直線和平面的投影市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

第二章點、直線和平面投影2-1投影基本知識2-2點投影2-3直線投影2-4平面投影2-5直線與平面及兩平面相對位置2-6換面法要求：掌握點三面投影規(guī)律，掌握直線、平面投影特征，會利用直線與平面及兩平面相對位置投影特征處理相關(guān)問題。掌握換面法第1頁2·1投影基本知識投影方法中心投影法平行投影法直角投影法（正投影法）斜角投影法畫透視圖畫斜軸測圖畫工程圖樣及正軸測圖第2頁中心投影法投射中心、物體、投影面三者之間相對距離對投影大小有影響。度量性較差投影特征投射線投射中心物體投影面投影物體位置改變，投影大小也改變第3頁平行投影法斜角投影法投影特性投影大小與物體和投影面之間距離無關(guān)。度量性很好工程圖樣多數(shù)采取正投影法繪制。投射線相互平行且垂直于投影面投射線相互平行且傾斜于投影面直角（正）投影法第4頁Pb●●AP采取多面投影。過空間點A投射線與投影面P交點即為點A在P面上投影。B1●B2●B3●點在一個投影面上投影不能確定點空間位置。一、點在一個投影面上投影a●2·2點投影處理方法？第5頁HWV二、點三面投影投影面◆正面投影面（簡稱正面或V面）◆水平投影面（簡稱水平面或H面）◆側(cè)面投影面（簡稱側(cè)面或W面）投影軸oXZOX軸V面與H面交線OZ軸V面與W面交線OY軸H面與W面交線Y三個投影面相互垂直第6頁WHVoX空間點A在三個投影面上投影a點A正面投影a點A水平投影a點A側(cè)面投影空間點用大寫字母表示，點投影用小寫字母表示。a●a●a●A●ZY第7頁WVH●●●●XYZOVHWAaaaxaazay向右翻向下翻不動投影面展開aaZaayayaXYYO●●az●x第8頁●●●●XYZOVHWAaaa點投影規(guī)律:①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面距離aax=aay=z=A到H面距離aay=aaz=x=A到W面距離xaazay●●YZazaXYayOaaxaya●

aa⊥OZ軸第9頁●●aaax例：已知點兩個投影，求第三投影?！馻●●aaaxazaz解法一:經(jīng)過作45°線使aaz=aax解法二:用圓規(guī)直接量取aaz=aaxa●第10頁三點坐標(biāo)與投影之間關(guān)系YWx●●●●XYZOVHWAaaaxaazay●●ZazaXYHayOaaxaya●xzyzyxyz四投影面和投影軸上點書本P36第11頁五、兩點相對位置

兩點相對位置指兩點在空間上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：▲x坐標(biāo)大在左

▲y坐標(biāo)大在前▲

z坐標(biāo)大在上baa

abb●●●●●●B點在A點之前、之右、之下。XYHYWZ第12頁六、重影點：空間兩點在某一投影面上投影重合為一點時，則稱此兩點為該投影面重影點。A、C為H面重影點●●●●●aacc被擋住投影加()()A、C為哪個投影面重影點呢？ac第13頁aaabbb●●●●●●2·3直線投影兩點確定一條直線，將兩點同名投影用直線連接，就得到直線同名投影。⒈直線對一個投影面投影特征一、直線投影特征AB●●●●ab直線垂直于投影面投影重合為一點積聚性直線平行于投影面投影反應(yīng)線段實長ab=AB直線傾斜于投影面投影比空間線段短ab=ABcosα●●AB●●abαAMB●a≡b≡m●●●第14頁⒉直線在三個投影面中投影特征投影面平行線平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜投影面垂直線正平線（平行于Ｖ面）側(cè)平線（平行于Ｗ面）水平線（平行于Ｈ面）正垂線（垂直于Ｖ面）側(cè)垂線（垂直于Ｗ面）鉛垂線（垂直于Ｈ面）普通位置直線與三個投影面都傾斜直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面第15頁baababbaabba⑴投影面平行線①在其平行那個投影面上投影反應(yīng)實長，并反應(yīng)直線與另兩投影面傾角實大。②另兩個投影面上投影平行于對應(yīng)投影軸。水平線側(cè)平線正平線γ投影特性：與H面夾角:α與V面角:β與W面夾角:γ實長實長實長βγααβbaaabb第16頁反應(yīng)線段實長。且垂直于對應(yīng)投影軸。⑵投影面垂直線鉛垂線正垂線側(cè)垂線②另外兩個投影，①在其垂直投影面上，投影有積聚性。投影特征:●c(d)cddc●aba(b)ab●efefe(f)第17頁⑶普通位置直線投影特征：

