2021年湖北省武漢市第七十一中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析

2021年湖北省武漢市第七十一中學(xué)高一數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.函數(shù)是（

）A．是奇函數(shù)又是減函數(shù)

B．是奇函數(shù)但不是減函數(shù)

C．是減函數(shù)但不是奇函數(shù)

D．不是奇函數(shù)也不是減函數(shù)參考答案：

A

解析：為奇函數(shù)，而為減函數(shù)。2.已知α∈（0，π），sinα+cosα=﹣，則tanα等于（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【分析】將已知等式兩邊平方，利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡求出2sinαcosα＜0，得到sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，利用完全平方公式求出sinα﹣cosα的值，與已知等式聯(lián)立求出sinα與cosα的值，即可確定出tanα的值．【解答】解：已知等式sinα+cosα=﹣①兩邊平方得：（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=，即2sinαcosα=﹣＜0，∵α∈（0，π），∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，即sinα﹣cosα=②，聯(lián)立①②解得：sinα=，cosα=﹣，則tanα==﹣．故選B3.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù)，例如：他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數(shù)能夠表示成三角形，將其稱為三角形數(shù);類似地，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數(shù)成為正方形數(shù)。下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是(

)A．289

B．1024

C．1225

D．1378參考答案：C略4.“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”的（

）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.既不充分又非必要參考答案：A【分析】根據(jù)充分必要條件的判定，即可得出結(jié)果.【詳解】當(dāng)時，是函數(shù)的對稱軸，所以“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”的充分條件，當(dāng)函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱時，,推不出，所以“”是“函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱”的不必要條件，綜上選.【點睛】本題主要考查了充分條件、必要條件，余弦函數(shù)的對稱軸，屬于中檔題.5.已知正實數(shù)x,y滿足，則的最小值（

）A.2 B.3 C.4 D.參考答案：B.當(dāng)且僅當(dāng)，即，時的最小值為3.故選B.點睛：本題主要考查基本不等式.在用基本不等式求最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等.①一正：關(guān)系式中，各項均為正數(shù)；②二定：關(guān)系式中，含變量的各項的和或積必須有一個為定值；③三相等：含變量的各項均相等，取得最值.6.若實數(shù)a、b滿足條件a＞b，則下列不等式一定成立的是A. B.a2＞b2 C.ab＞b2 D.a3＞b3參考答案：D【分析】根據(jù)題意，由不等式的性質(zhì)依次分析選項，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，依次分析選項：對于A、，時，有成立，故A錯誤；對于B、，時，有成立，故B錯誤；對于C、，時，有成立，故C錯誤；對于D、由不等式的性質(zhì)分析可得若，必有成立，則D正確；故選：D．【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，對于錯誤的結(jié)論舉出反例即可．7.下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又存在零點的是（）A．f（x）=sinx B．f（x）=x2+1 C．f（x）=lnx D．f（x）=cosx參考答案：D【考點】函數(shù)奇偶性的性質(zhì)．【專題】計算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】判斷函數(shù)的奇偶性與零點，即可得出結(jié)論．【解答】解：對于A，是奇函數(shù)；對于B，是偶函數(shù)，不存在零點；對于C，非奇非偶函數(shù)；對于D，既是偶函數(shù)又存在零點．故選：D．【點評】本題考查函數(shù)的奇偶性與零點，考查學(xué)生的計算能力，比較基礎(chǔ)．8.設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，若函數(shù)f（x）滿足條件：存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，則稱f（x）為“倍縮函數(shù)”，若函數(shù)f（x）=log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”，則實數(shù)t的取值范圍是（）A．（0，） B．（﹣∞，） C．（0，] D．（﹣∞，]參考答案：A【考點】對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)；函數(shù)的值．【分析】根據(jù)“倍縮函數(shù)”的定義，構(gòu)造出方程組，利用方程組的解都大于0，求出t的取值范圍．【解答】解：∵函數(shù)f（x）=f（x）=log2（2x+t）為“倍縮函數(shù)”，且滿足存在[a，b]?D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函數(shù)；∴，即，∴a，b是方程2x﹣+t=0的兩個根，設(shè)m==，則m＞0，此時方程為m2﹣m+t=0即方程有兩個不等的實根，且兩根都大于0；∴，解得：0＜t＜，∴滿足條件t的范圍是（0，），故選：A．【點評】本題主要考查函數(shù)的值域問題，利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．9.函數(shù)若是的最小值，則的范圍

（

）A.[－2,2]

B.[－3,－2]

C.(－∞,－2]∪[2,+∞)

D.(－∞,－1]參考答案：C10.設(shè)全集U={（x,y）},集合M={（x,y）}，N={(x,y)},那么（CUM）（CUN）等于

（

）A.{（2，-2）}

B.{（-2，2）}C.

D.（CUN）參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在如圖所示的程序框圖中，輸出的值為

參考答案：1212.定義：對于實數(shù)m和兩定點M，N，在某圖形上恰有個不同的點，使得，稱該圖形滿足“n度契合”.若邊長為4的正方形ABCD中，，，且該正方形滿足“4度契合”，則實數(shù)m的取值范圍是

▲

．參考答案：或

以AB為x軸，AD為y軸，A為原點建立平面直角坐標(biāo)系。所以。因為P點位置不確定，所以分四種情況討論：當(dāng)P點在AB上時，設(shè)，所以所以根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時，有1個解當(dāng)時，有2個解（2）當(dāng)P點在BC上時，設(shè)，所以所以根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時，有1個解當(dāng)時，有2個解當(dāng)時，有1個解（3）當(dāng)P點在CD上時，設(shè)，所以所以根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時，有1個解當(dāng)時，有2個解（4）當(dāng)P點在AD上時，設(shè)，所以所以根據(jù)二次函數(shù)的圖像可知，當(dāng)時，有1個解當(dāng)時，有2個解當(dāng)時，有2個解由（1）可知，當(dāng)時，有2個解。所以當(dāng)時，也有2個解綜上所述，當(dāng)或有4個解，滿足“4度契合”。

