2021年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)真題試卷（解析版）

2021年浙江省衢州市中考數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共有10小題，每小題3分，共30分）1．21的相反數(shù)是（）A．21 B．﹣21 C． D．﹣解：21的相反數(shù)是﹣21，故選：B．2．如圖是由四個相同的小正方體組成的立體圖形，它的主視圖為（）A． B． C． D．解：從正面看該組合體，所看到的圖形與選項A中的圖形相同，故選：A．3．2021年5月國家統(tǒng)計局公布了第七次人口普查結(jié)果，我國人口數(shù)約為1412000000．其中數(shù)據(jù)1412000000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．14.12×108 B．0.1412×1010 C．1.412×109 D．1.412×108解：1412000000＝1.412×109．故選：C．4．下列計算正確的是（）A．（x2）3＝x5 B．x2+x2＝x4 C．x2?x3＝x5 D．x6÷x3＝x2解：A：因為（x2）3＝x6，所以A選項錯誤；B：因為x2+x2＝2x2，所以B選項錯誤；C：因為x2?x3＝x2+3＝x5，所以C選項正確；D：因為x6÷x3＝x6﹣3＝x3，所以D選項錯誤．故選：C．5．一個布袋里放有3個紅球和2個白球，它們除顏色外其余都相同．從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是（）A． B． C． D．解：∵從放有3個紅球和2個白球布袋中摸出一個球，共有5種等可能結(jié)果，其中摸出的球是白球的有2種結(jié)果，∴從布袋中任意摸出1個球，摸到白球的概率是，故選：D．6．已知扇形的半徑為6，圓心角為150°，則它的面積是（）A．π B．3π C．5π D．15π解：扇形面積＝，故選：D．7．如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝5，BC＝6，點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，連結(jié)DE，EF，則四邊形ADEF的周長為（）A．6 B．9 C．12 D．15解：∵點D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，∴DE＝AC＝2.5，AF＝AC＝2.5，EF＝AB＝2，AD＝AB＝2，∴四邊形ADEF的周長＝AD+DE+EF+AF＝9，故選：B．8．《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的重要著作，書中有一道題“今有五雀六燕，集稱之衡，雀俱重，燕俱輕；一雀一燕交而處，衡適平；并燕雀重一斤．問：燕雀一枚，各重幾何？”譯文：“五只雀、六只燕，共重1斤（古時1斤＝16兩）．雀重燕輕，互換其中一只，恰好一樣重，問：每只雀、燕重量各為多少？”設(shè)雀重x兩，燕重y兩，可列出方程組（）A． B． C． D．解：根據(jù)題意，得：，故選：A．9．如圖．將菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∠B＝∠β．當(dāng)AC平分∠B′AC′時，∠α與∠β滿足的數(shù)量關(guān)系是（）A．∠α＝2∠β B．2∠α＝3∠β C．4∠α+∠β＝180° D．3∠α+2∠β＝180°解：∵AC平分∠B′AC′，∴∠B'AC＝∠C'AC，∵菱形ABCD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)∠α得到菱形AB′C′D′，∴∠BAB'＝∠CAC'＝α，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠BAB'＝∠DAC'，∴∠BAB'＝∠B'AC＝∠CAC'＝∠DAC'＝α，∵AD∥BC，∴4α+β＝180°，故選：C．