三個投影都縮短。即:都不反應(yīng)空間線段實長及與三個投影面夾角實大，且與三根投影軸都傾斜。abbaba（1）ab,a’b’,a’’b’’對于三個投影軸既不平行也不垂直（2）ab,a’b’,a’’b’’都較空間線段AB縮短了。其詳細(xì)長度為：ab=ABcosα,a’b’=ABcosβ,a’’b’’=ABcosγ第18頁HWVＡＢa′b′abb″a″αβγzYwYHXa′b′abb″a″ab=ABcosαa′b′=ABcosβa″b″=ABcosγ普通位置直線與傾角三個投影都縮短，且都傾斜于對應(yīng)投影軸第19頁ABVHbbaA0B0αZB-ZAβYB-YAZB-ZAa′b′abα實長二、三角形法：普通位置直線實長求法第20頁|zA-zB

|ABABbbaaCXO|zA-zB|XaabbABab|zA-zB|AB|zA-zB|ab對Ｈ面傾角和實長第21頁ABbbaaCXO|YA-YB|aXabbabAB|YA-YB|AB|YA-YB|對Ｖ面傾角與實長第22頁XZYOABbbabaaZXabaOYHYWabb|XA-XB||XA-XB|對Ｗ面傾角與實長第23頁例：求線段CD實長及β角cdc′d′Yd-Yc實長βdcc′d′實長第24頁直角三角形法關(guān)鍵點2、投影、坐標(biāo)差、實長和角度四個要素知道其中二個就能夠求其它二個1、角度、投影、坐標(biāo)差和投影之間對應(yīng)關(guān)系α角——水平投影——z坐標(biāo)差——線段實長β角——正面投影——y坐標(biāo)差——線段實長γ角——側(cè)面投影——x坐標(biāo)差——線段實長3、解題時，直角三角形畫在任何位置，都不影響解題結(jié)果。但用哪個長度來作直角邊不能搞錯第25頁三、直線與點相對位置◆若點在直線上,則點投影必在直線同名投影上。并將線段同名投影分割成與空間相同百分比。即：

◆若點投影有一個不在直線同名投影上，則該點必不在此直線上。判別方法：AC/CB=ac/cb=ac/cbABCVHbccbaa定比定理第26頁點C不在直線AB上例1：判斷點C是否在線段AB上。abcabc①c②abcab●點C在直線AB上第27頁例2：判斷點K是否在線段AB上。ab●k因k不在a

b上，故點K不在AB上。應(yīng)用定比定理abkabk●●另一判斷法?第28頁三、兩直線相對位置空間兩直線相對位置分為：平行、相交、交叉。⒈兩直線平行投影特征：空間兩直線平行，則其各同名投影必相互平行，反之亦然。aVHcbcdABCDbda空間兩直線之比等于其同名投影之比第29頁abcdcabd例1：判斷圖中兩條直線是否平行。對于普通位置直線，只要有兩個同名投影相互平行，空間兩直線就平行。AB//CD①第30頁bdcacbaddbac對于特殊位置直線，只有兩個同名投影相互平行，空間直線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：AB與CD不平行。例2：判斷圖中兩條直線是否平行。②求出側(cè)面投影怎樣判斷？第31頁HVABCDKabcdkabckdabcdbacdkk⒉兩直線相交判別方法：若空間兩直線相交，則其同名投影必相交，且交點投影必符合空間一點投影規(guī)律。反之亦然。交點是兩直線共有點第32頁●●cabbacdkkd例：過C點作水平線CD與AB相交。先作正面投影第33頁dbaabcdc1(2

