，。因此，對(duì)等于的一個(gè)子集，由伯恩斯坦定理知。定理1.4.6維歐式空間點(diǎn)的全體基數(shù)為。證將中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于中的點(diǎn)，就知道對(duì)等于的一個(gè)子集。因此，。再將中的點(diǎn)對(duì)應(yīng)于中的點(diǎn)時(shí)，又知道對(duì)等于的一個(gè)子集。因此。故。推論1.4.5設(shè)有個(gè)（表示連續(xù)基數(shù)）集的并集。若每個(gè)集的基數(shù)都是，則并集的基數(shù)也是。證不妨設(shè)所述集合是兩兩不交的，使每個(gè)集與平面上平行于軸的直線上的點(diǎn)做成一一對(duì)應(yīng)。于是得到所述的并集與平面上點(diǎn)的集合作成了一一對(duì)應(yīng)。后者平面上的點(diǎn)的集合的基數(shù)是，因此前者的基數(shù)也是。注：前面我們介紹了一些常見的基數(shù)是的集合的例子。我們看到了直線上任何區(qū)間無論是有限區(qū)間還是無限區(qū)間，開的，閉的，半開半閉的，基數(shù)都是。整個(gè)平面上點(diǎn)組成的集合，基數(shù)也是。一般地，維歐式空間點(diǎn)的全體基數(shù)也是。特別地，我們剛剛證明了，個(gè)基數(shù)是的集合的并，基數(shù)也是。接下來，我們將這一講的第二個(gè)問題，進(jìn)位小數(shù)。設(shè)是任意取定的大于1的自然數(shù)。是小于而大于或等于0的整數(shù)，則級(jí)數(shù)。時(shí)，就是通常的十進(jìn)位小數(shù)，例如。時(shí)，就是通常的二進(jìn)位小數(shù)，例如。二進(jìn)位小數(shù)就是十進(jìn)位小數(shù)中的。進(jìn)位小數(shù)若從某一項(xiàng)以后的全是0。則稱之為進(jìn)位有限小數(shù)；否則稱之為進(jìn)位無限小數(shù)。定理1.4.7二進(jìn)位小數(shù)全體基數(shù)是。證中的任何一點(diǎn)，都能表示成二進(jìn)位小數(shù)，而且當(dāng)時(shí)，只有一種表示。當(dāng)時(shí)，有兩種表示?；颉１热缁蚍粗?，每個(gè)二進(jìn)位無限小數(shù)一定表示中一點(diǎn)。于是，如果約定用二進(jìn)位無限小數(shù)表示，則二進(jìn)位無限小數(shù)全體與對(duì)等。而二進(jìn)位有限小數(shù)全體是可列集（可列個(gè)有限集的并集）。由定理1.4.2便知二進(jìn)位小數(shù)全體的基數(shù)是。注：前面我們給出了一些基數(shù)是的例子，特別是證明了維歐式空間點(diǎn)的全體，它的基數(shù)是。那么人們自然會(huì)問，是否存在一個(gè)集合的基數(shù)比還大呢。那么下面這個(gè)定理，定理1.4.8對(duì)這個(gè)問題給出了肯定的回答。定理1.4.8設(shè)是任一集合，是的一切子集所組成的集合，則。證設(shè)中每個(gè)元素組成的單元素集的全體為。即。則。顯然是的真子集。令中的元素對(duì)應(yīng)于中的，即知。故只須證明與不對(duì)等。用反證法。假設(shè)，則有到的雙射，