10．已知A，B兩地相距60km，甲、乙兩人沿同一條公路從A地出發(fā)到B地，甲騎自行車勻速行駛3h到達，乙騎摩托車，比甲遲1h出發(fā)，行至30km處追上甲，停留半小時后繼續(xù)以原速行駛．他們離開A地的路程y與甲行駛時間x的函數(shù)圖象如圖所示．當(dāng)乙再次追上甲時距離B地（）A．15km B．16km C．44km D．45km解：由圖象可知：甲的速度為：60÷3＝20（km/h），乙追上甲時，甲走了30km，此時甲所用時間為：30÷20＝1.5（h），乙所用時間為：1.5﹣1＝0.5（h），∴乙的速度為：30÷0.5＝60（km/h），設(shè)乙休息半小時再次追上甲時，甲所用時間為t，則：20t＝60（t﹣1﹣0.5），解得：t＝2.25，此時甲距離B地為：（3﹣2.25）×20＝0.75×20＝15（km），故選：A．二、填空題（本題共有6小題，每小題4分，共24分）11．若有意義，則x的值可以是2（答案不唯一）．（寫出一個即可）解：由題意可得：x﹣1≥0，即x≥1．則x的值可以是大于等于1的任意實數(shù)．故答案為：2（答案不唯一）．12．不等式2（y+1）＜y+3的解為y＜1．解：2（y+1）＜y+32y+2＜y+32y﹣y＜3﹣2y＜1，故答案為：y＜1．13．為慶祝建黨100周年，某校舉行“慶百年紅歌大賽”．七年級5個班得分分別為85，90，88，95，92，則5個班得分的中位數(shù)為90分．解：將這5個班的得分重新排列為85、88、90、92、95，∴5個班得分的中位數(shù)為90分，故答案為：90．14．如圖，在正五邊形ABCDE中，連結(jié)AC，BD交于點F，則∠AFB的度數(shù)為72°．解：∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴∠BCD＝∠ABC＝＝108°，∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA＝36°，同理∠CBD＝36°，∴∠AFB＝∠BCA+∠CBD＝72°，故答案為：72°．15．將一副三角板如圖放置在平面直角坐標(biāo)系中，頂點A與原點O重合，AB在x軸正半軸上，且AB＝4，點E在AD上，DE＝AD，將這副三角板整體向右平移12﹣個單位，C，E兩點同時落在反比例函數(shù)y＝的圖象上．解：∵AB＝4，∴BD＝AB＝12，∴C（4+6，6），∵DE＝AD，∴E的坐標(biāo)為（3，9），設(shè)平移t個單位后，則平移后C點的坐標(biāo)為（4+6+t，6），平移后E點的坐標(biāo)為（3+t，9），∵平移后C，E兩點同時落在反比例函數(shù)y＝的圖象上，∴（4+6+t）×6＝（3+t）×9，解得t＝12﹣，故答案為12﹣．16．圖1是某折疊式靠背椅實物圖，圖2是椅子打開時的側(cè)面示意圖，椅面CE與地面平行，支撐桿AD，BC可繞連接點O轉(zhuǎn)動，且OA＝OB，椅面底部有一根可以繞點H轉(zhuǎn)動的連桿HD，點H是CD的中點，F(xiàn)A，EB均與地面垂直，測得FA＝54cm，EB＝45cm，AB＝48cm．（1）椅面CE的長度為40cm．（2）如圖3，椅子折疊時，連桿HD繞著支點H帶動支撐桿AD，BC轉(zhuǎn)動合攏，椅面和連桿夾角∠CHD的度數(shù)達到最小值30°時，A，B兩點間的距離為12.5cm（結(jié)果精確到0.1cm）．