)3(4)⒊兩直線交叉投影特征：★同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點投影規(guī)律?！铩敖稽c”是兩直線上一對重影點投影，用其可幫助判斷兩直線空間位置。●●Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面重影點，Ⅲ、Ⅳ是H面重影點。為何？12●●3

4●●兩直線相交嗎？第34頁⒋兩直線垂直相交（或垂直交叉）直角投影特征：若直角有一邊平行于投影面，則它在該投影面上投影仍為直角。設(shè)直角邊BC//H面因BC⊥AB,同時BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面直線在H面上投影相互垂直即∠abc為直角所以bc⊥ab故bc⊥ABba平面又因BC∥bcABCabcHacbabc.證實：第35頁例：過C點作直線與AB垂直相交。dabcabc●●dAB為正平線,正面投影反應(yīng)直角。.反之，若一角投影為直角，而且空間被投影角最少有一邊平行于該投影面，則空間角必是直角。第36頁小結(jié)★點與直線投影特征，尤其是特殊位置直線投影特征。★點與直線及兩直線相對位置判斷方法及投影特征。★定比定理。★直角定理，即兩直線垂直時投影特征。重點掌握：第37頁一、點投影規(guī)律aaZayayaXYYO●●●xaza①aa⊥OX軸②aax=aaz=y=A到V面距離aax=aay=z=A到H面距離aay=aaz=x=A到W面距離

aa⊥OZ軸第38頁二、各種位置直線投影特征⒈普通位置直線三個投影與各投影軸都傾斜。⒉投影面平行線在其平行投影面上投影反應(yīng)線段實長及與對應(yīng)投影面夾角。另兩個投影平行于對應(yīng)投影軸。⒊投影面垂直線在其垂直投影面上投影積聚為一點。另兩個投影反應(yīng)實長且垂直于對應(yīng)投影軸。第39頁三、直線上點⒈點投影在直線同名投影上。⒉點分線段成定比，點投影必分線段投影成定比——定比定理。四、兩直線相對位置⒈平行⒉相交⒊交叉（異面）同名投影相互平行。同名投影相交，交點是兩直線共有點，且符合空間一個點投影規(guī)律。同名投影可能相交，但“交點”不符合空間一個點投影規(guī)律。“交點”是兩直線上一對重影點投影。第40頁五、相互垂直兩直線投影特征⒈兩直線同時平行于某一投影面時，在該投影面上投影反應(yīng)直角。⒉兩直線中有一條平行于某一投影面時，在該投影面上投影反應(yīng)直角。⒊兩直線均為普通位置直線時，在三個投影面上投影都不反應(yīng)直角。直角定理第41頁2.4平面投影一、平面表示法●●●●●●abcabc不在同一直線上三個點●●●●●●abcabc直線及線外一點abcabc●●●●●●d●d●兩平行直線abcabc●●●●●●兩相交直線●●●●●●abcabc平面圖形第42頁跡線表示法PXPVPHOXZYPHPVPWPZPYPXXOPWPZPYHPYWYHZYW平面與投影面交線，叫做平面跡線。第43頁二、平面投影特征平行垂直傾斜投影特性★平面平行投影面-----投影就把實形現(xiàn)★

