2022年九年級數(shù)學上冊第二章一元二次方程2.6應用一元二次方程第1課時行程或動點問題及平均變化率問題課件新版北師大版

第二章

一元二次方程2.6應用一元二次方程（第1課時行程(或動點)問題及平均變化率問題）1.掌握列一元二次方程解決數(shù)學問題,并能根據(jù)具體問題的實際意義,檢驗結(jié)果的合理性.（重點、難點）2.理解將實際問題抽象為方程模型的過程,并能運用所學的知識解決問題．學習目標1.直角三角形的面積公式是什么？一般三角形的面積公式是什么呢？

2.正方形的面積公式是什么呢？長方形的面積公式又是什么？

3.勾股定理的內(nèi)容是什么？本節(jié)課，我們根據(jù)剛才所復習的公式來建立一些數(shù)學模型，解決一些實際問題.導入新課復習引入x8m10m(8-x)m6m【解析】由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻

m；如果設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻

m；根據(jù)題意，可得方程：(8-x)2＋(x＋6)2＝1026x＋61.如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為8m．如果梯子的頂端下滑1m，梯子的底端滑動的距離大于1m,那么梯子頂端下滑幾米時，梯子底端滑動的距離和它相等？10m數(shù)學化x講授新課利用一元二次方程解決行程（動點）問題知識點1解：設梯子頂端下滑xm，那么滑動后梯子底端距墻（x+6）m.根據(jù)題意，可得方程：(8-x)2＋(x＋6)2＝102解得x1=0,x2=2.∵x＞0，∴x=2.答：梯子頂端下滑2米時，梯子底端滑動的距離和它相等.x12m13m(12-x)m【解析】由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻

m；如果設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻

m；根據(jù)題意，可得方程：(12-x)2＋(x＋5)2＝1325x＋52.如果梯子的長度是13m，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子的底端滑動的距離相等嗎？如果相等，那么這個距離是多少？13m數(shù)學化x5m解：設梯子底端滑動xm，那么滑動后梯子底端距墻（x+5）m；根據(jù)題意，可得方程：(12-x)2＋(x＋5)2＝132解得：x1=0,x2=7.∵x＞0，∴x=7.答：梯子頂端下滑7米時，梯子底端滑動的距離和它相等.解題步驟（1）分析題意，找出等量關系，用字母表示問題里的未知數(shù).（2）用字母的代表式表示有關的量.（3）根據(jù)等量關系列出方程.（4）解方程，求出未知數(shù)的值.（5）檢查求得的值是否正確和符合實際情況，并寫出答案.歸納總結(jié)例1：如圖,某海軍基地位于A處,在其正南方向200n

mile處有一目標B,在B的正東方向200n

mile處有一重要目標C.小島D位于AC的中點,島上有一補給碼頭;小島F位于BC的中點.一艘軍艦沿A出發(fā),經(jīng)B到C勻速巡航,一艘補給船同時從D出發(fā),沿南偏西方向勻速直線航行,欲將一批物品送達軍艦.東北ABCDF(1)小島D與小島F相距多少海里?東北ABCDF解：連接DF.∵AD=CD

,BF=CF,∴DF是△ABC的中位線.∴DF∥AB，且DF=

AB，∵AB⊥BC,AB=BC=200nmile,∴DF⊥BC,DF=100nmile.東北ABCDF(2)已知軍艦的速度是補給船的2倍,軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于E處,那么相遇時補給船航行了多少海里(結(jié)果精確到0.1海里)？E解:設相遇是補給船航行了xnmile,那么

DE=xnmile,AE+BE=2x

nmile,

EF=AB+BF-(AB+BE)=(300-2x)nmile.在Rt△DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程

x2

=1002+(300-

2x)2.

整理得：3x2-

1200x+100000=0,解方程得

(舍去)如圖，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm，點P從點A開始沿AB邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q從點B開始沿BC向點C以2cm/s的速度移動，如果P，Q分別從A，B同時出發(fā)，那么幾秒后五邊形APQCD的面積為64cm2？ABCDQP解:設所需時間為ts,根據(jù)題意,得 2t(6-

t)÷2=6×12-64.整理得t2-6t+

8=0.解方程,得t1=2,t2=4.