13.已知等比數(shù)列的前項和，則

.參考答案：略14.設(shè)集合A＝{5，a+1}，集合B＝{a，b}.若A∩B={2}，則A∪B=

.參考答案：{1，2，5}略15.時，函數(shù)y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域為．參考答案：[,2]考點：三角函數(shù)的最值．專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系與二次函數(shù)的配方法可求得y=2+，﹣≤sinx≤1，從而可求函數(shù)y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域．解答：解：∵y=3﹣sinx﹣2cos2x=2sin2x﹣sinx+1=2+，∵x∈時，∴﹣≤sinx≤1，∴當(dāng)sinx=時，ymin=；當(dāng)sinx=﹣時，ymax=2；∴函數(shù)y=3﹣sinx﹣2cos2x的值域為．故答案為：．點評：本題考查復(fù)合函數(shù)的值域，著重考查二次函數(shù)的配方法與正弦函數(shù)的單調(diào)性與值域，屬于中檔題．16.若冪函數(shù)y=（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2在x∈（0，+∞）上為減函數(shù)，則實數(shù)m的值是．參考答案：3【考點】冪函數(shù)的概念、解析式、定義域、值域．【分析】根據(jù)給出的函數(shù)為冪函數(shù)，由冪函數(shù)概念知m2﹣m﹣1=1，再根據(jù)函數(shù)在（0，+∞）上為減函數(shù)，得到冪指數(shù)應(yīng)該小于0，求得的m值應(yīng)滿足以上兩條．【解答】解：因為函數(shù)y=（m2﹣2m﹣2）x﹣4m﹣2既是冪函數(shù)又是（0，+∞）的減函數(shù)，所以，?，解得：m=3．故答案為：m=3．17.(1＋tan17°)(1＋tan28°)的值為__________.參考答案：2三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=loga（ax2﹣x+1），其中a＞0且a≠1．（1）當(dāng)a=時，求函數(shù)f（x）的值域；（2）當(dāng)f（x）在區(qū)間上為增函數(shù)時，求實數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點】復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性；函數(shù)的值域．【專題】綜合題；分類討論；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）把代入函數(shù)解析式，可得定義域為R，利用配方法求出真數(shù)的范圍，結(jié)合復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)f（x）的值域；（2）對a＞1和0＜a＜1分類討論，由ax2﹣x+1在上得單調(diào)性及ax2﹣x+1＞0對恒成立列不等式組求解a的取值范圍，最后取并集得答案．【解答】解：（1）當(dāng)時，恒成立，故定義域為R，又∵，且函數(shù)在（0，+∞）單調(diào)遞減，∴，即函數(shù)f（x）的值域為（﹣∞，1]；（2）依題意可知，i）當(dāng)a＞1時，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，必須ax2﹣x+1在上遞增，且ax2﹣x+1＞0對恒成立．故有，解得：a≥2；ii）當(dāng)0＜a＜1時，同理必須ax2﹣x+1在上遞減，且ax2﹣x+1＞0對恒成立．故有，解得：．綜上，實數(shù)a的取值范圍為．【點評】本題考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，考查了復(fù)合函數(shù)值域的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．19.(本小題滿分14分)在△ABC中，a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對邊，且

（Ⅰ）求A的大??；（Ⅱ）求的最大值.參考答案：解：（Ⅰ）由已知，根據(jù)正弦定理得即

由余弦定理得

故

，A=120°

……7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

故當(dāng)B=30°時，sinB+sinC取得最大值1.

……14分[

略20.已知直線l1：3x+4y﹣2=0，l2：2x+y+2=0，l1與l2交于點P．（Ⅰ）求點P的坐標(biāo)，并求點P到直線4x﹣3y﹣6=0的距離；（Ⅱ）分別求過點P且與直線3x﹣y+1=0平行和垂直的直線方程．參考答案：【考點】直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系；直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系．【專題】方程思想；綜合法；直線與圓．【分析】（Ⅰ）聯(lián)立方程組求出P點的坐標(biāo)即可，根據(jù)點到直線的距離公式求出距離即可；（Ⅱ）分別求出直線的斜率，代入點斜式方程求出直線方程即可．【解答】解：（Ⅰ）解方程組，解得：，∴P（﹣2，2），則P（﹣2，2）到直線4x﹣3y﹣6=0的距離為d==4；（Ⅱ）∵P（﹣2，2），過點P且與直線3x﹣y+1=0平行的直線的斜率是3，代入點斜式方程得：y﹣2=3（x+2），整理得：3x﹣y+8=0，過點P且與直線3x﹣y+1=0垂直的直線的斜率是﹣，代入點斜式方程得：y﹣2=﹣（x+2），整理得：x+3y﹣4=0．【點評】本題考察了直線的交點問題，考察點到直線的距離，考察求直線方程問題，是一道基礎(chǔ)題．21.(本小題12分)一幾何體的三視圖如圖：（1）畫出它的直觀圖;（2）求該幾何體的體積.參考答案：（1）直觀圖如圖：（2）三棱錐底面是斜邊為5cm，斜邊上高為的直角三

角形.其體積為V=

……………（12分）…………（6分）22.如圖，在四面體ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，，，E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，AC的中點．（1）證明：平面EFG∥平面BCD；（2）求三棱錐的體積；（3）求二面角的大小．參考答案：（1）見解析；（2）；（3）見解析【分析】(1)分別證明平面，平面得到兩平面平行.(2)將轉(zhuǎn)化為，通過體積公式得到