平面垂直投影面-----投影積聚成直線

★平面傾斜投影面-----投影類似原平面實形性類似性積聚性⒈平面對一個投影面投影特征第44頁⒉平面在三投影面體系中投影特征平面對于三投影面位置可分為三類：投影面垂直面投影面平行面普通位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫娴?5頁abcacbcba⒈投影面垂直面類似性類似性積聚性鉛垂面投影特征：在它垂直投影面上投影積聚成直線。該直線與投影軸夾角反應(yīng)空間平面與另外兩投影面夾角大小。另外兩個投影面上投影有類似性。為何？γβ是什么位置平面？第46頁abcabcabc⒉投影面平行面積聚性積聚性實形性水平面投影特征：在它所平行投影面上投影反應(yīng)實形。另兩個投影面上投影分別積聚成與對應(yīng)投影軸平行直線。第47頁投影特征 1、abc、abc、abc均為ABC類似形 2、不反應(yīng)、、真實角度

abcbacababbaccbacCAB⒊普通位置平面第48頁三、平面上直線和點判斷直線在平面內(nèi)方法

定理一若一直線過平面上兩點，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二若一直線過平面上一點，且平行于該平面上另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。⒈平面上取任意直線第49頁abcbcaabcbcadmnnmd例1：已知平面由直線AB、AC所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。解法一解法二依據(jù)定理二依據(jù)定理一有多少解？有沒有數(shù)解。第50頁例2：在平面ABC內(nèi)作一條水平線，使其到H面距離為10mm。nmnm10cabcab唯一解！有多少解？第51頁⒉平面上取點先找出過此點而又在平面內(nèi)一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點位置。例1：已知K點在平面ABC上，求K點水平投影。b①accakb●k●

面上取點方法：首先面上取線②●abcabkcdk●d利用平面積聚性求解經(jīng)過在面內(nèi)作輔助線求解第52頁bckadadbcadadbckbc例2：已知AC為正平線，補全平行四邊形ABCD水平投影。解法一解法二第53頁2.5直線與平面及兩平面相對位置相對位置包含平行、相交和垂直。一、平行問題

直線與平面平行平面與平面平行包含⒈直線與平面平行定理：若一直線平行于平面上某一直線，則該直線與此平面必相互平行。第54頁n●●acbmabcmn例1：過M點作直線MN平行于平面ABC。有沒有數(shù)解有多少解？第55頁正平線例2：過M點作直線MN平行于V面和平面ABC。c●●bamabcmn唯一解n第56頁⒉兩平面平行①若一平面上兩相交直線對應(yīng)平行于另一平面上兩相交直線，則這兩平面相互平行。②若兩投影面垂直面相互平行，則它們含有積聚性那組投影必相互平行。fhabcdefhabcdecfbdeaabcdef第57頁二、相交問題直線與平面相交平面與平面相交⒈直線與平面相交直線與平面相交，其交點是直線與平面共有點。要討論問題：●求直線與平面交點。

●判別二者之間相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。我們只討論直線與平面中最少有一個處于特殊位置情況。第58頁abcmncnbam⑴平面為特殊位置例：求直線MN與平面ABC交點K并判別可見性?？臻g及投影分析平面ABC是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與mn交點即為K點水平投影。①求交點②判別可見性由水平投影可知，KN段在平面前，故正面投影上kn為可見。還可經(jīng)過重影點判別可見性。k●1(2)作圖k●●2●1●第59頁km(n)b●mncbaac⑵直線為特殊位置空間及投影分析直線MN為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點K水平投影也積聚在該點上。①求交點②判別可見性點Ⅰ位于平面上，在前；點Ⅱ位于MN上，在后。故k2為不可見。1(2)k●2●1●●作圖用面上取點法第60頁⒉兩平面相交兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面共有線，同時交線上點都是兩平面共有點。要討論問題：①求兩平面交線方法：⑴確定兩平面兩個共有點。⑵確定一個共有點及交線方向。只討論兩平面中最少有一個處于特殊位置情況。②判別兩平面之間相互遮擋關(guān)系，即：

