2022-2023學(xué)年福建省龍巖市龍巖第一中學(xué)數(shù)學(xué)高三上期末綜合測(cè)試模擬試題含解析_第1頁(yè)
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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知雙曲線C:()的左、右焦點(diǎn)分別為,過的直線l與雙曲線C的左支交于A、B兩點(diǎn).若,則雙曲線C的漸近線方程為()A. B. C. D.2.等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,,,則()A. B. C. D.3.設(shè)不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)?,在區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn),則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足不等式的概率為A. B.C. D.4.已知直線過雙曲線C:的左焦點(diǎn)F,且與雙曲線C在第二象限交于點(diǎn)A,若(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則雙曲線C的離心率為A. B. C. D.5.已知f(x)=ax2+bx是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),那么a+b的值是A. B.C. D.6.已知函數(shù),則的最小值為()A. B. C. D.7.已知函數(shù)且的圖象恒過定點(diǎn),則函數(shù)圖象以點(diǎn)為對(duì)稱中心的充要條件是()A. B.C. D.8.已知為等腰直角三角形,,,為所在平面內(nèi)一點(diǎn),且,則()A. B. C. D.9.執(zhí)行下面的程序框圖,若輸出的的值為63,則判斷框中可以填入的關(guān)于的判斷條件是()A. B. C. D.10.已知雙曲線的左,右焦點(diǎn)分別為、,過的直線l交雙曲線的右支于點(diǎn)P,以雙曲線的實(shí)軸為直徑的圓與直線l相切,切點(diǎn)為H,若,則雙曲線C的離心率為()A. B. C. D.11.已知集合,則等于()A. B. C. D.12.已知函數(shù)的值域?yàn)?,函?shù),則的圖象的對(duì)稱中心為()A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知是函數(shù)的極大值點(diǎn),則的取值范圍是____________.14.已知是定義在上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為.若時(shí),,則不等式的解集是___________.15.一次考試后,某班全班50個(gè)人數(shù)學(xué)成績(jī)的平均分為正數(shù),若把當(dāng)成一個(gè)同學(xué)的分?jǐn)?shù),與原來(lái)的50個(gè)分?jǐn)?shù)一起,算出這51個(gè)分?jǐn)?shù)的平均值為,則_________.16.執(zhí)行右邊的程序框圖,輸出的的值為.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)解關(guān)于的不等式;(2)若函數(shù)的圖象恒在直線的上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍18.(12分)已知函數(shù),,設(shè).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)設(shè)方程(其中為常數(shù))的兩根分別為,,證明:.(注:是的導(dǎo)函數(shù))19.(12分)已知圓外有一點(diǎn),過點(diǎn)作直線.(1)當(dāng)直線與圓相切時(shí),求直線的方程;(2)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),求直線被圓所截得的弦長(zhǎng).20.(12分)已知函數(shù),且.(1)若,求的最小值,并求此時(shí)的值;(2)若,求證:.21.(12分)在直角坐標(biāo)系中,曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.以原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的直角坐標(biāo)方程;(2)若點(diǎn)在曲線上,點(diǎn)在直線上,求的最小值.22.(10分)如圖,在多面體中,四邊形是菱形,,,,平面,,,是的中點(diǎn).(Ⅰ)求證:平面平面;(ⅠⅠ)求直線與平面所成的角的正弦值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè),利用余弦定理,結(jié)合雙曲線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè),由雙曲線的定義可知:因此再由雙曲線的定義可知:,在三角形中,由余弦定理可知:,因此雙曲線的漸近線方程為:.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義的應(yīng)用,考查了余弦定理的應(yīng)用,考查了雙曲線的漸近線方程,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】試題分析:由于在等比數(shù)列中,由可得:,又因?yàn)?,所以有:是方程的二?shí)根,又,,所以,故解得:,從而公比;那么,故選D.考點(diǎn):等比數(shù)列.3、A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域,求出其面積,再得到在區(qū)域內(nèi)的面積,根據(jù)幾何概型的公式,得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域,易知,所以的面積為,滿足不等式的點(diǎn),在區(qū)域內(nèi)是一個(gè)以原點(diǎn)為圓心,為半徑的圓面,其面積為,由幾何概型的公式可得其概率為,故選A項(xiàng).【點(diǎn)睛】本題考查由約束條件畫可行域,求幾何概型,屬于簡(jiǎn)單題.4、B【解析】

直線的傾斜角為,易得.設(shè)雙曲線C的右焦點(diǎn)為E,可得中,,則,所以雙曲線C的離心率為.故選B.5、B【解析】

依照偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x),且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,a﹣1=﹣2a,即可得解.【詳解】根據(jù)偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(x)是定義在[a–1,2a]上的偶函數(shù),得a–1=–2a,解得a=,又f(–x)=f(x),∴b=0,∴a+b=.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查偶函數(shù)的定義,對(duì)定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù),f(﹣x)=f(x);奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域必然關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,定義域區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)互為相反數(shù).6、C【解析】

利用三角恒等變換化簡(jiǎn)三角函數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)正弦型三角函數(shù),即可容易求得最小值.【詳解】由于,故其最小值為:.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查利用降冪擴(kuò)角公式、輔助角公式化簡(jiǎn)三角函數(shù),以及求三角函數(shù)的最值,屬綜合基礎(chǔ)題.7、A【解析】

由題可得出的坐標(biāo)為,再利用點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì),即可求出和.【詳解】根據(jù)題意,,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,又,所以.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)函數(shù)過定點(diǎn)問題和函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

以AB,AC分別為x軸和y軸建立坐標(biāo)系,結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算,可求得點(diǎn)的坐標(biāo),進(jìn)而求得,由平面向量的數(shù)量積可得答案.【詳解】如圖建系,則,,,由,易得,則.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理的運(yùn)用、數(shù)量積的運(yùn)算,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.9、B【解析】