答:在第2秒和第4秒是五邊形面積是64cm2.(6-t)2t針對練習填空：假設某種糖的成本為每斤2元，售價為3元時，可賣100斤.(1)此時的利潤w=_____;

(2)若售價漲了1元，每斤利潤為_____元，同時少買了10斤，銷售量為_____斤，利潤w=_____.(3)若售價漲了2元，每斤利潤為_____元，同時少買了20斤，銷售量為____斤，利潤w=_____.100元290180元380240元利用一元二次方程解決平均變化率問題合作探究知識點2(4)若售價漲了3元，每斤利潤為____元，

同時少買了30斤，銷售量為____斤，利潤w=______.(5)若售價漲了4元，每斤利潤為____元，

同時少買了40斤，銷售量為____斤，利潤w=_______.(6)若售價漲了x元，每斤利潤為____元，

同時少買了____斤，銷售量為_______斤，利潤w=__________________.451+x7060100-10x10x280元300元(1+x)×(100-10x)元漲價售價成本單件利潤少賣量銷售量總利潤3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)試一試：假設某種糖的成本每斤為2元，售價為3元時，可賣100斤.每漲1元，少賣10斤.設利潤為x元，則總利潤w為多少元（用含有x的式子表示出來）？01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每漲一元少賣十斤漲價售價成本單件利潤少賣量銷售量總利潤3+x3-2+x10x100-10xw=(3-2+x)×(100-10x)01234x22222233+13+23+33+403-23-2+13-2+23-2+33-2+410×410×310×210×1100100-10×1100-10×2100-10×3100-10×4w=(3-2)×100w=(3-2+1)×(100-10×1)w=(3-2+3)×(100-10×3)w=(3-2+4)×(100-10×4)w=(3-2+2)×(100-10×2）每漲一元少賣十斤總利潤（售價-進價）×銷售量=總利潤單件利潤×銷售量=填空：1.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是4650元，則下降率是

.如果保持這個下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.探究歸納7%4324.5下降率=下降前的量-下降后的量下降前的量2.前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，設下降率是x,則去年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元，如果保持這個下降率，則現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是

元.下降率x第一次降低前的量5000(1-x)第一次降低后的量5000下降率x第二次降低后的量第二次降低前的量5000(1-x)(1-x)5000(1-x)25000(1-x)5000(1-x)2例2

前年生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，試求甲種藥品成本的年平均下降率是多少？解：設甲種藥品的年平均下降率為x.根據(jù)題意，列方程，得5000(1－x)2=3000，解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.根據(jù)問題的實際意義，甲種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.注意下降率不可為負，且不大于1.練一練：前年生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元.隨著生產(chǎn)技術的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，試求乙種藥品成本的年平均下降率？解：設乙種藥品的年平均下降率為y.根據(jù)題意，列方程，得6000(1－y)2=3600.解方程，得y1≈0.225，y2≈－1.775.

根據(jù)問題的實際意義，乙種藥品成本的年平均下降率約為22.5％.解后反思

答：不能.絕對量：甲種藥品成本的年平均下降額為（5000-3000）÷2=1000元，乙種藥品成本的年平均下降額為（6000-3000）÷2=1200元，顯然，乙種藥品成本的年平均下降額較大．

問題1

藥品年平均下降額大能否說年平均下降率（百分數(shù)）就大呢？

答：不能.

能過上面的計算，甲、乙兩種藥品的年平均下降率相等.因此我們發(fā)現(xiàn)雖然絕對量相差很多，但其相對量（年平均下降率）也可能相等．

問題2從上面的絕對量的大小能否說明相對量的大小呢?也就說能否說明乙種藥品成本的年平均下降率大呢?

問題3

你能總結(jié)出有關增長率和降低率的有關數(shù)量關系嗎？

類似地這種增長率的問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式.若平均增長(或降低)百分率為x,增長(或降低)前的是a,增長(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關系可表示為a(1±x)n=b(其中增長取“+”,降低取“－”).變式1：某藥品經(jīng)兩次降價，零售價降為原來的一半.已知兩次降價的百分率一樣，求每次降價的百分率.（精確到0.1%）解：設原價為1個單位，每次降價的百分率為x.根據(jù)題意，得

解這個方程，得

答：每次降價的百分率為29.3%.

變式2:某藥品兩次升價，零售價升為原來的1.2倍，已知兩次升價的百分率一樣，求每次升價的百分率（精確到0.1%）解，設原價為a元，每次升價的百分率為x，根據(jù)題意，得

解這個方程，得

由于升價的百分率不可能是負數(shù)，所以(不合題意，舍去)答：每次升價的百分率為9.5%.

例3

某公司去年的各項經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個增長率．

解：設這個增長率為x.根據(jù)題意，得答：這個增長率為50%.200+200(1+x)+200(1+x)2=950整理方程，得4x2+12x-7=0，解這個方程得x1=-3.5（舍去），x2=0.5.注意增長率不可為負，但可以超過1.1.某廠今年一月份的總產(chǎn)量為500噸,三月份的總產(chǎn)量為720噸,平均每月增長率是x,列方程(

)A.500(1+2x)=720B.500(1+x)2=720C.500(1+x2)=720D.720(1+x)2=5002.某校去年對實驗器材的投資為2萬元,預計今明兩年的投資總額為8萬元,若設該校今明兩年在實驗器材投資上的平均增長率是x,則可列方程為

.B2（1+x)+2(1+x)2=8隨堂練習

3.青山村種的水稻去年平均每公頃產(chǎn)7200千克，今年平均每公頃產(chǎn)8712千克，求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長率.解：設水稻每公頃產(chǎn)量的平均增長率為