判別可見性。第61頁可經(jīng)過正面投影直觀地進行判別。abcdefcfdbeam(n)空間及投影分析平面ABC與DEF都為正垂面，它們正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線，只要求得交線上一個點便可作出交線投影。①求交線②判別可見性作圖從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面ABC在上，其水平投影可見。n●m●●能否不用重影點判別？能!怎樣判別？例：求兩平面交線MN并判別可見性。⑴第62頁bcfhaeabcefh1(2)空間及投影分析平面EFH是一水平面，它正面投影有積聚性。ab與ef交點m、bc與fh交點n即為兩個共有點正面投影，故mn即MN正面投影。①求交線②判別可見性點Ⅰ在FH上，點Ⅱ在BC上，點Ⅰ在上，點Ⅱ在下，故fh可見，n2不可見。作圖m●●n●2●n●m●1●⑵第63頁cdefababcdef⑶投影分析N點水平投影n位于Δdef外面，說明點N位于ΔDEF所確定平面內(nèi)，但不位于ΔDEF這個圖形內(nèi)。所以ΔABC和ΔDEF交線應(yīng)為MK。n●n●m●k●m●k●互交第64頁bak三垂直問題1、直線與平面垂直定理：若一直線垂直于平面，則該直線水平投影一定垂直于該平面上水平線水平投影，而該直線正面投影一定垂直于該平面上平面投影NKABn證實：NK垂直平面PPHAB是平面P內(nèi)一條水平線則NK垂直于AB則nk垂直于ab同理可證直線NK正面投影垂直于平面上正平線正面投影第65頁例：過點M作直線垂直于三角形ABC所確定平面m’b’ma’c’abce’edd’n’n第66頁2、二平面垂直若一平面包含另一平面垂線，則此二平面相互垂直①作平面Q包含垂直于平面P直線AB②作平面Q垂直于平面P內(nèi)直線CDPQABPQCD第67頁例：過直線MN作一平面使它垂直于ABC所確定平面a’b’c’abcm’n’mn1’122’第68頁小結(jié)重點掌握：二、怎樣在平面上確定直線和點。三、兩平面平行條件一定是分別位于兩平面內(nèi)兩組相交直線對應(yīng)平行。四、直線與平面交點及平面與平面交線是二者共有點或共有線。解題思緒：★空間及投影分析目標(biāo)是找出交點或交線已知投影?！锱袆e可見性尤其是怎樣利用重影點判別。一、平面投影特征，尤其是特殊位置平面投影特征。第69頁要點一、各種位置平面投影特征⒈普通位置平面⒉投影面垂直面⒊投影面平行面三個投影為邊數(shù)相等類似多邊形——類似性。在其垂直投影面上投影積聚成直線——積聚性。另外兩個投影類似。在其平行投影面上投影反應(yīng)實形——實形性。另外兩個投影積聚為直線。第70頁二、平面上點與直線⒈平面上點一定位于平面內(nèi)某條直線上⒉平面上直線⑴過平面上兩個點。⑵過平面上一點并平行于該平面上某條直線。三、平行問題⒈直線與平面平行直線平行于平面內(nèi)一條直線。⒉兩平面平行必須是一個平面上一對相交直線對應(yīng)平行于另一個平面上一對相交直線。第71頁四、相交問題⒈求直線與平面交點方法⑴普通位置直線與特殊位置平面求交點，利用交點共有性和平面積聚性直接求解。⑵投影面垂直線與普通位置平面求交點，利用交點共有性和直線積聚性，采取平面上取點方法求解。⒉求兩平面交線方法⑴兩特殊位置平面相交，分析交線空間位置，有時可找出兩平面一個共有點，依據(jù)交線投影特征畫出交線投影。⑵普通位置平面與特殊位置平面相交，可利用特殊位置平面積聚性找出兩平面兩個共有點，求出交線。第72頁2.6換面法一、問題提出★怎樣求普通位置直線實長？★怎樣求普通位置平面真實大?。?/p>

換面法：物體本身在空間位置不動，而用某一新投影面（輔助投影面）代替原有投影面，使物體相對新投影面處于解題所需要有利位置，然后將物體向新投影面進行投射。處理方法：更換投影面。第73頁VHABabab二、新投影面選擇標(biāo)準(zhǔn)1.新投影面必須對空間物體處于最有利解題位置。平行于新投影面垂直于新投影面2.新投影面必須垂直于某一保留原投影面，以組成一個相互垂直兩投影面新體系。Pa1b1第74頁VHAaaaxX⒈更換一次投影面