（參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）解：（1）∵CE∥AB，∴∠ECB＝∠ABF，∴tan∠ECB＝tan∠ABF，∴，∴，∴CE＝40（cm），故答案為：40；（2）如圖2，延長AD，BE交于點N，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，在△ABF和△BAN中，，∴△ABF≌△BAN（ASA），∴BN＝AF＝54（cm），∴EN＝9（cm），∵tanN＝，∴＝，∴DE＝8（cm），∴CD＝32（cm），∵點H是CD的中點，∴CH＝DH＝16（cm），∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴＝＝＝，如圖3，連接CD，過點H作HP⊥CD于P，∵HC＝HD，HP⊥CD，∴∠PHD＝∠CHD＝15°，CP＝DP，∵sin∠DHP＝＝sin15°≈0.26，∴PD≈16×0.26＝4.16，∴CD＝2PD＝8.32，∵CD∥AB，∴△AOB∽△DOC，∴，∴，∴AB＝12.48≈12.5（cm），故答案為：12.5．三、解答題（本題共有8小題，第17~19小題每小題6分，第20~21小題每小題6分，第22~23小題每小題6分，第24小題12分，共66分。請務(wù)必寫出解答過程）17．計算：+（）0﹣|﹣3|+2cos60°．解：原式＝3+1﹣3+2×＝2．18．先化簡，再求值：+，其中x＝1．解：原式＝﹣＝＝＝x+3，當(dāng)x＝1時，原式＝1+3＝4．19．如圖，在6×6的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點都在格點上．（1）在圖1中畫出△ACD，使△ACD與△ACB全等，頂點D在格點上．（2）在圖2中過點B畫出平分△ABC面積的直線l．解：（1）如圖1中，△ADC即為所求．（2）如圖2中，直線BT即為所求．20．為進一步做好“光盤行動”，某校食堂推出“半份菜”服務(wù)，在試行階段，食堂對師生滿意度進行抽樣調(diào)查．并將結(jié)果繪制成如下統(tǒng)計圖（不完整）．（1）求被調(diào)查的師生人數(shù)，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）求扇形統(tǒng)計圖中表示“滿意”的扇形圓心角度數(shù)．（3）若該校共有師生1800名，根據(jù)抽樣結(jié)果，試估計該校對食堂“半份菜”服務(wù)“很滿意”或“滿意”的師生總?cè)藬?shù)．解：（1）被調(diào)查的師生人數(shù)是：120÷60%＝200（人），“不滿意”的人數(shù)有：200﹣120﹣70＝10（人），補充條形統(tǒng)計圖如圖：（2）扇扇形統(tǒng)計圖中表示“滿意”的扇形圓心角度數(shù)為×360°＝126°；（3）1800×＝1710（人）．答：估計該校對食堂“半份菜”服務(wù)“很滿意”或“滿意”的師生總?cè)藬?shù)為1710人．21．如圖，在△ABC中，CA＝CB，BC與⊙A相切于點D，過點A作AC的垂線交CB的延長線于點E，交⊙A于點F，連結(jié)BF．（1）求證：BF是⊙A的切線．（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的長．解：（1）證明：連接AD，如圖，∵CA＝CB，∴∠CAB＝∠ABC．∵AE⊥AC，∴∠CAB+∠EAB＝90°．∵BC與⊙A相切于點D，∴∠ADB＝90°．∴∠ABD+∠BAD＝90°．∴∠BAE＝∠BAD．在△ABF和△ABD中，，∴△ABF≌△ABD（SAS）．∴∠AFB＝∠ADB＝90°．∴BF是⊙A的切線．（2）由（1）得：BF⊥AE，∵AC⊥AE，∴BF∥AC．∴△EFB∽△EAC．∴，∵BE＝5，CB＝AC＝20，∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，∴．∴BF＝4．在Rt△BEF中，EF＝．22．如圖1是一座拋物線型拱橋側(cè)面示意圖．水面寬AB與橋長CD均為24m，在距離D點6米的E處，測得橋面到橋拱的距離EF為1.5m，以橋拱頂點O為原點，橋面為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橋拱頂部O離水面的距離．（2）如圖2，橋面上方有3根高度均為4m的支柱CG，OH，DI，過相鄰兩根支柱頂端的鋼纜呈形狀相同的拋物線，其最低點到橋面距離為1m．