小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)-整除問題

小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)-整除問題小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)-整除問題小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)-整除問題V:1.0精細(xì)整理，僅供參考小學(xué)五年級(jí)奧數(shù)-整除問題日期：20xx年X月五年級(jí)思維第二講基礎(chǔ)知識(shí)：整除的定義、性質(zhì).定義：如果a、b、c是整數(shù)并且，則稱a能被b整除或者b能整除a，記做，否則稱為a不能被b整除或者b不能整除a，記做.性質(zhì)1：如果a、b都能被c整除，那么他們的和與差也能被c整除.性質(zhì)2：如果b與c的乘積能夠整除a，那么b、c都能整除a.性質(zhì)3：如果b、c都能整除a，并且b、c互質(zhì)，那么b、c的乘積也能夠整除a.性質(zhì)4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性質(zhì)5：如果b和c的乘積能夠被a整除，并且a，b互質(zhì)，那么c能夠被a整除.2.被2（5）整除特征：以2,4,6,8,0（5,0）結(jié)尾.3.被3，9整除特征：數(shù)字和被3,9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和之差能被11整除.（“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位與末三位之前的數(shù)之差能被7、11、13整除.7.整除性質(zhì)、特征的綜合應(yīng)用，末尾0的個(gè)數(shù)問題的處理，運(yùn)用設(shè)未知量求解整除問題.例題：例1、如果六位數(shù)能夠被105整除，那么后兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)六位數(shù)為2012ab，105=3×5×7，依次考慮被3,5,7整除得到3a+b-1，b=0或5,7(10a+b-1)，得到唯一解a=8,b=5.故后兩位為85.例2、求所有的x，y滿足32x5y使得7232x5y.解：72=8×9，根據(jù)整除9性質(zhì)易得x+y=8或17，根據(jù)整除4的性質(zhì)y=2或6，分別可以得到5位數(shù)32652、32256，檢驗(yàn)可知只有32256滿足題意.例3、一本陳年舊賬上寫的：購(gòu)入143只羽毛球共花費(fèi)元，其中處字跡已經(jīng)模糊不清，請(qǐng)你補(bǔ)上中的數(shù)字并且算出每只羽毛球的單價(jià).解：設(shè)兩個(gè)處的數(shù)字分別是a、b，則有143a679b，根據(jù)11a679b，有a+b=8，再根據(jù)13a679b，所以13(100a+67-90-b)，再根據(jù)a+b=8得到13（10a-5）解得a=7b=1所以方框處的數(shù)字是7和1，單價(jià)5.37元.例4、把若干個(gè)自然數(shù)1,2,3….乘到一起，如果已知這個(gè)乘積的最后14位都是0，那么最后的自然數(shù)至少是多少？

解：最后14位都是0說(shuō)明這個(gè)乘積整除1014，由于1×2×3×…中因數(shù)2比因數(shù)5多得多，只需考慮其整除514，5的倍數(shù)但是不是25的倍數(shù)可以提供一個(gè)因數(shù)5，25的倍數(shù)但是不是125的倍數(shù)可以提供2個(gè)因數(shù)5…可得出至少需要60個(gè)數(shù)，即這個(gè)自然數(shù)至少是60.例5、請(qǐng)用數(shù)字6、7、8各兩次組成一個(gè)六位數(shù)使得這個(gè)六位數(shù)能夠被168整除.解：，用6,7,8各兩次，數(shù)字和42，是3的倍數(shù).而用6、7、8組成的3位數(shù)是8的倍數(shù)的只有768,776.當(dāng)后三位是768，776時(shí)，前三位只有12種取法，經(jīng)實(shí)驗(yàn)只有數(shù)768768符合題目要求.因此唯一符合題目要求的數(shù)是768768.例6、要使六位數(shù)10abc6能夠被63整除，那么商最小是多少？