舊投影體系X—VH

新投影體系P1HX1—A點兩個投影：a，aA點兩個投影：a，a1⑴新投影體系建立三、點投影變換規(guī)律X1P1a1ax1VHXP1HX1aaa1axax1.第75頁ax1VHXP1HX1aaa1VHA

aaxXX1P1a1ax1⑵新舊投影之間關(guān)系

aa1

X1a1ax1=aax點新投影到新投影軸距離等于被代替投影到原投影軸距離。axa普通規(guī)律：點新投影和與它相關(guān)原投影連線，必垂直于新投影軸。.第76頁XVHaaax更換H面⑶求新投影作圖方法VHXP1HX1由點不變投影向新投影軸作垂線，并在垂線上量取一段距離，使這段距離等于被代替投影到原投影軸距離。aaX1P1Ha1axax1ax1更換V面●a1作圖規(guī)律：..第77頁⒉更換兩次投影面先把V面換成平面P1，P1H，得到中間新投影體系:P1HX1—再把H面換成平面P2，P2P1，得到新投影體系:X2—P1P2⑴新投影體系建立按次序更換AaVHaaxXX1P1a1ax1P2X2ax2a2第78頁ax2aaXVH⑵求新投影作圖方法a2X1HP1X2P1P2

作圖規(guī)律

a2a1X2軸a2ax2=aax1a1axax1..第79頁VHABabab四、換面法四個基本問題1.把普通位置直線變換成投影面平行線用P1面代替V面，在P1/H投影體系中，AB//P1。X1HP1P1a1b1空間分析：

換H面行嗎？不行！作圖：例：求直線AB實長及與H面夾角。ababXVH新投影軸位置？a1●b1●與ab平行。.第80頁a1●b1●VHaaXBbbA2.把普通位置直線變換成投影面垂直線空間分析：ababXVHX1H1P1P1P2X2作圖：X1P1a1b1X2P2二次換面把投影面平行線變成投影面垂直線。X2軸位置？a2b2ax2a2b2.與a1b1垂直一次換面把直線變成投影面平行線；第81頁普通位置直線變換成投影面垂直線，需經(jīng)幾次變換？

a

b

cabcdVHABCDX

d3.把普通位置平面變換成投影面垂直面假如把平面內(nèi)一條直線變換成新投影面垂直線，那么該平面則變換成新投影面垂直面。P1X1c1b1a1d1空間分析：在平面內(nèi)取一條投影面平行線，經(jīng)一次換面后變換成新投影面垂直線，則該平面變成新投影面垂直面。作圖方法：兩平面垂直需滿足什么條件？能否只進行一次變換？思索：若變換H面，需在面內(nèi)取什么位置直線？正平線！第82頁αab

cacbXVH例：把三角形ABC變換成投影面垂直面。HP1X1作圖過程：★在平面內(nèi)取一條水平線AD。dd★將AD變換成新投影面垂直線。d1●a1d1●c1●反應(yīng)平面對哪個投影面夾角？.第83頁a1b1●需經(jīng)幾次變換？一次換面,把普通位置平面變換成新投影面垂直面；二次換面，再變換成新投影面平行面。X2P1P24.把普通位置平面變換成投影面平行面abacbXVHc作圖：AB是水平線空間分析：a2●c2●b2●c1●X2軸位置？平面實形.X1HP1.與其平行第84頁b1距離dd1X1HP1X2P1P2c2d例1：求點C到直線AB距離，并求垂足D。ccbaabXVH五、換面法應(yīng)用以下列圖：當(dāng)直線AB垂直于投影面時，CD平行于投影面，其投影反應(yīng)實長。APBDCcabd作圖:求C點到直線AB距離，就是求垂線CD實長。空間及投影分析：c1a1a2b2d2過c1作線平行于x2軸。...怎樣確定d1點位置？第85頁baab