根據(jù)程序框圖,逐步執(zhí)行,直到的值為63,結(jié)束循環(huán),即可得出判斷條件.【詳解】執(zhí)行框圖如下:初始值:,第一步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第二步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第三步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第四步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第五步:,此時(shí)不能輸出,繼續(xù)循環(huán);第六步:,此時(shí)要輸出,結(jié)束循環(huán);故,判斷條件為.故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查完善程序框圖,只需逐步執(zhí)行框圖,結(jié)合輸出結(jié)果,即可確定判斷條件,屬于常考題型.10、A【解析】

在中,由余弦定理,得到,再利用即可建立的方程.【詳解】由已知,,在中,由余弦定理,得,又,,所以,,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的計(jì)算問題,處理雙曲線離心率問題的關(guān)鍵是建立三者間的關(guān)系,本題是一道中檔題.11、C【解析】

先化簡(jiǎn)集合A,再與集合B求交集.【詳解】因?yàn)?,,所?故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查集合的基本運(yùn)算以及分式不等式的解法,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由值域?yàn)榇_定的值,得,利用對(duì)稱中心列方程求解即可【詳解】因?yàn)椋忠李}意知的值域?yàn)?,所以得,,所以,令,得,則的圖象的對(duì)稱中心為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)的圖像及性質(zhì),考查函數(shù)的對(duì)稱中心,重點(diǎn)考查值域的求解,易錯(cuò)點(diǎn)是對(duì)稱中心縱坐標(biāo)錯(cuò)寫為0二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

方法一:令,則,,當(dāng),時(shí),,單調(diào)遞減,∴時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞增,時(shí),,,且,∴在上單調(diào)遞減,∴是函數(shù)的極大值點(diǎn),∴滿足題意;當(dāng)時(shí),存在使得,即,又在上單調(diào)遞減,∴時(shí),,,所以,這與是函數(shù)的極大值點(diǎn)矛盾.綜上,.方法二:依據(jù)極值的定義,要使是函數(shù)的極大值點(diǎn),由知須在的左側(cè)附近,,即;在的右側(cè)附近,,即.易知,時(shí),與相切于原點(diǎn),所以根據(jù)與的圖象關(guān)系,可得.14、【解析】

構(gòu)造,先利用定義判斷的奇偶性,再利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,結(jié)合奇偶性,單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】令,則是上的偶函數(shù),,則在上遞減,于是在上遞增.由得,即,于是,則,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性解不等式,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.15、1【解析】

根據(jù)均值的定義計(jì)算.【詳解】由題意,∴.故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查均值的概念,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】初始條件成立方;運(yùn)行第一次:成立;運(yùn)行第二次:不成立;輸出的值:結(jié)束所以答案應(yīng)填:考點(diǎn):1、程序框圖;2、定積分.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)零點(diǎn)分段法分,,三種情況討論即可;(2)只需找到的最小值即可.【詳解】(1)由.若時(shí),,解得;若時(shí),,解得;若時(shí),,解得;故不等式的解集為.(2)由,有,得,故實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查絕對(duì)值不等式的解法以及不等式恒成立問題,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道基礎(chǔ)題.18、(1)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)見解析【解析】

(1)求出導(dǎo)函數(shù),由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間;(2)求出含有參數(shù)的,再求出,由的兩根是,得,計(jì)算,代入后可得結(jié)論.【詳解】解:,函數(shù)的定義域?yàn)?,.?)當(dāng)時(shí),,由得,由得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(2)證明:由條件可得,,,方程的兩根分別為,,,且,可得..【點(diǎn)睛】本題考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、方程根的知識(shí).在可導(dǎo)函數(shù)中一般由確定增區(qū)間,由確定減區(qū)間.19、(1)或(2).【解析】

(1)根據(jù)題意分斜率不存在和斜率存在兩種情況即可求得結(jié)果;(2)先求出直線方程,然后求得圓心與直線的距離,由弦長(zhǎng)公式即可得出答案.【詳解】解:(1)由題意可得,直線與圓相切當(dāng)斜率不存在時(shí),直線的方程為,滿足題意當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為,即∴,解得∴直線的方程為∴直線的方程為或(2)當(dāng)直線的傾斜角為時(shí),直線的方程為圓心到直線的距離為∴弦長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查了直線的方程、直線與圓的位置關(guān)系、點(diǎn)到直線的距離公式及弦長(zhǎng)公式,培養(yǎng)了學(xué)生分析問題與解決問題的能力.20、(1)最小值為,此時(shí);(2)見解析【解析】

(1)由已知得,法一:,,根據(jù)二次函數(shù)的最值可求得;法二:運(yùn)用基本不等式構(gòu)造,可得最值;法三:運(yùn)用柯西不等式得:,可得最值;(2)由絕對(duì)值不等式得,,又,可得證.【詳解】(1),法一:,,的最小值為,此時(shí);法二:,,即的最小值為,此時(shí);法三:由柯西不等式得:,,即的最小值為,此時(shí);(2),,又,.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用基本不等式,柯西不等式,絕對(duì)值不等式進(jìn)行不等式的證明和求解函數(shù)的最值,屬于中檔題.21、(1)(2)【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案(2)設(shè),,根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】(1)因?yàn)椋?,因?yàn)樗灾本€的直角坐標(biāo)方程為.(2)由題意可設(shè),則點(diǎn)到直線的距離.因?yàn)椋?,因?yàn)?,故的最小值?【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程,參數(shù)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.22、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接交于,得,所以面,又,得面,即可利用面面平行的判定定理,證得結(jié)論;(Ⅱ)如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系,求的平面的一個(gè)法向量,利用向量和向量

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