解：.考慮10abc6能被7整除，于是有7(100b+10c+6-100-a)，整理得7(2b+3c-a+4)，再考慮該數(shù)能被9整除，有a+b+c=2或11或20.由于要求最小的商也就是最小的被除數(shù)，先希望a=0.此時(shí)，易驗(yàn)證b=0,b=1無(wú)解，而在b=2時(shí)，有解c=9，所以最小的被除數(shù)是100296，最小的商是1592.例7、所有五位數(shù)中，能夠同時(shí)被7,8,9,10整除的有多少？

解：7,8,9,10的最小公倍數(shù)是2520，五位數(shù)最小是10000，最大99999，共有90000個(gè)數(shù)，，，所以共有36個(gè).例8、用1、2、3組成的四位數(shù)（可重復(fù)）中能夠被11整除的數(shù)有多少個(gè)？

解：這樣的四位數(shù)被11整除，一定有奇數(shù)位數(shù)字之和等于偶數(shù)位數(shù)字之和.在1,2,3,4中1+1=1+1,1+2=1+2，1+3=1+3，1+3=2+2，2+2=2+2,2+3=2+3,3+3=3+3七種情況，其中1+1=1+1、2+2=2+2、3+3=3+3分別只能得到1個(gè)4位數(shù)，1+2=1+2，1+3=1+3，2+3=2+3情況相同可以得到4個(gè)4位數(shù)，1+3=2+2也能得到4個(gè)4位數(shù)，所以一共有19個(gè).例9、已知4ab4ab…4ab（重復(fù)99次）能夠被91整除，求ab.解：根據(jù)7和13的整除判斷方法7（13）4ab4ab…4ab（重復(fù)99次）有7（13）4ab4ab…4ab000（重復(fù)98次），因?yàn)椋?1,1000）=1，所以7（13）4ab4ab…4ab（重復(fù)98次），以此類推，就有7（13）4ab，得到4ab=455，所以ab=55.例10、已知11個(gè)連續(xù)兩位數(shù)的乘積的末四位都是0，而且是343的倍數(shù)，那么這11個(gè)數(shù)中最小的是多少？

解：因?yàn)檫B續(xù)11個(gè)數(shù)是343的倍數(shù)，而，但是11個(gè)數(shù)中之多有兩個(gè)是7的倍數(shù)，所以這11個(gè)數(shù)中有49或者98，而11個(gè)數(shù)之多有3個(gè)是5的倍數(shù)，但卻是10000的倍數(shù)，所以這11個(gè)數(shù)中又有25或者50或者75，并且以5的倍數(shù)開頭和結(jié)尾，又要保證有2個(gè)7的倍數(shù)，所以只能是40到50這11個(gè)數(shù).所以最小的數(shù)是40.數(shù)學(xué)萬(wàn)花筒——趣題欣賞：鬼谷子問題：傳說(shuō)在春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，鬼谷子隨意從2-99中選取了兩個(gè)數(shù)。他把這兩個(gè)數(shù)的和告訴了龐涓，把這兩個(gè)數(shù)的乘積告訴了孫臏。但孫臏和龐涓彼此不知到對(duì)方得到的數(shù)。第二天，龐涓很有自信的對(duì)孫臏說(shuō)：雖然我不知到這兩個(gè)數(shù)是什麼，但我知道你一定也不知道。隨后，孫臏說(shuō)：那我知道了。龐涓說(shuō)：那我也知道了。問這兩個(gè)數(shù)是什么？這個(gè)原問題可能很復(fù)雜，現(xiàn)在告訴你這兩個(gè)數(shù)都在2-15中（但是龐涓和孫臏不知道），你能指出孫臏和龐涓每句話的邏輯含義和這兩個(gè)數(shù)么？解：2個(gè)人都不知道說(shuō)明兩個(gè)人得到的數(shù)都存在不止一種的分解方法，龐涓的話說(shuō)明講他得到的數(shù)分解成兩個(gè)數(shù)的和，這兩個(gè)數(shù)的乘積都存在另一種分解方式，而之后孫臏的話說(shuō)明龐涓的話告訴他，龐涓得到的數(shù)只能是5-197之中的某幾個(gè)，而他所得到的乘積的各種分解方式中只有一種所得到的和在龐涓可能得到的數(shù)種。而龐涓最后一句話則說(shuō)明，孫臏對(duì)于自己的數(shù)的猜測(cè)讓龐涓否定了和的其他分解方式。具體解法是考慮龐涓得到的數(shù)，一定是5-29，先否定質(zhì)數(shù)+2，可以分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和的偶數(shù)，還剩下6、8、11、17、23、27、29.容易否定6、8，然后對(duì)于每種和的分解利用龐涓最后也能知道逐一否定，得到唯一解4和13.2、一枚，三枚，還是四枚有一種硬幣游戲，其規(guī)則是：（1）一堆硬幣共九枚.（2）雙方輪流從中取走一枚，三枚或四枚.（3）誰(shuí)取最后一枚誰(shuí)贏.兩人中是否必定會(huì)有一人贏如果是，如何取