①求出其中一條鋼纜拋物線的函數(shù)表達式．②為慶祝節(jié)日，在鋼纜和橋拱之間豎直裝飾若干條彩帶，求彩帶長度的最小值．解：（1）根據(jù)題意可知點F的坐標(biāo)為（6，﹣1.5），可設(shè)拱橋側(cè)面所在二次函數(shù)表達式為：y1═a1x2．將F（6，﹣1.5）代入y1═a1x2有：﹣1.5═36a1，求得a1═，∴y1═x2，當(dāng)x═12時，y1═×122═﹣6，∴橋拱頂部離水面高度為6m．（2）①由題意可知右邊鋼纜所在拋物線的頂點坐標(biāo)為（6，1），可設(shè)其表達式為y2═a2（x﹣6）2+1，將H（0，4）代入其表達式有：4═a2（0﹣6）2+1，求得a2═，∴右邊鋼纜所在拋物線表達式為：y═（x﹣6）2+1，②設(shè)彩帶的長度為Lm，則L═y2﹣y1═（x﹣6）2+1﹣（x2）══，∴當(dāng)x═4時，L最小值═2，答：彩帶長度的最小值是2m．23．如圖1，點C是半圓O的直徑AB上一動點（不包括端點），AB＝6cm，過點C作CD⊥AB交半圓于點D，連結(jié)AD，過點C作CE∥AD交半圓于點E，連結(jié)EB．牛牛想探究在點C運動過程中EC與EB的大小關(guān)系．他根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，記AC＝xcm，EC＝y(tǒng)1cm，EB＝y(tǒng)2cm．請你一起參與探究函數(shù)y1、y2隨自變量x變化的規(guī)律．通過幾何畫板取點、畫圖、測量，得出如下幾組對應(yīng)值，并在圖2中描出了以各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點，畫出了不完整圖象．x…0.300.801.602.403.204.004.805.60…y1…2.012.983.463.332.832.111.270.38…y2…5.604.953.952.962.061.240.570.10…（1）當(dāng)x＝3時，y1＝3．（2）在圖2中畫出函數(shù)y2的圖象，并結(jié)合圖象判斷函數(shù)值y1與y2的大小關(guān)系．（3）由（2）知“AC取某值時，有EC＝EB”．如圖3，牛牛連結(jié)了OE，嘗試通過計算EC，EB的長來驗證這一結(jié)論，請你完成計算過程．解：（1）當(dāng)x＝3時，點C和圓心O重合，此時CE為半圓O的半徑，∵AB＝6，∴EC＝y(tǒng)1cm＝3cm，∴y1＝3，故答案為：3；（2）函數(shù)y的圖象如圖：由圖象得：當(dāng)0＜x＜2時，y1＜y2，當(dāng)x＝2時，y1＝y(tǒng)2，當(dāng)2＜x＜6時，y1＞y2；（3））連接OD，作EH⊥AB于H，由（2）知時，有EC＝EB，∵AC＝2，AB＝6cm，∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，∵CD⊥AB，∴CD＝＝2，設(shè)OH＝m，則CH＝1+m，∵EH⊥AB，∴EH＝＝，∵CE∥AD，∴∠DAC＝∠ECH，∵∠DCA＝∠EHC＝90°，∴△DAC∽△ECH，∴，即，∴m1＝1，m2＝﹣（不合題意，舍去），∴HB＝3﹣1＝2，EH＝＝2，∴EC＝＝2，EB＝＝2，∴EC＝EB．24．【推理】如圖1，在正方形ABCD中，點E是CD上一動點，將正方形沿著BE折疊，點C落在點F處，連結(jié)BE，CF，延長CF交AD于點G．（1）求證：△BCE≌△CDG．【運用】（2）如圖2，在【推理】條件下，延長BF交AD于點H．若，CE＝9，求線段DE的長．【拓展】（3）將正方形改成矩形，同樣沿著BE折疊，連結(jié)CF，延長CF，BF交直線AD于G，H兩點，若＝k，＝，求的值（用含k的代數(shù)式表示）．【解答】（1）證明：如圖1中，∵△BFE是由△BCE折疊得到，∴BE⊥CF，∴∠ECF+∠BEC＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCE＝90°，∴∠E