答：后手必勝.如果因?yàn)樵谑Ｓ?枚的時(shí)候先手取3枚必勝.在有9枚時(shí)，如果先手去4枚則后手取3枚，如果先手去3枚則后手取4枚.如果先手取一枚則后手取一枚.此時(shí)還剩7枚，此時(shí)先手只能取1枚，后手再取4枚即可獲勝.作業(yè)題：1.已知六位數(shù)2a3b4c能夠被720整除，請(qǐng)問這個(gè)六位數(shù)是多少（

答案=213840或者293040）2．是7的倍數(shù)，求空格中的數(shù)字.（答案：3）3.一個(gè)三位數(shù)，它的百位數(shù)字是4，加9能被7整除，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)是多少（答案=439）4.請(qǐng)證明六位數(shù)abcabc一定能被7、11、13整除.（證明略）5．已知自然數(shù)A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼之和與3A的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)碼之和相等，證明A必能被9整除.（3A數(shù)字和是3的倍數(shù)，A的也是，所以A能被3整除，所以3A能被9整除，所以數(shù)字和是9的倍數(shù)，所以A的也是，所以A能被9整除.）課堂練習(xí)題：班級(jí)________ 姓名___________得分______如果一個(gè)數(shù)a327b能被72整除，求a+b.答案：a+b=6.整除8的性質(zhì)可以推出b=2，整除9的性質(zhì)可以推出a=4.2、請(qǐng)根據(jù)7、11整除判斷方法的推導(dǎo)和證明，類比推出對(duì)于17的整除判定（提示17×59=1003）答案：末三位與末三位之前的數(shù)的三倍之差能被7、11、13整除3、用1、2、3、4（每個(gè)數(shù)恰好用一次）可組成24個(gè)四位數(shù)，其中共有多少個(gè)能被11整除？解：1+4=2+3，所以1，4在偶數(shù)位，2和3在奇數(shù)位或者1和4在奇數(shù)位，2和3在偶數(shù)位，共有2×2×2=8個(gè).4、已知四個(gè)整數(shù)，他們兩兩的和都能被兩兩的差整除，請(qǐng)問其中最大的兩個(gè)數(shù)的和最小是多少？

解：10.思想：差越小越容易整除.任意連續(xù)的3個(gè)數(shù)，只要其中有兩個(gè)偶數(shù)都滿足要求，所以可以找到2，3，4，6.容易驗(yàn)證沒有更小的符合題目要求的解.5、15位同學(xué)分別編號(hào)1-15，1號(hào)同學(xué)寫下了一個(gè)不少于6位的數(shù)，后面每個(gè)人都說(shuō)這個(gè)數(shù)能被自己的編號(hào)整除，經(jīng)驗(yàn)證，只有連續(xù)兩個(gè)編號(hào)相連的人說(shuō)錯(cuò)了，請(qǐng)問這個(gè)數(shù)至少是多少？

答案：2,3,4,5,6,7都必須能整除五位數(shù)，否則不能滿